《机械工程控制基础》课程授课教案（讲义）第四章 控制系统的频率特性

第四章控制系统的频率特性 第三章中讲述：建立数学模型→分析：稳、快、准 直接方法→时域分析法：直观，分析高阶系统非常繁琐 间接方法→频率法 特点 从G,(S)分析闭环控制的各种特性 频率法的优，点 (1)工程实践中，不希望大量繁多计算，要求简单迅速的分析出动态 性能及如何调整。（而开环频率特性容易绘制或通过实验获得） 此外：电路 机械振动了与频率特性有密切的关系 机械受到一定w的作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激 振动。振动学中的共振频率，频谱密度，动刚度，扶振稳定性等概念都 可归纳为机械系统在频率域中表现的特性。 (2)可由试验确定 本章内容 (一)阐明频率响应与频率特性的基本概念及表示方法一基础

第四章 控制系统的频率特性 第三章中讲述：建立数学模型  分析：稳、快、准 直接方法  时域分析法：直观，分析高阶系统非常繁琐 间接方法  频率法 特点 从 G S k    分析 闭环控制的各种特性 频率法的优点 (1)工程实践中，不希望大量繁多计算，要求简单迅速的分析出动态 性能及如何调整。(而开环频率特性容易绘制或通过实验获得) 此外：电路 机械振动 与频率特性有密切的关系 机械受到一定 w 的作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激 振动。振动学中的共振频率，频谱密度，动刚度，扶振稳定性等概念都 可归纳为机械系统在频率域中表现的特性。 (2)可由试验确定 本章内容 (一)阐明频率响应与频率特性的基本概念及表示方法——基础

频率特性与传函的关系 动刚度与动柔度的概念 ”频率特性与传函的关系 (二)介绍频率特性的图形分析法 动刚度与动柔度的概念 Nyqwist图与Bode图的一般概念，典型环节 绘制Nyqwist图与Bode图的一般步骤和方法 (三)有频率特性曲线→传函 (根据频率特性的Bode图辨识系统的数学模型的一般方法) (四)其他有关问题：频率特性的特征量，最小相位系统等

频率特性与传函的关系 动刚度与动柔度的概念 频率特性与传函的关系 (二)介绍频率特性的图形分析法 动刚度与动柔度的概念 Nyqwist 图与 Bode 图的一般概念，典型环节 绘制 Nyqwist 图与 Bode 图的一般步骤和方法 (三)有频率特性曲线  传函 (根据频率特性的 Bode 图辨识系统的数学模型的一般方法) (四)其他有关问题：频率特性的特征量，最小相位系统等

§4.1频率特性的基本概念 一.频率响应 系统对正弦信号（或谐波信号）的稳态响应。 响应瞬态一不是正弦波 ·稳态一是和输入的正弦信号w相同的正弦波，但振幅和相位都 与输入量不同。 输入：x（U=X,sin ot=Xem 输入的稳态响应：七0=X,(o)sin[or+p(o)] =Xo(o)eo 一频率响应 例4.1：机械系统如图4.1所示.当输入正弦力f()=Fsinot时，求其 x)位移的稳态输出。 1 么f0=a0+a0 6同c8 —T=k 时间常数 图4.1机械系统 Fo C C2S+C K(S)-141S+014

§4.1 频率特性的基本概念 一.频率响应 系统对正弦信号(或谐波信号)的稳态响应。 响应 瞬态—不是正弦波 稳态—是和输入的正弦信号 w 相同的正弦波，但振幅和相位都 与输入量不同。 输入 ：   sin j t i i i x t X t X e     输入的稳态响应：           0 0 0 sin j t x t X t X e                     频率响应 例 4.1：机械系统如图 4.1 所示.当输入正弦力 f t F t    sin 时，求其 x t  位移的稳态输出。 T C k  时间常数 图 4.1 机械系统   1 2 3 2 2 2 2 1 1 1 k F C C S C X S TS S TS S             2 1 2 2 / 1 T F k C T     f t kx t cx t         k c       1 1 1 1 1 X S k k G S F S CS k TS c S k         f t F t    sin x t 

JC0+C,=CS+Cl= 器 G-R7o,G=o OTF/k (S)=1+7 FoT 3+117k0+To32+m+k+Tas+ 瞬态分量 0-C停子+F停-a Fik 1→0.→0 in(al-arctanTo)→稳态分量 +0'T2 所以其稳态输出一频率响应： 1/k Fsin(er-arctanTo) =A(@)Fsin(@t+o(@))=x(o)sin(ot+p(@)) 式中：x,()其输出谐波的幅值正比于输入谐波的幅值F,且是输入谐 波频率。的非线性函数。 (。)其输出谐波的相位与输入谐波的幅值F无关，与输入谐波频率的 相位差，是。的非线性函数

2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 S j F F j t k jC C C S C j t k T                        3 2 2 2 2 2 1 , 1 1 F F T C C k T k T                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 1 1 / 1 1 TF k T F T S F X S S T S S k T k T                     瞬态分量   2 2 2 2 2 2 / / / sin cos 1 1 1 t T TF k F k F T k x t e t t T T T               t   . 0   2 2 2 2 / / sin arctan 1 1 t T TF k F k e t T T T            稳态分量 所以其稳态输出 频率响应：     2 2 1 / sin arctan 1 k x t F t T T         A F t      sin     x t 0     sin   式中： x0  其输出谐波的幅值正比于输入谐波的幅值 F，且是输入谐 波频率  的非线性函数。    其输出谐波的相位与输入谐波的幅值 F 无关，与输入谐波频率的 相位差，是  的非线性函数。 1 L 

图42时间相应曲线 x,(t)=X,sinot x(t)=X(@)sin[at-p(o)] 可见：频率响应是时间响应的一种特例，X(回)，(@)是的函数， 且与系统参数k,c有关。 为了研究系统随变化的情况，引入频率特性的概念。 二.频率特性：类试于传函的另一种系统模型表示方式 定义：系统输出量的傅里叶变换/输入量的傅里叶变换 G(Um)=U回 S=jo x.(jo) 频率/幅频特性：A)=(回），稳态情况下，输入不同o信号，其福 X 值会衰减或增大。 特性相频特性：相位差(@)=%(@)-g(@),稳态情况下，输入不同a 信号，其相位产生超前或滞后特性

t 0 φ(w) xi x0 图 4.2 时间相应曲线   sin i i x t X t   x t X t 0 0         sin       可见：频率响应是时间响应的一种特例， X0     ，   是  的函数， 且与系统参数 k，c 有关。 为了研究系统随  变化的情况，引入频率特性的概念。 二.频率特性：类试于传函的另一种系统模型表示方式. 定义：系统输出量的傅里叶变换/输入量的傅里叶变换       0 i x j G j S j x j       频率 幅频特性：   0   i x A x    ，稳态情况下，输入不同  信号，其幅 值会衰减或增大。 特性 相频特性：相位差           0   i   ，稳态情况下，输入不同  信号，其相位产生超前或滞后特性

4气4ee提e相e名.>子 频率特性是定义在频域上的复变函数，反映了线性系统在不同频率下 的特性：G(Um)=R(@)+(o)=A(o)eo 实部，实频特性虚部，虚频特性 A(@)=-VR(o)+1.2(o ()=arcta() R(@) ∴)=k(eno=4@)ero 线性系统频率特性所具有的物理含义，在系统分析和控制中具有非常 重要的作用。 三，频率特性的求取方法： 求取线性系统的频率特性，就是求其幅频特性和相频特性，主要有如 下三种： 工1，依据频率特性的定义求： 取数模是传函G(S)=,(S)/x(S)→x(S)=G(S)x(S)→x() 1→∞时，x()稳态时系统频率响应的幅值和相位

A    ( 或   j   A e     规定相位差： +， - 频率特性是定义在频域上的复变函数，反映了线性系统在不同频率下 的特性：         j   G j R jI A e e m           实部，实频特性 虚部，虚频特性       2 2 A R I      e m       arctan m e I R                0 0 0 j j t i x t x t e x A e                线性系统频率特性所具有的物理含义，在系统分析和控制中具有非常 重要的作用。 三.频率特性的求取方法： 求取线性系统的频率特性，就是求其幅频特性和相频特性，主要有如 下三种： 1.依据频率特性的定义求: 取数模是传函 G S x S x S x S G S x S x t        0 0 0  / i i           t  时， x t 0   稳态时系统频率响应的幅值和相位。 1 L 

再根据：4(o)=七（回 Y. 可得 p(o)=(o)-g,(o) 例：G=心输入0=Fsm 求得：t→w时，0+07no-ano） KF o)回 可得：@)+示 p(o)=g(o)-g,(o) Cp(o)=-arctan(oT） K 系统的频率特性：GU@=+7ea 2.由传函中的S变换为jo(S=jo)来求取。 上例：Gjo=- 7+11+o7-jam) K Ro=rr,4o=- 因此有：4@)=lG(Uo=R(o)+(o-+7 olo)=LG(Uoj-arctan2 -arctan(oT）结果一致 R,(@) 实际上，这种求取系统频率特性的方法，一般是先将传递函数按其零 点和极，点化为基本环节的串联形式，然后依据各构成环节的幅值和相位 的关系，可方便求得频率特性

再根据：           0 0 i i x A x            可得 例：   1 K G S TS   ，输入   sin i x t F t   求得： t  时， 0     2 2 sin arctan 1 KF x t t T T       由           0 0 i i x A x            可得：       0 2 2 1 arctan K A T T          系统的频率特性：   arctan  2 2 1 K j T G j e T       2.由传函中的 S 变换为 j S j      来求取。 上例：     2 2 1 1 1 K K G j j T j T T            2 2 , 1 e K R T       2 2 1 m K T I T       因此有：         2 2 2 2 1 e m K A G j R I T                   arctan arctan   m e I LG j T R           结果一致 实际上，这种求取系统频率特性的方法，一般是先将传递函数按其零 点和极点化为基本环节的串联形式，然后依据各构成环节的幅值和相位 的关系，可方便求得频率特性

例：G(S)-86试本共福频特性和相须特性 +1 解：G5)5+25+3 零点：Z=-1,极点：S=-2,S2=-3 取S=o,得系统的频车特性为：G(Uo)2+6+回 1+j@ 4o)-i4(o)=-KG(0)-4+.9+ +2 p(o)-之%(o)=∠G(Uao)=aetan-arctan-arctan 3.用实验方法求取： 对于那些难以用传函或微分方程等数模描述的系统，就无法用上面两 种来求取频率特性。但，基于线性系统对输入谐波信号的响应其输出仍 为同的谐波信号这一特性和频率特性的一些概念，可通过试验的方法获 得系统的频率特性。 实验求取系统频率特性，就是改变输入谐波信号的频率，并测出与此 相应的输出信号的幅值和相位，然后求出对应频率下两种信号的复制比 和相位差，以此做出它们分别与频率的关系曲线，从而就获得系统频率 特性的表达式。 四.频率特性分析的特点： 品微分方程 在控制系统中往往注重的是反应系统性能的

例：   2 1 5 6 S G S S S     试求其幅频特性和相频特性 解：      1 2 3 S G S S S     零点： Z 1，极点： 1 2 S S     2, 3 取 S j  ，得系统的频率特性为：      1 2 3 j G j j j               2 2 2 1 1 4 9 q i i A A G j                      1 arctan arctan arctan 2 3 q i i G j                 3.用实验方法求取： 对于那些难以用传函或微分方程等数模描述的系统，就无法用上面两 种来求取频率特性。但，基于线性系统对输入谐波信号的响应其输出仍 为同  的谐波信号这一特性和频率特性的一些概念，可通过试验的方法获 得系统的频率特性。 实验求取系统频率特性，就是改变输入谐波信号的频率，并测出与此 相应的输出信号的幅值和相位，然后求出对应频率下两种信号的复制比 和相位差，以此做出它们分别与频率的关系曲线，从而就获得系统频率 特性的表达式。 四.频率特性分析的特点： 微分方程 在控制系统中往往注 重的是反应系统性能的 d L S dt       

密。传递画数 几个重要特征量，而非输出响应。所以希望直接 频率特性 由：数学模型一系统性能的特征量，如1，M。 频率特性 图解分析法，主要特点： (1)对单入-单出系统，用频域分析法比用时域分析法更容易一些。 (②)对许多复杂的机械系统，往往需要获得动柔度或动刚度。 当用解析法无法求得系统的微分方程或传函时，就无法求得动态性 能，此时，可用实验方法建立频率特性。 在输入端加上E和op相同，但w不同的力的谐波信号F=Fsin(o+p)。 记录相应的位移（变形）的稳态输出，则相应于不同w可求出 x(jo)1x(jo)与ow)。即得G(jo)=A(a)eo→动刚度(m/N。 G(j) →动柔度 (3)系统的频率特性→单位脉冲响应的傅里叶变换 x(S)=G(S)x,(S) x(jo)=G(jo)x(jo)x(1)=6(1),x(jo)=1 x.(jw)=G(j@)=F[o(t)]

dF j dt   传递函数 几个重要特征量，而非输出响应。所以希望直接 频率特性 由：数学模型 系统性能的特征量，如 , s p t M 。 频率特性 图解分析法，主要特点： (1)对单入-单出系统，用频域分析法比用时域分析法更容易一些。 (2)对许多复杂的机械系统，往往需要获得动柔度或动刚度。 当用解析法无法求得系统的微分方程或传函时，就无法求得动态性 能，此时，可用实验方法建立频率特性。 在输入端加上 Fi 和  相同，但 w 不同的力的谐波信号 F F t   i sin 。 记录相应的位移(变形)的稳态输出，则相应于不同 w 可求出 x j x j 0    / i   与 ( ) w 。即得     j   G j A e      动刚度 ( / ) m N 。   1 G j 动柔度 (3)系统的频率特性 单位脉冲响应的傅里叶变换 x S G S x S 0      i   x j G j x j 0         i   当 x t t x j i i        , 1   x j G j F t 0                S j  

所以它也是一种频谱分析，对某些频带中具有的噪声千扰采用频谱分 析法，可控制噪声对分析结果的影响。 局限性表现在： (1)图形所确定的简单、实用的分析方法，是以工程的近似性为代价 的，但对多数工程应用还是适应的 (2)只适用于线性定常系统，主要是单变量，对时变，线性规划不能 直接应用，对多变量应用也十分复杂

所以它也是一种频谱分析，对某些频带中具有的噪声干扰采用频谱分 析法，可控制噪声对分析结果的影响。 局限性表现在： (1)图形所确定的简单、实用的分析方法，是以工程的近似性为代价 的，但对多数工程应用还是适应的。 (2)只适用于线性定常系统，主要是单变量，对时变，线性规划不能 直接应用，对多变量应用也十分复杂