北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.3）酉空间（1/2）

第二学期第七次课 第六章§3酉空间 设V是复线性空间.V×V上的一个函数(·,·),如果满足 (i)(·,·)对第一个变量是线性的; (ii)(a,B)=(B,a) (ii)ya∈V,(a,a)≥0,且(a,a)=0分a=0 则称(a,B)为向量a,B的内积,具有内积的复线性空间称为酉空间(欧氏空间在复线性空 间上的推广) a|=a,a)称为酉空间中向量a的长度,|al=1时,称a为单位向量 (a,B)=0时,称二向量a,B正交 同欧氏空间类似,我们有如下命题 命题酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的 类似地,我们把n维酉空间V中由n个两两正交的单位向量组成的向量组称为V的一组 标准正交基 标准正交基的求法:施密特( Schmidt)正交化 E1=a1 E 设U是n阶复矩阵,如果U=U-,则称U是一个酉矩阵 命题3.2s;,E2…,En是n维酉空间V的一组标准正交基,令 (n,n2,…,nn)=( )U 则n,n2…,7n是一组标准正交基当且仅当U是酉矩阵

第二学期第七次课 第六章 §3 酉空间 设 V 是复线性空间.V  V 上的一个函数( • , • ),如果满足: (i) ( • , • )对第一个变量是线性的; (ii) ( ,  )= ( ,) ; (iii)    V,(  , )  0,且(  , )=0   =0. 则称( ,  )为向量 ,  的内积，具有内积的复线性空间称为酉空间（欧氏空间在复线性空 间上的推广）. |  |= (,) 称为酉空间中向量  的长度, |  |=1 时,称  为单位向量. ( ,  )=0 时,称二向量 ,  正交. 同欧氏空间类似,我们有如下命题: 命题 酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的. 类似地,我们把 n 维酉空间 V 中由 n 个两两正交的单位向量组成的向量组称为 V 的一组 标准正交基. 标准正交基的求法: 施密特(Schmidt)正交化 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 1 1 1 2 1 2 2 1 1                      = − − = − =   − = = + + + = − = − s 1 k 1 k k k s k s s i k 1 k k k i 1 k i 1 i 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )                 设 U 是 n 阶复矩阵,如果 1 U U −  = ,则称 U 是一个酉矩阵. 命题 3.2 1 2 n  ， ，， 是 n 维酉空间 V 的一组标准正交基,令 ( 1，2，，n )=( 1 2 n  ， ，， )U 则 1，2，，n 是一组标准正交基当且仅当 U 是酉矩阵

证明必要性:若n,n,…,刀n是标准正交基,则(7,71)=…而U的第j个列向量为 7在E1,E2…,En下的坐标,故 (,)=41241+…+n4= 这表示U"U=E→UU=E,U为酉矩阵 充分性:若U为酉矩阵,则 (n,n1)=41241+…+ u uI=1 7,n2…,mn是标准正交基 设M是n维酉空间V的一个子空间,定义 M={e对一切B∈M(a,B)=0 称M为M的正交补.显然M也是V的子空间 命题设W是n维酉空间V的子空间,则V=W⊕W; 证明同欧氏空间 推论n维酉空间V中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为V的标准正交基 设V1,V2是两个西空间,如果存在V到V2的一个映射σ,满足 (1)a是V到V2的线性空间的同构映射 (2)σ保持内积关系 则称是酉空间V到西空间V2的同构映射,称V与V同构 酉空间V上的线性变换U如果满足uUa,Uβ)=(a,B)(对一切a,B∈V),则称U是一个 酉变换(正交变换在酉空间上的推广) 酉变换的四个等价表述 命题U是n维酉空间V上的线性变换,则下列命题等价 1)U是一个酉变换 2)Va∈V,有|a|=|a|; 3)U把标准正交基变为标准正交基 4)U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵 证明1)→2).显然 2)→3)设E1,E2,…,En是标准正交基,由假设知只用证(UE1UE1)=0(i≠j

证明 必要性:若 1，2，，n 是标准正交基,则( i j  , )=  ij .而 U 的第 j 个列向量为  j 在 1 2 n  ， ，， 下的坐标,故 ( i j  , )= u1iu1 j ++ uniunj = ij 这表示 UU = E  UU = E ,U 为酉矩阵. 充分性:若 U 为酉矩阵,则 ( i j  , )= u1iu1 j ++ uniunj = ij 1，2，，n 是标准正交基. 设 M 是 n 维酉空间 V 的一个子空间,定义 =   |  ( , ) = 0 ⊥ M  V 对一切 M有   称 ⊥ M 为 M 的正交补.显然 ⊥ M 也是 V 的子空间. 命题 设 W 是 n 维酉空间 V 的子空间，则 ⊥ V =W  W ； 证明 同欧氏空间. 推论 n 维酉空间 V 中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为 V 的标准正交基. 设 1 2 V ,V 是两个酉空间,如果存在 V1到V2 的一个映射  ,满足 (1)  是 V1到V2 的线性空间的同构映射 (2)  保持内积关系. 则称  是酉空间 V1到酉空间V2 的同构映射,称 V1与V2 同构. 酉空间 V 上的线性变换 U 如果满足(U  ,U  )=( ,  )(对一切 ,   V),则称 U 是一个 酉变换（正交变换在酉空间上的推广）. 酉变换的四个等价表述: 命题 U 是 n 维酉空间 V 上的线性变换,则下列命题等价 1) U 是一个酉变换; 2)    V,有|U  |=|  |; 3) U 把标准正交基变为标准正交基; 4) U 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 证明 1)  2).显然. 2)  3) 设 1 2 n  ， ，， 是标准正交基, 由假设知 只用证(U i  U j  )=0 (i  j

时).a∈V,有 qua, Ua)=l Ual 以a=kE+1代入上式在分别令k=1及1,可得(DEUE5)=0 3)→4)由命题3.2可得 4)→1)设U在标准正交基E1,E2,…,En下的矩阵U是酉矩阵由命题3.2知UE1,… UEn也是标准正交基设a=x1+x2E2+…+xn,B=V1+y2E2+…+yEn,则 Ua=xUE1+…+ x ua UB=yUE1+…+yUE 于是 Ua,UB)=x+. +xnyn=(a, B) 即U是酉变换 命题n维酉空间上的酉变换的全体(关于映射的复合)构成群,称为n维酉变换群, 记为U(n) 证明与正交变换群类似 平行地,n阶酉矩阵的全体(对于矩阵的乘法)构成群,称为n阶酉群,也记为U(m)

时).    V,有 (U  , U  )=| U  | 2 =|  | 2 =(  , ). 以  =k i  + j  代入上式,在分别令 k=1 及 I,可得(U i  U j  )=0 3)  4) 由命题 3.2 可得. 4)  1) 设U 在标准正交基 1 2 n  ， ，， 下的矩阵U是酉矩阵.由命题3.2知U 1  ,…, U n  也是标准正交基.设  = 1 1 2 2 n   n x + x ++ x ,  = 1 1 2 2 n   n y + y ++ y ,则 U  = 1 x U 1  +…＋ n x U n  U  = 1 y U 1  +…＋ n y U n  于是 (U  ,U  )= n n x y ++ x y 1 1 =(  ,  ) 即 U 是酉变换. 命题 n 维酉空间上的酉变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为 n 维酉变换群， 记为 U(n). 证明 与正交变换群类似. 平行地， n 阶酉矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为 n 阶酉群，也记为 U(n)