《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第四章 控制系统的频率特性

第四章控制系统的频率特性 第三章中讲述:建立数学模型→分析:稳、快、准 直接方法→时域分析法:直观,分析高阶系统非常繁琐 间接方法→频率法 特点 从G,(S)分析闭环控制的各种特性 频率法的优,点 (1)工程实践中,不希望大量繁多计算,要求简单迅速的分析出动态 性能及如何调整。(而开环频率特性容易绘制或通过实验获得) 此外:电路 机械振动了与频率特性有密切的关系 机械受到一定w的作用力时产生强迫振动,由于内反馈还会引起自激 振动。振动学中的共振频率,频谱密度,动刚度,扶振稳定性等概念都 可归纳为机械系统在频率域中表现的特性。 (2)可由试验确定 本章内容 (一)阐明频率响应与频率特性的基本概念及表示方法一基础
第四章 控制系统的频率特性 第三章中讲述:建立数学模型 分析:稳、快、准 直接方法 时域分析法:直观,分析高阶系统非常繁琐 间接方法 频率法 特点 从 G S k 分析 闭环控制的各种特性 频率法的优点 (1)工程实践中,不希望大量繁多计算,要求简单迅速的分析出动态 性能及如何调整。(而开环频率特性容易绘制或通过实验获得) 此外:电路 机械振动 与频率特性有密切的关系 机械受到一定 w 的作用力时产生强迫振动,由于内反馈还会引起自激 振动。振动学中的共振频率,频谱密度,动刚度,扶振稳定性等概念都 可归纳为机械系统在频率域中表现的特性。 (2)可由试验确定 本章内容 (一)阐明频率响应与频率特性的基本概念及表示方法——基础

频率特性与传函的关系 动刚度与动柔度的概念 ”频率特性与传函的关系 (二)介绍频率特性的图形分析法 动刚度与动柔度的概念 Nyqwist图与Bode图的一般概念,典型环节 绘制Nyqwist图与Bode图的一般步骤和方法 (三)有频率特性曲线→传函 (根据频率特性的Bode图辨识系统的数学模型的一般方法) (四)其他有关问题:频率特性的特征量,最小相位系统等
频率特性与传函的关系 动刚度与动柔度的概念 频率特性与传函的关系 (二)介绍频率特性的图形分析法 动刚度与动柔度的概念 Nyqwist 图与 Bode 图的一般概念,典型环节 绘制 Nyqwist 图与 Bode 图的一般步骤和方法 (三)有频率特性曲线 传函 (根据频率特性的 Bode 图辨识系统的数学模型的一般方法) (四)其他有关问题:频率特性的特征量,最小相位系统等

§4.1频率特性的基本概念 一.频率响应 系统对正弦信号(或谐波信号)的稳态响应。 响应瞬态一不是正弦波 ·稳态一是和输入的正弦信号w相同的正弦波,但振幅和相位都 与输入量不同。 输入:x(U=X,sin ot=Xem 输入的稳态响应:七0=X,(o)sin[or+p(o)] =Xo(o)eo 一频率响应 例4.1:机械系统如图4.1所示.当输入正弦力f()=Fsinot时,求其 x)位移的稳态输出。 1 么f0=a0+a0 6同c8 —T=k 时间常数 图4.1机械系统 Fo C C2S+C K(S)-141S+014
§4.1 频率特性的基本概念 一.频率响应 系统对正弦信号(或谐波信号)的稳态响应。 响应 瞬态—不是正弦波 稳态—是和输入的正弦信号 w 相同的正弦波,但振幅和相位都 与输入量不同。 输入 : sin j t i i i x t X t X e 输入的稳态响应: 0 0 0 sin j t x t X t X e 频率响应 例 4.1:机械系统如图 4.1 所示.当输入正弦力 f t F t sin 时,求其 x t 位移的稳态输出。 T C k 时间常数 图 4.1 机械系统 1 2 3 2 2 2 2 1 1 1 k F C C S C X S TS S TS S 2 1 2 2 / 1 T F k C T f t kx t cx t k c 1 1 1 1 1 X S k k G S F S CS k TS c S k f t F t sin x t

JC0+C,=CS+Cl= 器 G-R7o,G=o OTF/k (S)=1+7 FoT 3+117k0+To32+m+k+Tas+ 瞬态分量 0-C停子+F停-a Fik 1→0.→0 in(al-arctanTo)→稳态分量 +0'T2 所以其稳态输出一频率响应: 1/k Fsin(er-arctanTo) =A(@)Fsin(@t+o(@))=x(o)sin(ot+p(@)) 式中:x,()其输出谐波的幅值正比于输入谐波的幅值F,且是输入谐 波频率。的非线性函数。 (。)其输出谐波的相位与输入谐波的幅值F无关,与输入谐波频率的 相位差,是。的非线性函数
2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 S j F F j t k jC C C S C j t k T 3 2 2 2 2 2 1 , 1 1 F F T C C k T k T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 1 1 / 1 1 TF k T F T S F X S S T S S k T k T 瞬态分量 2 2 2 2 2 2 / / / sin cos 1 1 1 t T TF k F k F T k x t e t t T T T t . 0 2 2 2 2 / / sin arctan 1 1 t T TF k F k e t T T T 稳态分量 所以其稳态输出 频率响应: 2 2 1 / sin arctan 1 k x t F t T T A F t sin x t 0 sin 式中: x0 其输出谐波的幅值正比于输入谐波的幅值 F,且是输入谐 波频率 的非线性函数。 其输出谐波的相位与输入谐波的幅值 F 无关,与输入谐波频率的 相位差,是 的非线性函数。 1 L

图42时间相应曲线 x,(t)=X,sinot x(t)=X(@)sin[at-p(o)] 可见:频率响应是时间响应的一种特例,X(回),(@)是的函数, 且与系统参数k,c有关。 为了研究系统随变化的情况,引入频率特性的概念。 二.频率特性:类试于传函的另一种系统模型表示方式 定义:系统输出量的傅里叶变换/输入量的傅里叶变换 G(Um)=U回 S=jo x.(jo) 频率/幅频特性:A)=(回),稳态情况下,输入不同o信号,其福 X 值会衰减或增大。 特性相频特性:相位差(@)=%(@)-g(@),稳态情况下,输入不同a 信号,其相位产生超前或滞后特性
t 0 φ(w) xi x0 图 4.2 时间相应曲线 sin i i x t X t x t X t 0 0 sin 可见:频率响应是时间响应的一种特例, X0 , 是 的函数, 且与系统参数 k,c 有关。 为了研究系统随 变化的情况,引入频率特性的概念。 二.频率特性:类试于传函的另一种系统模型表示方式. 定义:系统输出量的傅里叶变换/输入量的傅里叶变换 0 i x j G j S j x j 频率 幅频特性: 0 i x A x ,稳态情况下,输入不同 信号,其幅 值会衰减或增大。 特性 相频特性:相位差 0 i ,稳态情况下,输入不同 信号,其相位产生超前或滞后特性

4气4ee提e相e名.>子 频率特性是定义在频域上的复变函数,反映了线性系统在不同频率下 的特性:G(Um)=R(@)+(o)=A(o)eo 实部,实频特性虚部,虚频特性 A(@)=-VR(o)+1.2(o ()=arcta() R(@) ∴)=k(eno=4@)ero 线性系统频率特性所具有的物理含义,在系统分析和控制中具有非常 重要的作用。 三,频率特性的求取方法: 求取线性系统的频率特性,就是求其幅频特性和相频特性,主要有如 下三种: 工1,依据频率特性的定义求: 取数模是传函G(S)=,(S)/x(S)→x(S)=G(S)x(S)→x() 1→∞时,x()稳态时系统频率响应的幅值和相位
A ( 或 j A e 规定相位差: +, - 频率特性是定义在频域上的复变函数,反映了线性系统在不同频率下 的特性: j G j R jI A e e m 实部,实频特性 虚部,虚频特性 2 2 A R I e m arctan m e I R 0 0 0 j j t i x t x t e x A e 线性系统频率特性所具有的物理含义,在系统分析和控制中具有非常 重要的作用。 三.频率特性的求取方法: 求取线性系统的频率特性,就是求其幅频特性和相频特性,主要有如 下三种: 1.依据频率特性的定义求: 取数模是传函 G S x S x S x S G S x S x t 0 0 0 / i i t 时, x t 0 稳态时系统频率响应的幅值和相位。 1 L

再根据:4(o)=七(回 Y. 可得 p(o)=(o)-g,(o) 例:G=心输入0=Fsm 求得:t→w时,0+07no-ano) KF o)回 可得:@)+示 p(o)=g(o)-g,(o) Cp(o)=-arctan(oT) K 系统的频率特性:GU@=+7ea 2.由传函中的S变换为jo(S=jo)来求取。 上例:Gjo=- 7+11+o7-jam) K Ro=rr,4o=- 因此有:4@)=lG(Uo=R(o)+(o-+7 olo)=LG(Uoj-arctan2 -arctan(oT)结果一致 R,(@) 实际上,这种求取系统频率特性的方法,一般是先将传递函数按其零 点和极,点化为基本环节的串联形式,然后依据各构成环节的幅值和相位 的关系,可方便求得频率特性
再根据: 0 0 i i x A x 可得 例: 1 K G S TS ,输入 sin i x t F t 求得: t 时, 0 2 2 sin arctan 1 KF x t t T T 由 0 0 i i x A x 可得: 0 2 2 1 arctan K A T T 系统的频率特性: arctan 2 2 1 K j T G j e T 2.由传函中的 S 变换为 j S j 来求取。 上例: 2 2 1 1 1 K K G j j T j T T 2 2 , 1 e K R T 2 2 1 m K T I T 因此有: 2 2 2 2 1 e m K A G j R I T arctan arctan m e I LG j T R 结果一致 实际上,这种求取系统频率特性的方法,一般是先将传递函数按其零 点和极点化为基本环节的串联形式,然后依据各构成环节的幅值和相位 的关系,可方便求得频率特性

例:G(S)-86试本共福频特性和相须特性 +1 解:G5)5+25+3 零点:Z=-1,极点:S=-2,S2=-3 取S=o,得系统的频车特性为:G(Uo)2+6+回 1+j@ 4o)-i4(o)=-KG(0)-4+.9+ +2 p(o)-之%(o)=∠G(Uao)=aetan-arctan-arctan 3.用实验方法求取: 对于那些难以用传函或微分方程等数模描述的系统,就无法用上面两 种来求取频率特性。但,基于线性系统对输入谐波信号的响应其输出仍 为同的谐波信号这一特性和频率特性的一些概念,可通过试验的方法获 得系统的频率特性。 实验求取系统频率特性,就是改变输入谐波信号的频率,并测出与此 相应的输出信号的幅值和相位,然后求出对应频率下两种信号的复制比 和相位差,以此做出它们分别与频率的关系曲线,从而就获得系统频率 特性的表达式。 四.频率特性分析的特点: 品微分方程 在控制系统中往往注重的是反应系统性能的
例: 2 1 5 6 S G S S S 试求其幅频特性和相频特性 解: 1 2 3 S G S S S 零点: Z 1,极点: 1 2 S S 2, 3 取 S j ,得系统的频率特性为: 1 2 3 j G j j j 2 2 2 1 1 4 9 q i i A A G j 1 arctan arctan arctan 2 3 q i i G j 3.用实验方法求取: 对于那些难以用传函或微分方程等数模描述的系统,就无法用上面两 种来求取频率特性。但,基于线性系统对输入谐波信号的响应其输出仍 为同 的谐波信号这一特性和频率特性的一些概念,可通过试验的方法获 得系统的频率特性。 实验求取系统频率特性,就是改变输入谐波信号的频率,并测出与此 相应的输出信号的幅值和相位,然后求出对应频率下两种信号的复制比 和相位差,以此做出它们分别与频率的关系曲线,从而就获得系统频率 特性的表达式。 四.频率特性分析的特点: 微分方程 在控制系统中往往注 重的是反应系统性能的 d L S dt

密。传递画数 几个重要特征量,而非输出响应。所以希望直接 频率特性 由:数学模型一系统性能的特征量,如1,M。 频率特性 图解分析法,主要特点: (1)对单入-单出系统,用频域分析法比用时域分析法更容易一些。 (②)对许多复杂的机械系统,往往需要获得动柔度或动刚度。 当用解析法无法求得系统的微分方程或传函时,就无法求得动态性 能,此时,可用实验方法建立频率特性。 在输入端加上E和op相同,但w不同的力的谐波信号F=Fsin(o+p)。 记录相应的位移(变形)的稳态输出,则相应于不同w可求出 x(jo)1x(jo)与ow)。即得G(jo)=A(a)eo→动刚度(m/N。 G(j) →动柔度 (3)系统的频率特性→单位脉冲响应的傅里叶变换 x(S)=G(S)x,(S) x(jo)=G(jo)x(jo)x(1)=6(1),x(jo)=1 x.(jw)=G(j@)=F[o(t)]
dF j dt 传递函数 几个重要特征量,而非输出响应。所以希望直接 频率特性 由:数学模型 系统性能的特征量,如 , s p t M 。 频率特性 图解分析法,主要特点: (1)对单入-单出系统,用频域分析法比用时域分析法更容易一些。 (2)对许多复杂的机械系统,往往需要获得动柔度或动刚度。 当用解析法无法求得系统的微分方程或传函时,就无法求得动态性 能,此时,可用实验方法建立频率特性。 在输入端加上 Fi 和 相同,但 w 不同的力的谐波信号 F F t i sin 。 记录相应的位移(变形)的稳态输出,则相应于不同 w 可求出 x j x j 0 / i 与 ( ) w 。即得 j G j A e 动刚度 ( / ) m N 。 1 G j 动柔度 (3)系统的频率特性 单位脉冲响应的傅里叶变换 x S G S x S 0 i x j G j x j 0 i 当 x t t x j i i , 1 x j G j F t 0 S j

所以它也是一种频谱分析,对某些频带中具有的噪声千扰采用频谱分 析法,可控制噪声对分析结果的影响。 局限性表现在: (1)图形所确定的简单、实用的分析方法,是以工程的近似性为代价 的,但对多数工程应用还是适应的 (2)只适用于线性定常系统,主要是单变量,对时变,线性规划不能 直接应用,对多变量应用也十分复杂
所以它也是一种频谱分析,对某些频带中具有的噪声干扰采用频谱分 析法,可控制噪声对分析结果的影响。 局限性表现在: (1)图形所确定的简单、实用的分析方法,是以工程的近似性为代价 的,但对多数工程应用还是适应的。 (2)只适用于线性定常系统,主要是单变量,对时变,线性规划不能 直接应用,对多变量应用也十分复杂
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