《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第五章 系统的稳定性

第五章系统的稳定性 设计控制系统时应满足多种性能指标,但最重要的技术要求是系统 必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首要条件,只有工作稳定才 能进一步讨论其他性能指标。 分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。 控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。 本章着重介绍几种常用的稳定判据,以及提高系统稳定性的方法。 本章内容 一、介绍系统稳定性的基本概念,判断系统稳定性的基本 明 出发点 确 二、系统稳定的充分必要条件 (三、代数判据(Routh、Hurwitz判据) 重点 四、lyquist判据的基本原理和方法,Bode判据 掌握 五、相对稳定性的概念 六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法
第五章 系统的稳定性 设计控制系统时应满足多种性能指标,但最重要的技术要求是系统 必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首要条件,只有工作稳定才 能进一步讨论其他性能指标。 分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。 控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。 本章着重介绍几种常用的稳定判据,以及提高系统稳定性的方法。 本章内容 一、介绍系统稳定性的基本概念,判断系统稳定性的基本 出发点 二、系统稳定的充分必要条件 三、代数判据(Routh、Hurwitz 判据) 四、Nyquist 判据的基本原理和方法,Bode 判据 五、相对稳定性的概念 六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法 明 确 重点 掌握

§5-1.系统稳定性的初步概念 若一个系统受到扰动,偏离了原来的平衡状态,而当扰动取消后 经过充分长的时间,这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状 态,则称系统是稳定的,否则不稳定。 倒摆 b 小球处在a点时,是稳定平衡点,因为作用于小球上的有限干扰力 消失后,小球总能回到a点,而小球处于b、c点时,为不平衡点,因为 只要有千扰力作用与小球时,小球便不再回到b或c。 控制系统在实际运行过程中,总会受到外部和内部的扰动,如火炮 射击时,施加给随动系统的冲击负载:雷达天线跟踪时,突然遇到阵风。 如果系统不稳定,就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态, 并随时间的推移而发散。 因此,如何分析系统的稳定性,并提出保证系统稳定的措施,是自 动控制的基本任务
§5-1. 系统稳定性的初步概念 若一个系统受到扰动,偏离了原来的平衡状态,而当扰动取消后, 经过充分长的时间,这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状 态,则称系统是稳定的,否则不稳定。 b M 摆 F 倒摆 d c a b 小球处在 a 点时,是稳定平衡点,因为作用于小球上的有限干扰力 消失后,小球总能回到 a 点,而小球处于 b、c 点时,为不平衡点,因为 只要有干扰力作用与小球时,小球便不再回到 b 或 c。 控制系统在实际运行过程中,总会受到外部和内部的扰动,如火炮 射击时,施加给随动系统的冲击负载;雷达天线跟踪时,突然遇到阵风。 如果系统不稳定,就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态, 并随时间的推移而发散。 因此,如何分析系统的稳定性,并提出保证系统稳定的措施,是自 动控制的基本任务

一、定义 定义:上述2个实例说明系统的稳定反映在干扰消失后的过渡过程的 性质上,因此,控制系统的稳定性可以这样定义。 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随时间 的推移,逐渐衰减至零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统稳定 .(0 4x0 4x0 系统自由振荡输出三种情况 即:若线性系统受到扰动的作用而使输出量o()发生偏差,产生 △加()。扰动消失后,经过足够长的时间,改偏差的绝对值小于给定 的正值E。limAr,()≤6,则系统渐近稳定,否则不稳定。如果系统在任 意初始条件下都保持渐近稳定,则称为大范围内渐近稳定。 渐近稳定:m0→0(一般所讲的线性系统的稳定性,就是渐近 稳定性) 注意事项: 1.线性系统不稳定现象发生与否,取决于系统内部条件,而与输入 无关。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与输入无关(非 线性系统的稳定性与输入有关) 2.系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用
一、定义 定义:上述 2 个实例说明系统的稳定反映在干扰消失后的过渡过程的 性质上,因此,控制系统的稳定性可以这样定义。 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随时间 的推移,逐渐衰减至零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统稳定。 xo(t) xo(t) xo(t) 系统自由振荡输出三种情况 即:若线性系统受到扰动的作用而使输出量 xo(t)发生偏差,产生 △ xo(t)。扰动消失后,经过足够长的时间,改偏差的绝对值小于给定 的正值ε。 0 lim ( ) t x t ,则系统渐近稳定,否则不稳定。如果系统在任 意初始条件下都保持渐近稳定,则称为大范围内渐近稳定。 渐近稳定: 0 lim ( ) 0 t x t (一般所讲的线性系统的稳定性,就是渐近 稳定性) 注意事项: 1.线性系统不稳定现象发生与否,取决于系统内部条件,而与输入 无关。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与输入无关(非 线性系统的稳定性与输入有关) 2.系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用

X,() EG) Xo(s) 图5.1闭环方框图 3.控制系统理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡f的稳定性, 即:讨论输入为0,系统仅存在有初始状态不为0时的稳定性,即讨论系 统自由振荡是收敛的还是发散的。 至于机械工程系统,往往用激励或加外力的方发施以强迫振动或运 动,因而造成系统共振(或谐振)或偏离平衡位置越来越远,这不是控 制理论所要求讨论的稳定性。 二、稳定条件 一般反馈系统的传函为: G(s) G)=1+G)H X,(s) 85)G回 Xo(s) H(s) 图5.2一般反馈系统 设分母=0,可得出系统的特征方程: 1+G(s-Hs)=0 (一)稳定条件: 系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根落在[S]复平 面的左半部分,系统即是稳定的
图 5.1 闭环方框图 3.控制系统理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡 f 的稳定性, 即:讨论输入为 0,系统仅存在有初始状态不为 0 时的稳定性,即讨论系 统自由振荡是收敛的还是发散的。 至于机械工程系统,往往用激励或加外力的方发施以强迫振动或运 动,因而造成系统共振(或谐振)或偏离平衡位置越来越远,这不是控 制理论所要求讨论的稳定性。 二、稳定条件 一般反馈系统的传函为: ( ) ( ) 1 ( ) ( ) B G s G s G s H s 图 5.2 一般反馈系统 设分母=0,可得出系统的特征方程: 1 ( ) ( ) 0 G s H s (一) 稳定条件: 系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根落在[S]复平 面的左半部分,系统即是稳定的

(二)线性稳定的条件: 设线性系统在初始条件为0时,输入一个理想单位脉冲函数6(t), 这时系统的输出是单位脉冲响应,这相当于系统在扰动信号作用下,输 出信号偏离元平衡点的情形。 若线性系统的单位脉冲响应函数(),随时间的推移趋于0,即: m)=0,则系统稳定:若m0)=0,则系统不稳定。 若x()→C或等幅振荡→临界稳定状态。 但由于参数变化等原因,等幅振荡不能维持→不稳定。 工程意义上的不稳定 60工+8仞=1 火0-品5品品含品 HS-S 0=2ce 可知,要满足limx)=0,只有当特征根全部为负实部。 系统稳定的充要条件:稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部, 反之,若特征根中有一个以上具有正实部时,则系统必不稳定。 或系统传函但的极,点全部位于[S]复平面的左半部。若有部分闭 X,(s) 环极点位于虚轴上,而其余极,点全在[S]平面左半部时,便会出现前边所 述的临界稳定性状态,系统处于等幅振荡状态,从设计角度不可取(很 容易转化为不稳定系统)
(二) 线性稳定的条件: 设线性系统在初始条件为 0 时,输入一个理想单位脉冲函数б(t), 这时系统的输出是单位脉冲响应,这相当于系统在扰动信号作用下,输 出信号偏离元平衡点的情形。 若线性系统的单位脉冲响应函数 0 x t() ,随时间的推移趋于 0,即: 0 lim ( ) 0 t x t ,则系统稳定;若 0 lim ( ) t x t ,则系统不稳定。 若 0 x t C ( ) 或等幅振荡 临界稳定状态。 但由于参数变化等原因,等幅振荡不能维持 不稳定。 工程意义上的不稳定 ()t L t [ ( )] 1 1 2 0 1 2 1 ( ) n n i n i i C C C C X s S S S S S S S S 0 1 ( ) i n S t i i x t C e 可知,要满足 0 lim ( ) 0 t x t ,只有当特征根全部为负实部。 系统稳定的充要条件:稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部, 反之,若特征根中有一个以上具有正实部时,则系统必不稳定。 或系统传函 0 ( ) ( ) i X s X s 的极点全部位于[S]复平面的左半部。若有部分闭 环极点位于虚轴上,而其余极点全在[S]平面左半部时,便会出现前边所 述的临界稳定性状态,系统处于等幅振荡状态,从设计角度不可取(很 容易转化为不稳定系统)。 L L -1

可知:稳定系统在幅值有界输入信号作用下,其输出必定为幅值有 界,而对于不稳定系统来说,不能断言其输出幅值为有界。 三、判别稳定性的方法 1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根(直接求解)直观,对 高阶系统是困难的 2.确定根具有负实部的系统参数的区域(劳斯判据) 为此,不必解出根来,而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际 意义
可知:稳定系统在幅值有界输入信号作用下,其输出必定为幅值有 界,而对于不稳定系统来说,不能断言其输出幅值为有界。 三、判别稳定性的方法 1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根(直接求解)直观,对 高阶系统是困难的 2.确定根具有负实部的系统参数的区域(劳斯判据) 为此,不必解出根来,而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际 意义

s5-2.Routh(劳斯)稳定判据 线性定常系统稳定◆→全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点·判稳 但阶次往往较高(实际工程中),不使用计算机直接求根较困难 (>4),这样就提出了各种不解特征方程的根,只讨论特征根的分布, 从而判断系统稳定性的方法。 [1884,Routh提出的Routh判据:1895,Hurwitz提出Hurwitz判 据] 一、劳斯判据 1、必要条件:设系统的特征方程为: an”+an-3-++a3+a=0 a +.+ =(S-SS-S2).(S-Sn)=0 a。 =S"∑S-+(∑SS,S-2-.(-1rS /-2 =-6+S++S,)=-2s =SS:+Ss,+.+5.S.=SS 1L2 2=-65,+s5.5++53)=-立S 0。 23 55,5)-s 由上式可知,要使全部特征根S,S,.S均具有负实部,必须满足如下 2个条件:
§5-2. Routh(劳斯)稳定判据 线性定常系统稳定 全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点 判稳 但阶次往往较高(实际工程中),不使用计算机直接求根较困难 (n>4),这样就提出了各种不解特征方程的根,只讨论特征根的分布, 从而判断系统稳定性的方法。 [1884,Routh 提出的 Routh 判据;1895,Hurwitz 提出 Hurwitz 判 据] 一、劳斯判据 1、必要条件:设系统的特征方程为: 1 1 1 0 0 n n n n a s a s a s a 1 0 1 1 1 2 ( )( ) ( ) 0 n n n n n n n a a a s s s S S S S S S a a a 1 1 1 1, 2 ( ) ( ) ( 1) n n n n n n n i i j i i i j i i j S S S S S S S 2 1 1 2 1 ( ) n n n i n i a S S S S a 2 1 2 1 3 1 1, 2 n n n n i j n i j i j a S S S S S S S S a 3 1 2 3 1 2 4 2 1 1, 2, 3 0 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) n n n n n i j k n i j k i j k n n n n i n i a S S S S S S S S S S S S a a S S S S a 由上式可知,要使全部特征根 1 2 n S S S 均具有负实部,必须满足如下 2 个条件:

(1)特征方程的各项系数ai(0,n)不等于0。 (2)特征方程的各项系数ai(0,.,n)符号都相同,一般a>0。 2.充要条件:Routh阵列中第一列所有项均为正,且值不为0。 Routh阵列表 sa答,a s盈4. S-3BB☐BB,. DD S E 系数A、B,的计算,一进行直到其余A、B,.等于0为止。 A=42-a B=40-40 dn- dn- 4-0800B=4004 a a 4=006-a.01B=4a-a4 an-l a-1 这种计算一直进行到最后一行被算完为止,S0行仅有一项且F1=0。 为简化数值运算,可用一个正整数去乘或除某一整行的所有元素。 Routh判据还说明:实部为正的特征根数等于Routh阵列中第一列的 系数符号改变的次数。 例5.1设控制系统的特征方程式为: s+8s2+17s2+165+5=0试判断系统的稳定性
(1) 特征方程的各项系数 ai(i=0,.,n)不等于 0。 (2)特征方程的各项系数 ai(i=0,.,n)符号都相同,一般 ai>0。 2.充要条件:Routh 阵列中第一列所有项均为正,且值不为 0。 Routh 阵列表 1 1 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 1 1 0 1 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a A A A A B B B B D D E F -2 -4 -6 -3 -5 -7 S S S S S S S 系数 Ai、Bi的计算,一进行直到其余 Ai、Bi .等于 0 为止。 1 2 3 1 3 1 1 1 1 1 n n n n n n n n a a a a A a A a A B a a 2 1 4 5 1 5 1 3 2 1 1 n n n n n n n n a a a a A a a A A B a a 2 1 6 7 1 7 1 4 3 1 1 n n n n n n n n a a a a A a a A A B a a 3 这种计算一直进行到最后一行被算完为止,S0 行仅有一项且 F1=a0。 为简化数值运算,可用一个正整数去乘或除某一整行的所有元素。 Routh 判据还说明:实部为正的特征根数等于 Routh 阵列中第一列的 系数符号改变的次数。 例 5.1:设控制系统的特征方程式为: 4 3 2 s s s s 8 17 16 5=0 试判断系统的稳定性

解:a>0→满足必要条件 Routh阵列: 1 175 8 16 s215 5 200 15 由第一列看出:全为正值,故稳定。 例5.2:s+2s2+352+45+3=0 解: s 133 24 s 1 3 -2 →符号只改变一次 3 →符号只改变一次 由第一列看出,改变符号2次,说明闭环系统又2个正实部的根, 故不稳定。 对于特征方程阶次低(n≤3)的系统,Routh判据可化为不等式组的 简单形式。 二阶系统:4,52+a3+4。=0 所以,二阶系统稳定的充要条件:aD0 三阶系统:a,s+a,s2+a,3+a=0
解:ai>0 满足必要条件 Routh 阵列: 4 3 2 1 0 1 17 5 8 16 15 5 200 15 5 S S S S S 由第一列看出:全为正值,故稳定。 例 5.2: 4 3 2 s s s s 2 3 4 3=0 解: 4 3 2 1 0 1 3 3 2 4 1 3 2 3 S S S S S 由第一列看出,改变符号 2 次,说明闭环系统又 2 个正实部的根, 故不稳定。 对于特征方程阶次低(n ≤3)的系统,Routh 判据可化为不等式组的 简单形式。 二阶系统: 2 2 1 0 a s a s a 0 2 2 0 1 1 0 0 a a a a S S S 所以,二阶系统稳定的充要条件:ai>0 三阶系统: 3 2 3 2 1 0 a s a s a s a 0 符号只改变一次 符号只改变一次

a saa-axdo sa 所以,三阶系统稳定的充要条件:aD0且a,a>a,4 例53:设某反馈控制系统如图所示,试计算使系统稳定的K值范 围。 x08 K Xo(s) s(s+10(s+2) 图5.3反馈控制系统 解:系统闭环传函: K G)=七,9.+s+2 X1+s+s+2 2+352+2s+K 特征方程:s3+32+25+K=0 a>0→K>0 aa>ado aa>ado K<60<K<6 3.Routh判据的特殊情况 (I)若在Routh阵列表中任意一行的第1个元素为0,而后各元素不 为0,则在计算下一个元素时趋于无穷,将无法进行下去。此时可用E趋 于0代替,再计算。 例5.4:s+2s3+52+2s+1=0 解:因为第1例各元素符号不完全一致,系统不稳定,第一列各元
3 3 1 2 2 0 1 2 1 3 0 2 0 0 a a a a a a a a a a S S S S 所以,三阶系统稳定的充要条件:ai>0 且 2 1 3 0 a a a a 例 5.3: 设某反馈控制系统如图所示,试计算使系统稳定的 K 值范 围。 图 5.3 反馈控制系统 解:系统闭环传函: 0 3 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( ) 3 2 1 ( 1)( 2) i K X s s s s K G s X s s s s K K s s s 特征方程: 3 2 s s s K 3 2 0 0 i a K 0 2 1 3 0 a a a a 2 1 3 0 a a a a K 6 0 6 K 3.Routh 判据的特殊情况 (1) 若在 Routh 阵列表中任意一行的第 1 个元素为 0,而后各元素不 为 0,则在计算下一个元素时趋于无穷,将无法进行下去。此时可用ε趋 于 0 代替,再计算。 例 5.4: 4 3 2 s s s s 2 2 1 0 解:因为第 1 例各元素符号不完全一致,系统不稳定,第一列各元 2 1 3 0 a a a a
按次数下载不扣除下载券;
注册用户24小时内重复下载只扣除一次;
顺序:VIP每日次数-->可用次数-->下载券;
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(作业习题)第三章 系统的时间响应分析.pdf
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(作业习题)第二章 系统的数学模型.pdf
- 《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第二章 系统的数学模型.pdf
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(作业习题)第一章 绪论.pdf
- 《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第三章 系统的时域分析.pdf
- 《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第四章 控制系统的频率特性.pdf
- 《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第一章 绪论(内蒙古科技大学:谭心).pdf
- 《机械工程控制基础》课程教学大纲 Cybernetics Foundation for Mechanical Engineering.pdf
- 中国农业大学:《生物生产系统机器人》课程教学课件(PPT讲稿)第七章 未来生物生产系统和机器人.ppt
- 中国农业大学:《生物生产系统机器人》课程教学课件(PPT讲稿)第一章 生物生产系统和机器人.ppt
- 中国农业大学:《生物生产系统机器人》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 设施农业生产机器人.ppt
- 中国农业大学:《生物生产系统机器人》课程教学课件(PPT讲稿)第六章 农产品加工机器人.ppt
- 中国农业大学:《生物生产系统机器人》课程教学课件(PPT讲稿)第五章 植物生物技术机器人.ppt
- 中国农业大学:《生物生产系统机器人》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 大田生物生产机器人.ppt
- 中国农业大学:《生物生产系统机器人》课程教学课件(PPT讲稿)第二章 生物生产系统机器人的基本组成.ppt
- 《流体机械原理》课程教学课件(讲稿)第一讲 流体机械概述 The theory of The theory of Fluid Machinery Fluid Machinery.pdf
- 《流体机械原理》课程教学课件(讲稿)第六讲 水力机械其他过流部件工作原理.pdf
- 《流体机械原理》课程教学课件(讲稿)第二讲 叶片式流体机械概述 Introduction of vane type fluid machinery.pdf
- 《流体机械原理》课程教学课件(讲稿)流体机械原理总复习大纲.pdf
- 《流体机械原理》课程教学课件(讲稿)第四讲 叶片式流体机械速度三角形绘制.pdf
- 《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第六章 控制系统的性能分析与校正.pdf
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(作业习题)第五章 系统的稳定性.pdf
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(作业习题)第六章 控制系统的性能分析与校正.pdf
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(PPT课件)第一章 绪论 Cybernetics Foundation for Mechanical Engineering.ppt
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(PPT课件)第三章 系统的时域分析.ppt
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(PPT课件)第五章 系统的稳定性.ppt
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(PPT课件)第二章 系统的数学模型.ppt
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(PPT课件)第四章 控制系统的频率特性.ppt
- 《机械工程控制基础》课程教学资源(PPT课件)第六章 控制系统的性能分析与校正.ppt
- 内蒙古农业大学:《汽车电子技术》课程教学大纲 Vehicle Electronic Technique.pdf
- 内蒙古农业大学:《汽车电子技术》课程授课教案.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第00章 发动机基本知识.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第01章 汽车发动机电控技术概述.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第02章 汽车传感器.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第03章 汽油机电控燃油喷射系统.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第04章 汽油机电控点火系统.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第05章 汽油机排气净化系统.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第06章 电控液力自动变速器.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第07章 电控机械无级自动变速器.pdf
- 《汽车电子技术》课程教学课件(讲稿)第08章 电子控制悬架.pdf