北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.2子空间与商空间 4.2.2子空间的交与和,生成元集 4.2.3 维数公式

第一学期第二十次课 422子空间的交与和,生成元集 定义413设a1a2…,aEV,则{a+ka2+…+k,|k∈K=12…是V的 个子空间,称为由a2a2…,a,生成的子空间,记为L(a,a2…,∝1)。易见,生成的子空 间的维数等于 的秩 定义414子空间的交与和 设,V2为线性空间ⅤK的子空间,定义 V1∩n2={v∈且v∈l2},称为子空间的交; V+2={1+v2|v∈V1V2∈H2},称为子空间的和 命题49V∩v2和V+V2都是V的子空间 证明: 由命题,只需要证明V∩V2和V+V2关于加法与数乘封闭即可。 事实上,Va,B∈V1∩V2,则a,B∈H1,a,B∈V2。由于V1,V2均是V的子空间,则 a+B∈V1,a+f∈V2,于是a+B∈∩H2,V∩2关于加法封闭,Va∈V∩v2,k∈k, k∈H1,h∈2,于是h∈H∩v2,H∩V2关于数乘封闭;Va,B∈H1+V2,则由H+2 的定义,彐a1B∈V,a2,B2∈V2,使得a=a1+∝2,B=B+B2,而 a1+B1∈H1,a2+B2∈V2,则 a+B=(a1+a2)+(B+B)=(a1+B)+(a2+B2)∈V1+H2,1+H2关于加法封闭, Va∈V+H2k∈K,彐a∈H1,a2∈V2,使得a=a1+a2,由于ka1∈1,ka2∈2,则 ka=k(ax1+a2)=ka1+ka2∈H1+V2,V1+V2关于数乘封闭 证毕 命题410设V,F2…,V是V的子空间,则∩V2∩…∩Vm和V+V2+…+Vm均为V的 子空间 42.3维数公式。 定理41设Ⅴ为有限维线性空间,V,V2为子空间,则 dim(i+V2)=dimV, +dim V-dim(nv2) 这个定理中的公式被称为维数公式 证明: i dimV=S, dimV2=t, dim(V,+V)=n, dim(nv=r

第一学期第二十次课 4.2.2 子空间的交与和，生成元集 定义 4.13 设 1 2 , , ,   t V ，则 k k k k K i t 1 1 2 2    + + +  = t t i | , 1,2, ,  是 V 的一 个子空间，称为由 1 2 , , ,   t 生成的子空间，记为 1 2 ( , , , ) L   t 。易见，生成的子空 间的维数等于 1 2 , , ,   t 的秩。 定义 4.14 子空间的交与和 设 1 2 V V, 为线性空间 V/K 的子空间，定义 1 2 1 2 V V v V v V =   { } 且 ，称为子空间的交； 1 2 1 2 1 1 2 2 V V v v v V v V + = +   { | , } ，称为子空间的和。 命题 4.9 V V 1 2 和 V V 1 2 + 都是 V 的子空间。 证明： 由命题 ，只需要证明 V V 1 2 和 V V 1 2 + 关于加法与数乘封闭即可。 事实上， 1 2    , V V ，则 1  , V ， 2  , V 。由于 1 2 V V, 均是 V 的子空间，则 1 2     +  +  V V , ，于是   + V V 1 2 ，V V 1 2 关于加法封闭，   V V 1 2 ，k K  ， 1 2 kv V kv V   , ，于是 1 2 kv V V  ，V V 1 2 关于数乘封闭； 1 2   +  , V V ，则由 V V 1 2 + 的 定 义 ， 1 1 1 2 2 2        , , , V V ，使得 1 2 1 2       = + = + , ， 而 1 1 1 2 2 2     +  +  V V , ，则 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2           + = + + + = + + +  + ( ) ( ) ( ) ( ) V V ，V V 1 2 + 关于加法封闭， 1 2   +   V V k K , ， 1 1 2 2      V V , ，使得    = +1 2 ，由于 1 1 2 2 k V k V     , ，则 1 2 1 2 1 2 k k k k V V      = + = +  + ( ) ，V V 1 2 + 关于数乘封闭。 证毕。 命题 4.10 设 1 2 , , , V V Vm 是 V 的子空间，则 V V V 1 2 m 和 V V V 1 2 + + + m 均为 V 的 子空间。 4.2.3 维数公式。 定理 4.1 设 V 为有限维线性空间， 1 2 V V, 为子空间，则 1 2 1 2 1 2 dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V + = + − 。 这个定理中的公式被称为维数公式。 证明： 设 1 dimV s = ， 2 dimV t = ， 1 2 dim( ) V V n + = ， 1 2 dim( ) V V r =

取H∩V2的一组基E1,E2…,6,(若V∩v2=0,则r=0,基为空集) 将此基分别扩充为V1,H2的基 E,B1,B2…B. 只需要证明s1,E2,…,E,12a2…,a,,B,B2…B-是V+V2的一组基即可 首先,易见V+2中的任一向量都可以被E1:E2…51,a1,2…a,B,B2…,B线性表 出。事实上,Vy∈V+V2,则γ=%1+y2,其中y1∈H1,y2∈V2, 而 1=kE1+k2E2 r E a,+…+ka 72=l+l52+…+15n+1a1++2+…+la-k,l∈K 于是y=y+y2可被E1E2,…,E11,a2…,a1-,月,B2…B-线性表出。只要再证明向量 组E12E2…,En,(12a2…,a1-,月,B2,…B-线性无关即可 设kE1+k2E2+…+kE+a11+a2a2+…+a,1+bB1+b2B2+…+bB-=0 其中k,a,b∈ k1+k2E2+…+k,En+a11+a2a2+…+a,=-bB1-b2B2-…-bB→,(*) 于是 k51+k2E2+…+kE+a1a1+a2a2+…+a1-O-∈V bB-b2B2-…-bB∈V2, 于是kE1+k2E2+…+kEn+a1a1+a2a2+…+a1a-∈V∩V2,记为a。 则a可被E1,E2,…,E,线性表示,则 hE1+h2E2+…+hE h+h2E2+…+hE+b月+b2B2+…+bB-= 由于51E2…,,月,B2,…,B是V2的一组基,所以线性无关,则 h=h2=…=b=b=b2 带回(*),又有 k=k2=…=k 于是向量组E,E2…,6,a12a2…,a,,B,月2…B-线性无关 证毕 推论21设V,H2…7都是有限为线性空间V的子空间,则:

取 V V 1 2 的一组基 1 2 , , , r    （若 V V 1 2 =0，则 r = 0 ，基为空集） 将此基分别扩充为 1 2 V V, 的基 1 2 1 2 , , , , , , , r s r       − ， 1 2 1 2 , , , , , , , r t r       − ， 只需要证明 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r s r t r          − − 是 V V 1 2 + 的一组基即可。 首先，易见 V V 1 2 + 中的任一向量都可以被 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r s r t r          − − 线性表 出。事实上， V V 1 2   +  ，则 1 2    = + ，其中 1 1 2 2     V V , ， 而 1 1 1 2 2 1 1 2 2 , r r r r s s r        k k k k k k = + + + + + + + + + − 2 1 1 2 2 1 1 2 2 . r r r r t t r        l l l l l l = + + + + + + + + + − , i j k l K  于是 1 2    = + 可被 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r l r t r          − − 线性表出。只要再证明向量 组 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r l r t r          − − 线性无关即可。 设 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 r r s r s r t r t r k k k a a a b b b          + + + + + + + + + + + = − − − − ， 其中 , , i j h k a b K  则 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 r r s r s r t r t r k k k a a a b b b          + + + + + + + = − − − − − − − − ，（*） 于是 1 1 2 2 1 1 2 2 1 r r s r s r k k k a a a V       + + + + + + +  − − ， 1 1 2 2 2 t r t r − − − −  b b b V   − − ， 于是 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 r r s r s r k k k a a a V V       + + + + + + +  − − ，记为  。 则  可被 1 2 , , , r    线性表示，则 1 1 2 2 r r     = + + + h h h ， 带入（*），有 1 1 2 2 1 1 2 2 0 r r t r t r h h h b b b       + + + + + + + = − − ， 由于 1 2 1 2 , , , , , , , r t r       − 是 V2 的一组基，所以线性无关，则 1 2 1 2 0 r t r h h h b b b = = = = = = = = − ， 带回（*），又有 1 2 1 2 0 r s r k k k a a a = = = = = = = = − ， 于是向量组 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , r s r t r          − − 线性无关。 证毕。 推论 2.1 设 1 2 , , , V V Vt 都是有限为线性空间 V 的子空间，则：

dim(V+V2+…+V1)≤dimV+dim2+…+dimV。 证明:对t作归纳

1 2 1 2 dim( ) dim dim dim V V V V V V + + +  + + + t t 。 证明：对 t 作归纳