《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（3.4）二维r.v.函数的分布

Ch3-110 §3.4二维r函数的分布 问题已知(X,Y)的棚率分布, g(x,y)为已知的二元函数, 求z=g(X,Y)的概率分布 方法转化为(X,Y)的事件

Ch3-110 §3.4 二维 r.v.函数的分布 已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为( X ,Y )的事件 问题 方法 求 Z = g( X ,Y )的概率分布

Ch3-111 当(X,Y)为离散:v时,Z也离散 Z=Zk=g(x,y,) P(Z==*)=2P(X=X, Y=y, )k=1,2, 当(X,Y)为连续:时, F2(2)=P(Z≤2)=P(g(X,Y)≤z) lI f(r, y)dxdy 其中D.:{(x,y)g(xy)≤2

Ch3-111 当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散 ( , ) k k k i j Z = z = g x y  = = = = = k k j k i k k g x y z k i j P Z z P X x Y y ( , ) ( ) ( , ) k =1,2,  当( X ,Y )为连续r.v.时， F (z) P(Z z) Z =  = P(g(X,Y)  z)  = Dz f (x, y)dxdy D : {(x, y) | g ( x, y) z} z 其中 

Ch3-112 D2-:8(x,y)|g(xy)≤x}的几何意义 0.5 0.75 0.25 0 1

Ch3-112 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.25 0.5 0.75 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 D : {( x, y) | g ( x, y) z} z  的几何意义： Dz

Ch3-113 离散型二维r的函数 例1设二维:(XY)的概率分布为 Pyx -1 Y 416 0 41812 求x+Y,X-y,XYyx的概率分布

Ch3-113 例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为 X Y pij -1 1 2 -1 0 1 4 1 6 1 4 1 8 1 12 1 8 求 X +Y, X −Y, XY,Y X 的概率分布 离散型二维 r.v.的函数

Ch3-114 解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格 P 4 61/8181/12 (X,Y)(-1,-1)(10)(1,-1)(1,0)(2,1)(2,0) X+Y-2 0 2 X-Y 0 32 ⅩY 0 0-20 Y/X 1 0-1 0-1/20

Ch3-114 解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0

Ch3-115 故得 X+y 012 P141416141/2 Y 4141/8141/8

Ch3-115 故得 P X+Y -2 -1 0 1 2 1 4 1 4 1 6 1 4 1 12 P X - Y -1 0 1 2 3 1 4 1 4 1 8 1 4 1 8

Ch3-116 ⅩY P 816112414 YX 1/20 P1618112414

Ch3-116 P X Y -2 -1 0 1 1 8 1 6 11 24 1 4 P Y /X -1 -1/2 0 1 1 6 1 8 11 24 1 4

Ch3-117 具有可加性的两个离散分布 口设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立 则X+Y~B(n1+m2,p) 口设X~P(41),Y~P(2),且独立 则X+Y~P(41+A2)

Ch3-117 ❑ 设 X ~B (n1 , p), Y ~B (n2 , p), 且独立， 具有可加性的两个离散分布 ❑ 设 X ~ P (1 ), Y ~ P (2 ), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2 , p) 则 X + Y ~ P(1+ 2 )

Ch3-118 Poisson分布可加性的证明 X~P(1),Y~P(2),则 Z=X+Y的可能取值为0,1,2,, P(Z=k)=>P(X=i, Y=k-i), 大xe,2e2 ∑ o i!(k-i) 1-2k ∑ k! k k! i0i! (k-i) (41+2)e4b k=0.1.2 k!

Ch3-118 X ~ P(1 ), Y ~ P(2 ), 则 Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , ( ) ( , ), 0 = = = = = − k i P Z k P X i Y k i = − − − − =  k i i k i k i e i e 0 1 2 ! ( )! 1 2   = − − − − = k i i k i i k i k k e 0 1 2 !( )! ! ! 1 2     ! ( ) 1 2 1 2 k e k     − − + = k = 0,1,2,  Poisson分布可加性的证明

Ch3-119 二维连续rv函数的分布 问题已知:v(X,Y)的af数, g(xy)为已知的二元函数, 求z=g(X,F)的df 方法 口从求z的分布函数出发将Z的分布函数 转化为(X,Y)的事件 口建立新的二维(z,X)或(Z,Y), 求其边缘分布得Z的l,f

Ch3-119 问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的d.f. 方法 ❑ 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件 ❑ 建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f. 二维连续r.v.函数的分布