《机械工程控制基础》课程授课教案（讲义）第五章 系统的稳定性

第五章系统的稳定性 设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术要求是系统 必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首要条件，只有工作稳定才 能进一步讨论其他性能指标。 分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。 控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。 本章着重介绍几种常用的稳定判据，以及提高系统稳定性的方法。 本章内容 一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的基本 明 出发点 确 二、系统稳定的充分必要条件 (三、代数判据(Routh、Hurwitz判据) 重点 四、lyquist判据的基本原理和方法，Bode判据 掌握 五、相对稳定性的概念 六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法

第五章 系统的稳定性 设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术要求是系统 必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首要条件，只有工作稳定才 能进一步讨论其他性能指标。 分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。 控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。 本章着重介绍几种常用的稳定判据，以及提高系统稳定性的方法。 本章内容 一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的基本 出发点 二、系统稳定的充分必要条件 三、代数判据（Routh、Hurwitz 判据） 四、Nyquist 判据的基本原理和方法，Bode 判据 五、相对稳定性的概念 六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法 明 确 重点 掌握

§5-1.系统稳定性的初步概念 若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后 经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状 态，则称系统是稳定的，否则不稳定。 倒摆 b 小球处在a点时，是稳定平衡点，因为作用于小球上的有限干扰力 消失后，小球总能回到a点，而小球处于b、c点时，为不平衡点，因为 只要有千扰力作用与小球时，小球便不再回到b或c。 控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部的扰动，如火炮 射击时，施加给随动系统的冲击负载：雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。 如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态， 并随时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施，是自 动控制的基本任务

§5-1. 系统稳定性的初步概念 若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后， 经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状 态，则称系统是稳定的，否则不稳定。 b M 摆 F 倒摆 d c a b 小球处在 a 点时，是稳定平衡点，因为作用于小球上的有限干扰力 消失后，小球总能回到 a 点，而小球处于 b、c 点时，为不平衡点，因为 只要有干扰力作用与小球时，小球便不再回到 b 或 c。 控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部的扰动，如火炮 射击时，施加给随动系统的冲击负载；雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。 如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态， 并随时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施，是自 动控制的基本任务

一、定义 定义：上述2个实例说明系统的稳定反映在干扰消失后的过渡过程的 性质上，因此，控制系统的稳定性可以这样定义。 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间 的推移，逐渐衰减至零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定 .(0 4x0 4x0 系统自由振荡输出三种情况 即：若线性系统受到扰动的作用而使输出量o()发生偏差，产生 △加()。扰动消失后，经过足够长的时间，改偏差的绝对值小于给定 的正值E。limAr,()≤6，则系统渐近稳定，否则不稳定。如果系统在任 意初始条件下都保持渐近稳定，则称为大范围内渐近稳定。 渐近稳定：m0→0（一般所讲的线性系统的稳定性，就是渐近 稳定性) 注意事项： 1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入 无关。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数，而与输入无关（非 线性系统的稳定性与输入有关) 2.系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用

一、定义 定义:上述 2 个实例说明系统的稳定反映在干扰消失后的过渡过程的 性质上，因此，控制系统的稳定性可以这样定义。 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间 的推移，逐渐衰减至零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。 xo(t) xo(t) xo(t) 系统自由振荡输出三种情况 即：若线性系统受到扰动的作用而使输出量 xo(t)发生偏差，产生 △ xo(t)。扰动消失后，经过足够长的时间，改偏差的绝对值小于给定 的正值ε。 0 lim ( ) t x t     ，则系统渐近稳定，否则不稳定。如果系统在任 意初始条件下都保持渐近稳定，则称为大范围内渐近稳定。 渐近稳定： 0 lim ( ) 0 t x t   （一般所讲的线性系统的稳定性，就是渐近 稳定性） 注意事项： 1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入 无关。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数，而与输入无关（非 线性系统的稳定性与输入有关） 2.系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用

X,() EG) Xo(s) 图5.1闭环方框图 3.控制系统理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡f的稳定性， 即：讨论输入为0，系统仅存在有初始状态不为0时的稳定性，即讨论系 统自由振荡是收敛的还是发散的。 至于机械工程系统，往往用激励或加外力的方发施以强迫振动或运 动，因而造成系统共振（或谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控 制理论所要求讨论的稳定性。 二、稳定条件 一般反馈系统的传函为： G(s) G)=1+G)H X,(s) 85)G回 Xo(s) H(s) 图5.2一般反馈系统 设分母=0，可得出系统的特征方程： 1+G(s-Hs)=0 （一)稳定条件： 系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根落在[S]复平 面的左半部分，系统即是稳定的

图 5.1 闭环方框图 3.控制系统理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡 f 的稳定性， 即：讨论输入为 0，系统仅存在有初始状态不为 0 时的稳定性，即讨论系 统自由振荡是收敛的还是发散的。 至于机械工程系统，往往用激励或加外力的方发施以强迫振动或运 动，因而造成系统共振（或谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控 制理论所要求讨论的稳定性。 二、稳定条件 一般反馈系统的传函为： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) B G s G s G s H s    图 5.2 一般反馈系统 设分母=0，可得出系统的特征方程： 1 ( ) ( ) 0    G s H s (一) 稳定条件： 系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根落在[S]复平 面的左半部分，系统即是稳定的

(二)线性稳定的条件： 设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲函数6(t), 这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统在扰动信号作用下，输 出信号偏离元平衡点的情形。 若线性系统的单位脉冲响应函数()，随时间的推移趋于0，即： m)=0,则系统稳定：若m0)=0,则系统不稳定。 若x()→C或等幅振荡→临界稳定状态。 但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持→不稳定。 工程意义上的不稳定 60工+8仞=1 火0-品5品品含品 HS-S 0=2ce 可知，要满足limx)=0,只有当特征根全部为负实部。 系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部， 反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系统必不稳定。 或系统传函但的极，点全部位于[S]复平面的左半部。若有部分闭 X,(s) 环极点位于虚轴上，而其余极，点全在[S]平面左半部时，便会出现前边所 述的临界稳定性状态，系统处于等幅振荡状态，从设计角度不可取（很 容易转化为不稳定系统)

(二) 线性稳定的条件： 设线性系统在初始条件为 0 时，输入一个理想单位脉冲函数б(t)， 这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统在扰动信号作用下，输 出信号偏离元平衡点的情形。 若线性系统的单位脉冲响应函数 0 x t() ，随时间的推移趋于 0，即： 0 lim ( ) 0 t x t   ，则系统稳定；若 0 lim ( ) t x t   ，则系统不稳定。 若 0 x t C ( )  或等幅振荡 临界稳定状态。 但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持 不稳定。 工程意义上的不稳定  ()t L t [ ( )] 1   1 2 0 1 2 1 ( ) n n i n i i C C C C X s S S S S S S S S            0 1 ( ) i n S t i i x t C e   可知，要满足 0 lim ( ) 0 t x t   ，只有当特征根全部为负实部。 系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部， 反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系统必不稳定。 或系统传函 0 ( ) ( ) i X s X s 的极点全部位于[S]复平面的左半部。若有部分闭 环极点位于虚轴上，而其余极点全在[S]平面左半部时，便会出现前边所 述的临界稳定性状态，系统处于等幅振荡状态，从设计角度不可取（很 容易转化为不稳定系统）。 L L -1

可知：稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定为幅值有 界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。 三、判别稳定性的方法 1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解)直观，对 高阶系统是困难的 2.确定根具有负实部的系统参数的区域（劳斯判据） 为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际 意义

可知：稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定为幅值有 界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。 三、判别稳定性的方法 1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解）直观，对 高阶系统是困难的 2.确定根具有负实部的系统参数的区域（劳斯判据） 为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际 意义

s5-2.Routh(劳斯)稳定判据 线性定常系统稳定◆→全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点·判稳 但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较困难 (>4)，这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨论特征根的分布， 从而判断系统稳定性的方法。 [1884,Routh提出的Routh判据：1895，Hurwitz提出Hurwitz判 据] 一、劳斯判据 1、必要条件：设系统的特征方程为： an”+an-3-++a3+a=0 a +.+ =(S-SS-S2).(S-Sn)=0 a。 =S"∑S-+(∑SS,S-2-.(-1rS /-2 =-6+S++S,)=-2s =SS:+Ss,+.+5.S.=SS 1L2 2=-65,+s5.5++53)=-立S 0。 23 55,5)-s 由上式可知，要使全部特征根S,S,.S均具有负实部，必须满足如下 2个条件：

§5-2. Routh（劳斯）稳定判据 线性定常系统稳定 全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点 判稳 但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较困难 （n>4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨论特征根的分布， 从而判断系统稳定性的方法。 [1884，Routh 提出的 Routh 判据；1895，Hurwitz 提出 Hurwitz 判 据] 一、劳斯判据 1、必要条件：设系统的特征方程为： 1 1 1 0 0 n n n n a s a s a s a        1 0 1 1 1 2 ( )( ) ( ) 0 n n n n n n n a a a s s s S S S S S S a a a            1 1 1 1, 2 ( ) ( ) ( 1) n n n n n n n i i j i i i j i i j S S S S S S S                 ２ 1 1 2 1 ( ) n n n i n i a S S S S a          2 1 2 1 3 1 1, 2 n n n n i j n i j i j a S S S S S S S S a            3 1 2 3 1 2 4 2 1 1, 2, 3 0 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) n n n n n i j k n i j k i j k n n n n i n i a S S S S S S S S S S S S a a S S S S a                       由上式可知，要使全部特征根 1 2 n S S S 均具有负实部，必须满足如下 2 个条件：

(1)特征方程的各项系数ai(0,n)不等于0。 (2)特征方程的各项系数ai(0,.,n)符号都相同，一般a>0。 2.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0。 Routh阵列表 sa答，a s盈4. S-3BB☐BB,. DD S E 系数A、B,的计算，一进行直到其余A、B,.等于0为止。 A=42-a B=40-40 dn- dn- 4-0800B=4004 a a 4=006-a.01B=4a-a4 an-l a-1 这种计算一直进行到最后一行被算完为止，S0行仅有一项且F1=0。 为简化数值运算，可用一个正整数去乘或除某一整行的所有元素。 Routh判据还说明：实部为正的特征根数等于Routh阵列中第一列的 系数符号改变的次数。 例5.1设控制系统的特征方程式为： s+8s2+17s2+165+5=0试判断系统的稳定性

(1) 特征方程的各项系数 ai(i=0,.,n)不等于 0。 (2)特征方程的各项系数 ai(i=0,.,n)符号都相同，一般 ai>0。 2.充要条件：Routh 阵列中第一列所有项均为正，且值不为 0。 Routh 阵列表 1 1 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 1 1 0 1 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a A A A A B B B B D D E F     -2 -4 -6 -3 -5 -7 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 系数 Ai、Bi的计算，一进行直到其余 Ai、Bi .等于 0 为止。 1 2 3 1 3 1 1 1 1 1 n n n n n n n n a a a a A a A a A B a a            ２ 1 4 5 1 5 1 3 2 1 1 n n n n n n n n a a a a A a a A A B a a          ２   1 6 7 1 7 1 4 3 1 1 n n n n n n n n a a a a A a a A A B a a          ３   这种计算一直进行到最后一行被算完为止，S0 行仅有一项且 F1=a0。 为简化数值运算，可用一个正整数去乘或除某一整行的所有元素。 Routh 判据还说明：实部为正的特征根数等于 Routh 阵列中第一列的 系数符号改变的次数。 例 5.1：设控制系统的特征方程式为： 4 3 2 s s s s     8 17 16 5=0 试判断系统的稳定性

解：a>0→满足必要条件 Routh阵列： 1 175 8 16 s215 5 200 15 由第一列看出：全为正值，故稳定。 例5.2：s+2s2+352+45+3=0 解： s 133 24 s 1 3 -2 →符号只改变一次 3 →符号只改变一次 由第一列看出，改变符号2次，说明闭环系统又2个正实部的根， 故不稳定。 对于特征方程阶次低(n≤3)的系统，Routh判据可化为不等式组的 简单形式。 二阶系统：4,52+a3+4。=0 所以，二阶系统稳定的充要条件：aD0 三阶系统：a,s+a,s2+a,3+a=0

解：ai>0 满足必要条件 Routh 阵列： 4 3 2 1 0 1 17 5 8 16 15 5 200 15 5 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 由第一列看出：全为正值，故稳定。 例 5.2： 4 3 2 s s s s     2 3 4 3=0 解： 4 3 2 1 0 1 3 3 2 4 1 3 2 3  Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 由第一列看出，改变符号 2 次，说明闭环系统又 2 个正实部的根， 故不稳定。 对于特征方程阶次低(n ≤3)的系统，Routh 判据可化为不等式组的 简单形式。 二阶系统： 2 2 1 0 a s a s a    0 2 2 0 1 1 0 0 a a a a Ｓ Ｓ Ｓ 所以，二阶系统稳定的充要条件：ai>0 三阶系统： 3 2 3 2 1 0 a s a s a s a     0 符号只改变一次 符号只改变一次

a saa-axdo sa 所以，三阶系统稳定的充要条件：aD0且a,a>a,4 例53：设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的K值范 围。 x08 K Xo(s) s(s+10(s+2) 图5.3反馈控制系统 解：系统闭环传函： K G)=七，9.+s+2 X1+s+s+2 2+352+2s+K 特征方程：s3+32+25+K=0 a>0→K>0 aa>ado aa>ado K<60<K<6 3.Routh判据的特殊情况 (I)若在Routh阵列表中任意一行的第1个元素为0，而后各元素不 为0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。此时可用E趋 于0代替，再计算。 例5.4：s+2s3+52+2s+1=0 解：因为第1例各元素符号不完全一致，系统不稳定，第一列各元

3 3 1 2 2 0 1 2 1 3 0 2 0 0 a a a a a a a a a a  Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 所以，三阶系统稳定的充要条件：ai>0 且 2 1 3 0 a a a a  例 5.3： 设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的 K 值范 围。 图 5.3 反馈控制系统 解：系统闭环传函： 0 3 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( ) 3 2 1 ( 1)( 2) i K X s s s s K G s X s s s s K K s s s            特征方程： 3 2 s s s K     3 2 0 0 i a  K  0 2 1 3 0 a a a a  2 1 3 0 a a a a  K  6 0 6   K 3.Routh 判据的特殊情况 (1) 若在 Routh 阵列表中任意一行的第 1 个元素为 0，而后各元素不 为 0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。此时可用ε趋 于 0 代替，再计算。 例 5.4： 4 3 2 s s s s      2 2 1 0 解：因为第 1 例各元素符号不完全一致，系统不稳定，第一列各元 2 1 3 0 a a a a 