《机械工程控制基础》课程教学资源（PPT课件）第二章 系统的数学模型

第二章系统的数学模型 基础章节 传递函数 模型： 对建模的要求：准确、简化 状态空间表达式 基本概念：1.微分方程；2.传递函数；3.方框图；4.相似原理

第二章 系统的数学模型 对建模的要求：准确、简化 传递函数 状态空间表达式 基本概念：1.微分方程；2.传递函数；3.方框图；4.相似原理 模型： 基础章节

本章内容 一系统数学模型基本概念，应用机械动力学、电子 学等基础知识建立系统数学模型的基本方法，典型例子； 二传递函数的基本概念，其数学、物理意义，求取 方法，输入输出信号与传递函数的关系； 三系统方框图，闭环控制系统及其传递函数，方框 图的等效简化，工程中典型的机、电系数的传递函数

一.系统数学模型基本概念，应用机械动力学、电子 学等基础知识建立系统数学模型的基本方法，典型例子； 二.传递函数的基本概念，其数学、物理意义，求取 方法，输入输出信号与传递函数的关系； 三.系统方框图，闭环控制系统及其传递函数，方框 图的等效简化，工程中典型的机、电系数的传递函数。 本章内容

§2.1系统的微分方程 线性系统与非线性系统： 1.线性 ao(t)+a(t)+azxo(1)=x,(t) 特性：叠加原理，多个输入量同时作用产生的响应，可单 个处理叠加： (+x=Asin(@t) 2.非线性： x+x+x+x3=0 实际只是一定的工作范围内，保持线性关系。 特点：不能叠加线性化（一定的范围内)

§2.1 系统的微分方程 一.线性系统与非线性系统： 1.线性 特性：叠加原理，多个输入量同时作用产生的响应，可单 个处理 叠加. 2.非线性： 实际只是一定的工作范围内，保持线性关系。 特点：不能叠加 线性化（一定的范围内） a x t a x t a x t x t 0 0 1 0 2 0 ( ) + + = ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ) 2 3 sin 0 x x x A t xxxx + + =  + + + =

二线性系统微分方程的列写 设线性定常系统的输入为x(输出为 (t) 则描述系统输入一输出动态关系的微分方程为： anx)m(t)）+an-xm-(t0）+.+ax()+a,x(t) =bnxm()+bn-1xm-()++b元(（)+bx(t) (n≥m)

二.线性系统微分方程的列写 设线性定常系统的输入为 ，输出为 ， 则描述系统输入—输出动态关系的微分方程为： x t i ( ) x t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 0 1 0 1 0 0 0 ( ) ( 1) 1 1 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) n n n n m m m i m i i i a x t a x t a x t a x t b x t b x t b x t b x t n m − − − − + + + + = + + + + 

例1：弹簧、质量、阻尼机械系统，输入外力f()输出 位移y()试写出系统的微分方程。 解： my=f-cy-ky m mi+cy+ky=f

例1：弹簧、质量、阻尼机械系统，输入外力 ，输出 位移 ，试写出系统的微分方程。 解： f t( ) y t( ) my f cy ky my cy ky f = − − + + = m C y f k m cy f ky

例2：m-k振动系统，输入外打(0)，输出()() 求其动力学方程。 y10 y2(0 m2 2 m2 ky m戊+y+k2（y-2)=f(I) m m2j2=k2（y-2)(2) k(4-)

例2：m-k振动系统，输入外力 ，输出 ， 求其动力学方程。 f t( ) y t 1 ( ) y t 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 .(1) .(2) m y ky k y y f m y k y y  + + − =   = −  k1 m1 k2 m2 f(t) y1(t) y2(t) m2 k y y 2 1 2 ( − ) m1 f 1 ky k y y 2 1 2 ( − )

三系统非线性微分方程的线性化（略)P31页 四列写系统微分方程的一般步骤： 1.分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的 输入量和输出量。 2从系统的输入端开始，依物理定律，依次列写系统各元件 的动力力学方程，其中要考虑相邻元件间的负载效应。 3.将各方程式中的中间变量消去，求出输入量一输出量间的 微分方程 4.在列写微分方程时，对非线性项进行线性化处理

三.系统非线性微分方程的线性化（略）P31页 四.列写系统微分方程的一般步骤： 1.分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的 输入量和输出量。 2.从系统的输入端开始，依物理定律，依次列写系统各元件 的动力力学方程，其中要考虑相邻元件间的负载效应。 3.将各方程式中的中间变量消去，求出输入量—输出量间的 微分方程 4.在列写微分方程时，对非线性项进行线性化处理

§2.2拉普拉斯(Laplace)变换 1.熟悉L变换的定义 2.典型函数的拉氏变换 要求{ 3.拉氏变换的基本原理 4.部分分式展开式及待定系数法 5.查L表 1.方便求解，以时间表示的微分方程变为以S表示的代数方程 2.对零初始条件下，引入传递函数和传递矩阵的概念，直接 在复（频)域中研究系统的动态特性，以及对系统进行综合、 校正，具实际意义

§2.2 拉普拉斯（Laplace）变换 1.熟悉L变换的定义 2.典型函数的拉氏变换 3.拉氏变换的基本原理 4.部分分式展开式及待定系数法 5.查L表 1.方便求解，以时间表示的微分方程变为以S表示的代数方程 2.对零初始条件下，引入传递函数和传递矩阵的概念，直接 在复（频）域中研究系统的动态特性，以及对系统进行综合、 校正，具实际意义。 要求

一拉氏变换的定义 若孔)为的函数，且t<0时，)=0，则)的拉氏变换 定义为： F(S)=L[f()]=0f(e"t 象函数 原函数

若f(t)为t的函数，且t<0时， f(t) =0，则f(t)的拉氏变换 定义为： ( ) ( ) ( ) 0 st F S L f t f t e dt  − = =      象函数 一 .拉氏变换的定义 原函数

二.一些常用函数的拉氏变换 0 ) 1.单位阶跃函数 t<0 t≥0 →t F(S)=L[u()]=u(te "d=e"di

1.单位阶跃函数 ( ) ( ) ( ) 0 0 st st F S L u t u t e dt e dt   − − = = =       ( ) 0 0 1 0 t u t t   =    二.一些常用函数的拉氏变换 u(t) t a 0 1 1 st e S S  − = − =