清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章习题讨论2

第二章多元微分学 11-Bxe-1习题讨论(I 11Exe-1-1讨论题 11-Exe-1-1参考解答 习题讨论 题 目 1f(x,y)=√xy试讨论 (1)f(x,y)在(0,0)处的连续性 (2)f(x,y)在(0,0)处的两个偏导数是否存在 (3)f(x,y)在(0,0)处的可微性 2.证明若函数f(x,y)在区域D中的任一点都关于x连续,偏导数 f(x,y)存在且在D上有界,则f(x,y)在D上连续 3.证明若函数f(x,y)在区域D中的任一点都关于x连续,偏导数 ∫(x,y)存在且在D上有界则f(x,y)在D上连续 4.证明:若函数f(x,y)关于x的偏导数在(x,y0)点连续,∫"(xo,y0) 存在则f(x,y)在(x0,y0)处可微 5求下列偏导数 (1)f(x,y)=3xy+5xsmy+6y,求∫2(O,号f,(O,号) 0,xy=0 (2)f(x,y) ,求fx(0.0),J(0.0) l,xy≠0 (3)=f(x,u2v),u=9(x,y)V=v(x,y),求 aw aw b,其中厂可 微,Q,v可微且qv≠qv (4设二由方程=y确定求2 (5)设=f(x,y)在点(1,1)可微,且f(1,1)=1,f(1L1)=a,f(1)=b 又设叫(x)=f(x,(x,f(x,x)求o(1、d(x) 6求下列二阶偏导数 (1)设z=f(x+y,xy),且f的二阶偏导数连续,求 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 11-Exe-1 习题讨论(I) 11-Exe-1-1 讨论题 11-Exe-1-1 参考解答 习 题 讨 论 题 目 1. f (x, y) = xy ,试讨论: (1) f (x, y) 在 (0,0) 处的连续性; (2) f (x, y) 在 (0,0) 处的两个偏导数是否存在; (3) f (x, y) 在 (0,0) 处的可微性. 2. 证明:若函数 f (x, y) 在区域 D 中的任一点都关于 x 连续,偏导数 f (x, y) y  存在且在 D 上有界,则 f (x, y) 在 D 上连续. 3. 证明:若函数 f (x, y) 在区域 D 中的任一点都关于 x 连续,偏导数 f (x, y) y  存在且在 D 上有界,则 f (x, y) 在 D 上连续. 4．证明:若函数 f (x, y) 关于 x 的偏导数在 ( , ) 0 0 x y 点连续, ( , ) 0 0 f x y y  存在,则 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可微. 5.求下列偏导数: (1) f (x, y) = 3x y +5xsin y +6y 2 ,求 (0, ), (0, ) 2    x y f f (2)     = = 1, 0 0, 0 ( , ) xy xy f x y ,求 f f x y (0,0), (0,0) (3) w= f (x,u,v),u = (x, y),v = (x, y) , 求     w u w v , , 其 中 f 可 微,, 可微且  x y  y x      . (4)设 z 由方程 z y x z = 确定,求     z x z y , (5)设 z = f (x, y) 在点 (1,1) 可微,且 f (1,1) = 1, f x (1,1) = a, f y (1,1) = b , 又设 (x) = f (x, f (x, f (x, x))),求:   ( ), ( ) 1 2 1 d x dx x= 6.求下列二阶偏导数: (1)设 z = f (x + y, xy),且 f 的二阶偏导数连续,求    2 z x y

第二章多元微分学 (2)设二=f(x,(x2,y2),且f与的二阶偏导数连续求 Oxy (3)设函数二=f(x,y)由方程F(cx-a,y-b)=0确定,求 其中F的二阶偏导数连续F+bF2≠0,F(i=1,2)表示F对第个 变量的偏导数 7已知=(xy)满足Qn_2ufm,al ar2oy2(ar+a/=0,选择参数a,B 利用(x,y)=V(x,y)e+将原方程变形使新方程中不出现一阶偏 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 (2)设 z = f (x,(x , y )) 2 2 ,且 f 与  的二阶偏导数连续,求    2 z x y . (3)设函数 z = f (x, y) 由方程 F(cx −az,cy −bz) = 0 确定,求    2 z x y . 其中 F 的二阶偏导数连续,aF1 bF2 0 ' ' +  ,F i i ' ( = 1,2) 表示 F 对第 i 个 变量的偏导数. 7.已知 u = u(x, y) 满足 0 2 2 2 2 =          +   +   −   y u x u a y u x u ,选择参数 ,, 利用 u x y v x y e x y ( , ) = ( , )  + 将原方程变形,使新方程中不出现一阶偏 导数