《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（3.2）二维r.v.的条件分布

§32二维rv的条件分布 二维离散rv的条件分布律 设二维离散型rⅴ.(X,Y)的分布 P(X=X, r=y) 若p.=P(X=x)=∑P1>0 则称P(X=x,y=y 记作 )Pv=P(=y X=x P(X=x,) 为在X=x;的条件下,Y的条件分布律

§3.2 二维 r.v.的条件分布 P(X = xi ,Y = y j ) = pij , i, j =1,2,  设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布 若 ( ) 0 1 = = =    = • j i i ij p P X x p 则称 • = = = = i ij i i j p p P X x P X x Y y ( ) ( , ) 为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律j =1,2,  ( ) j i = P Y = y X = x 记作 二维离散 r.v.的条件分布律

若p,=P(Y=y)=∑P>0 则称 P(X=x,Y=y)P记作 P(r=y,) P(X=X,Y=y i=1.2 为在Y=y的条件下X的条件分布律 类似乘法公式 P(XE, Y=y)=(X=X)P(=y, X=X, =P(Y=DP(X=, Y=y) i,=1,2

若 ( ) 0, 1 = = =    = • i j j ij p P Y y p 则称 j ij j i j p p P Y y P X x Y y • = = = = ( ) ( , ) 为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律 i =1,2,  ( ) i j = P X = x Y = y 记作 类似乘法公式 ( , ) ( ) ( ) i j i j i P X = x Y = y = P X = x P Y = y X = x ( ) ( ) j i j =P Y = y P X = x Y = y 或 i, j =1,2, 

类似于全概率公式 P(X=x)=∑2=∑P(X=x,y=y,) =∑P(X=xY=y)PY=y) i=12.… P(Y=y)=∑=∑P(X=x,y=y =∑P(Y=yX=x)P(X=x) j=1,2

类似于全概率公式 ( ) ( , ) 1 1    =  = = = = = = j i j j i ij P X x p P X x Y y ( ) ( ) 1 j j i j = P X = x Y = y P Y = y  = i =1,2,  ( ) ( , ) 1 1    =  = = = = = = i i j i j ij P Y y p P X x Y y ( ) ( ) 1 i i j i = P Y = y X = x P X = x  = j =1,2, 

例1把三个球等可能地放入编号为 2,3的三个盒子中,每盒可容球数无 限.记ⅹ为落入1号盒的球数,Y为 落入2号盒的球数,求 (1)在Y=0的条件下,X的分布律; (2)在X=2的条件下,Y的分布律

例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无 限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为 落入 2 号盒的球数，求 (1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律

解先求联合分布, P(X=L, Y=j)=P(X=i)P(Y=jX=i) 3八(3 2八(2 j=0,…,3-i;讠=0,1,2,3 其联合分布与边缘分布如下表所示

解 先求联合分布， P(X = i,Y = j) = P(X = i)P(Y = j X = i) j i j j i i i i C C − − − −                          = 3 3 3 3 2 1 2 1 3 2 3 1 j = 0,  ,3− i; i = 0,1,2,3; 其联合分布与边缘分布如下表所示

3 27 2 7 7 0123p 9 9 27 92-91-904 91-90029 000 82492-91 27 279 7

X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 27 1 27 1 27 1 27 1 9 1 9 1 27 1 0 0 0 9 1 9 1 0 0 9 1 9 1 9 2 0 pi• 27 8 27 8 9 2 9 2 9 4 9 4 1 p• j

(1)P(X=iY=0)= P(X=i,Y=0) P(Y=0 P(X=i, Y=0) i=0.1.2.3 8/27 将表中第一行数据代入得条件分布 123 P(X=iY=0)1/83/83/818

X P(X = i Y = 0) 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 将表中第一行数据代入得条件分布 ( 0) ( , 0) ( 0) = = = = = = P Y P X i Y P X i Y 8/ 27 ( = , = 0) = P X i Y i = 0,1,2,3 (1)

(2)当X=2时,Y只可能取0与 将表中第三列数据代入下式 P(r=;(x=2)P(X=2,Y=j 0.1 2/9 得Y的条件分布 Y 0 PY=x=2)1212

Y P(Y = j X = 2) 0 1 1/ 2 1/ 2 (2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1. 将表中第三列数据代入下式 P(Y = j X = 2) , 2 / 9 P(X = 2, Y = j) = j = 0,1 得Y 的条件分布

例2已知一射手每次击中目标概率为 p(0<p<1),射击进行到击中两次为 止.令X表示首次击中目标所需射击次 数,Y表示总共射击次数.求(,Y)的联 合分布律、条件分布律和边缘分布律. 解由题设知X~G(p),Y~P(2,P) 故X与Y的边缘分布律分别为 P(X=m)=p(1-n),m=1,2 P(Y=n)=(n-1)p2(-p)"2,n=2,3

解 例2 已知一射手每次击中目标概率为 p ( 0 < p < 1 ), 射击进行到击中两次为 止. 令 X 表示首次击中目标所需射击次 数, Y 表示总共射击次数. 求 的联 合分布律、条件分布律 和 边缘分布律. (X, Y) 由题设知 X ~ G( p), 故 X 与Y 的边缘分布律分别为 (1 ) , −1 − m P(X = m) = p p m =1,2,  Y ~ P(2, p) P(Y = n)= (n −1) p 2 (1− p) n−2 , n = 2,3, 

(X,Y)的联合分布律为 P(X=m, r=n) =P(X=m)P(Y=n X=m) =p(1-p)·p(-p)y p2(1-p) 1,2,…,n-1;n=2,3 1.2∴n=m+1.m+2

2 2 (1 ) − = − n p p = P(X = m)P(Y = n X = m) m =1,2,  ,n −1; n = 2,3,  (m =1,2, ; n = m +1,m + 2, ) (X , Y) 的联合分布律为 1 1 (1 ) (1 ) − − − = −  − m n m p p p p P(X = m,Y = n)