北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.1）欧几里得空间

第二学期第三次课 第六章带度量的线性空间 §1欧几里得空间 设f是实线性空间V上的一个正定、对称的双线性函数,则 Va,B∈V,(a,B):=f(a,B)称为向量a与B的内积:具有内积的实线性空间称为欧几里 得空间(简称欧氏空间) 对任意a∈V,定义 x=√a,a) 为向量a的长度或模.|a=1时,称a为单位向量 命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式)对欧氏空间V内任意两个向量a,B,有 (a,B)图a|·|B 证明(a+tB,a+tB)≥0对任意t∈R成立,而 (a+t B, a+t B)=(B, B)t+2t(a, B)+(a, a) △=4(a,B)2-4(a,aB,B)≤0,故|ax,B)图a|-|B 由命题1.1可定义二向量a与B的夹角 =arccos la BI 如果(a,B)=0,则称a与B正交 设E1,E2…,En是n维欧氏空间V的一组基.令 (1,1)(E1,E2) G E1)(E2,E2)…(E2,En) (En,E)(E,E,)..(En, E,) 称G为内积(a,B)在基E,E2…,En下的度量矩阵 G是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的 命题1.2设欧氏空间V内s个非零向量a1,a2,…a、两两正交,则它们线性无关 证明假如

第二学期第三次课 第六章 带度量的线性空间 §1 欧几里得空间 设 f 是 实 线 性 空 间 V 上 的 一 个 正 定 、 对 称 的 双 线 性 函 数 , 则 ,  V, ( ,  ):= f (,  ) 称为向量 与 的内积；具有内积的实线性空间称为欧几里 得空间（简称欧氏空间）； 对任意  V, 定义 | |= (,) 为向量  的长度或模.| |=1 时,称  为单位向量. 命题 1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间 V 内任意两个向量 ,  ,有 | (,  )|| | |  | 证明 (  +t  , +t  )  0 对任意 t  R 成立,而 (  +t  , +t  )=(  ,  )t 2 +2t( ,  )+ (,) 4( , ) 4( , )( , ) 0 2  =   −      ,故 | (,  )|| | |  | 由命题 1.1 可定义二向量 与 的夹角 = | | | | ( , ) arccos      如果( ,  )=0,则称 与 正交. 设 1 2 n  ， ，， 是 n 维欧氏空间 V 的一组基.令               = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n G                         称 G 为内积( ,  )在基 1 2 n  ， ，， 下的度量矩阵. G 是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的. 命题 1.2 设欧氏空间 V 内 s 个非零向量 1 2 s  , ,  , 两两正交,则它们线性无关. 证明 假如

k1a1+k2a2+…+k,a3=0 两边用a,作内积,得k1=0,(i=1,2,…,s) 如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量E1,E2,…,En,则由命题1.2可知 它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组标准正交基 显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E 设,n2,,7n是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆 阵T,使TGT=E.现令(E1,E2,,En)=(,2,…,7n)易验证G1,E2…,En就 是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的 设R上n阶方阵T满足 TT=E 则称T是正交矩阵 命题1.3s,;E2…,En是V的一组标准正交基,令 7,n2…,mn)=(E,E2, 则7,n2,…,nn是一组标准正交基当且仅当T是正交矩阵 证明必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 TET=E 即TT=E,T是正交矩阵 充分性:T是正交阵,故可逆,于是,n2…,7n也是一组基.设内积在此基下的 度量矩阵为G,则G=TET=E,从而n,2,…,是标准正交基 命题1.3给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩 阵 下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特( Schmidt)正交化方法 把问题提得一般一些:给定V中一个线性无关的向量组 要求作出一个新向量组 满足

k11 + k2 2 ++ ks s = 0 两边用  i 作内积,得 ki = 0 ,(i=1,2,…,s). 如果 n 维欧氏空间 V 内有 n 个两两正交的单位向量 1 2 n  ， ，， ,则由命题 1.2 可知 它们是线性无关的,从而是 V 的一组基,称为 V 的一组标准正交基. 显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵 E. 设 1，2，，n 是 V 的一组基,内积在此基下的度量矩阵为 G.G 正定,故存在实可逆 阵 T,使 TGT = E.现令( 1 2 n  ， ，， )=( 1，2，，n )T.易验证 1 2 n  ， ，， 就 是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的. 设 R 上 n 阶方阵 T 满足 T T = E 则称 T 是正交矩阵. 命题 1.3 1 2 n  ， ，， 是 V 的一组标准正交基,令 ( 1，2，，n )=( 1 2 n  ， ，， )T 则 1，2，，n 是一组标准正交基当且仅当 T 是正交矩阵. 证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 T ET = E 即 T T = E ,T 是正交矩阵. 充分性:T 是正交阵,故可逆.于是 1，2，，n 也是一组基.设内积在此基下的 度量矩阵为 G,则 G = T ET = E ,从而 1，2，，n 是标准正交基. 命题 1.3 给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩 阵. 下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。 把问题提得一般一些:给定 V 中一个线性无关的向量组 1 2 s  , ,  , 要求作出一个新向量组 1 2 s  ， ，， 满足:

(1)L(E1,E2 )=L(a1,a E2,,E两两正交 具体做法如下 E1,E1 En E (E1,E1)( i+17 E1+1=C1+1 k=l(Ek,EK) Ek E,=a.(a,6) 不难看出E1,E2…,E满足所要求的条件

(1) L( 1 2 i  ， ，， )=L( 1 2 i  , ,  , ) (2) 1 2 s  ， ，， 两两正交. 具体做法如下: , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 1 1 1 2 1 2 2 1 1                      = − − = − =   − = = + + + = − = − s 1 k 1 k k k s k s s i k 1 k k k i 1 k i 1 i 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )                 不难看出 1 2 s  ， ，， 满足所要求的条件