《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第三章 系统的时域分析

第三章系统的时域分析 数学模型→性能分析:稳、快、准等 时域分祈法 根轨迹法 频率法 、直观 微分方程+时间响应表达式 曲线 >性能分析 本章内容 系统的时间响应及其组成 (一) 典型的输入信号 三.对一阶、二阶、高阶系统的典型时间响应进行分析 四.分析性能指标(时域) (二)五.系统误差分析与计算
第三章 系统的时域分析 数学模型 性能分析:稳、快、准等 时域分析法 根轨迹法 频率法 微分方程 时间响应 表达式 曲线 性能分析 本章内容 一. 系统的时间响应及其组成 (一) 二. 典型的输入信号 三. 对一阶、二阶、高阶系统的典型时间响应进行分析 四. 分析性能指标(时域) (二) 五. 系统误差分析与计算 直 观

§3-1时域响应及典型输入信号 一时域响应 在输入信号的作用下,其输出随时间的变化过程x,①。 x(t)=L'[Xo(s)]=L'[G(s).x(s)] 1.瞬态响应和稳态响应: 输入引起的时间响应由瞬态和稳态两部分组成。 →y0 00 图3.1k-m-c系统 图3.2受力分析 例3.1:m+c少+y=Fsinot 细-点 f 2y-Fsinot 非齐次常微分方程的完全解: ∴J0=Aesin(o,V1-5i+0)+Bsin(or+p)) 有由衰减震荡受迫振动 瞬态响应 稳态响应 瞬态响应一系统在某一输入信号的作用下,其输出量从初始状态 →稳定状态的响应过程。(过渡过程)
§3-1 时域响应及典型输入信号 一.时域响应 在输入信号的作用下,其输出随时间的变化过程 () o x t 。 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) o O i x t L X s L G s X s 1. 瞬态响应和稳态响应: 输入引起的时间响应由瞬态和稳态两部分组成。 图 3.1 k-m-c 系统 m Fsinwt 图 3.2 受力分析 例 3.1: my cy ky F t sin 2 , 2 n k f m mk 令 2 2 sin n n F y y y t m 非齐次常微分方程的完全解: 2 ( ) sin( 1 ) sin( ) n t n y t Ae t B t 自由衰减震荡 受迫振动 瞬态响应 稳态响应 瞬态响应 系统在某一输入信号的作用下,其输出量从初始状态 稳定状态的响应过程。(过渡过程) cy ky

稳态响应一当某一信号输入时,系统在时间趋于无穷大时的输出 状态。(静态) 2.系统的时域响应分析 在时间域内,研究各种形式的输入信号作用下,系统输出响应的时 间特征,即对系统施加一定形式的输入信号,然后研究系统的输出量随 时间的变化规律。 二、典型的输入信号 1.阶跃函数(图3.3) 0=6e0 a=1时,单位阶跃函数 图3.3阶跃函数 图3.4斜坡函数 2.斜坡函数(图3.4) 0=任8 a=1时,单位斜坡函数 3.加速度函数(图3.5) 1<0 a=)时,单位加速度函数 a/to +1 图3.5加速度函数 图3.6脉冲函数
稳态响应 当某一信号输入时,系统在时间趋于无穷大时的输出 状态。(静态) 2. 系统的时域响应分析 在时间域内,研究各种形式的输入信号作用下,系统输出响应的时 间特征,即对系统施加一定形式的输入信号,然后研究系统的输出量随 时间的变化规律。 二、典型的输入信号 1.阶跃函数(图 3.3) , 0 ( ) 0, 0 i a t x t t a 1 时,单位阶跃函数 xi t a xi t 图 3.3 阶跃函数 图 3.4 斜坡函数 2.斜坡函数(图 3.4) 0 ( ) 0, 0 i at t x t t , a 1 时,单位斜坡函数 3. 加速度函数(图 3.5) 2 , 0 ( ) 0, 0 i at t x t t 1 2 a 时,单位加速度函数 xi t xi t t0 a/t0 图 3.5 加速度函数 图 3.6 脉冲函数

4.脉冲函数(图3.6) lima,06 5.正弦函数(图3.7) 40-8 X(s)=X(s)G(s)当X()=6()→0 :G(s)=X(S)=[x(]x)—脉冲响应函数 A! 图3.7正弦函数 输入信号的选择应视不同系统的具体工作状况而定: 1)若输入量是随时间逐渐变化的函数,如机床、雷达天线、火炮等, →选斜坡函数 2)若输入量是冲击量,如导弹发射等,→选脉冲函数 3)若输入量随时间往复运动,如机床振动,→选正弦函数 4)若输入量是突然变化的,如断电、合电等,→选阶跃函数
4. 脉冲函数(图 3.6) 0 0 lim , 0 ( ) 0, 0 0 i a t t x t t t t t 或 a 1 时,单位脉冲函数 5. 正弦函数(图 3.7) sin , 0 ( ) 0, 0 i a wt t x t t X s X s G s O i 当 X t t i r G s X s L x t O o x t o 脉冲响应函数 图 3.7 正弦函数 输入信号的选择应视不同系统的具体工作状况而定: 1)若输入量是随时间逐渐变化的函数,如机床、雷达天线、火炮等, 选斜坡函数 2)若输入量是冲击量,如导弹发射等, 选脉冲函数 3)若输入量随时间往复运动,如机床振动, 选正弦函数 4)若输入量是突然变化的,如断电、合电等, 选阶跃函数

§3.2一阶系统的时域响应 一阶系统:能够用一阶微分方程描述的系统。 典型形式:一阶惯性环节1 X,(s)Ts+1 一、一阶系统的单位阶跃响应M 11回11 X,)=5+1店+15s+7 +0=1-e7 x)=1-e7 表3-1单位阶跃响应 0T2T 3T 4T5T . x000.6320.8650.950.9820.993. 1 2 初始斜率= 1.865 图3.8一阶系统的单位阶跃响应曲线 可知: (1)一阶惯性系统总是稳定的,无振荡的。 (2)时间T上升到0.632的高度,反之,用实验方法测出曲线到达 63.2%高度点所用的=时间常数T
§3.2 一阶系统的时域响应 一阶系统:能够用一阶微分方程描述的系统。 典型形式:一阶惯性环节 0 ( ) 1 ( ) 1 i X s X s Ts 一、一阶系统的单位阶跃响应 M r ( ) 1 i x t 1 ( ) X s i s 1 2 1 1 ( 1) S T S T C X S Ts T s 0 1 1 1 ( ) 1 1 T X s Ts s s Ts 1 1 s 1 s T 0 ( ) 1 t T x t e 0 ( ) 1 t T x t e 表 3-1 单位阶跃响应 t 0 T 2T 3T 4T 5T . 0 x t() 0 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993 . 1 图 3.8 一阶系统的单位阶跃响应曲线 可知: (1)一阶惯性系统总是稳定的,无振荡的。 (2)时间 T 上升到 0.632 的高度,反之,用实验方法测出曲线到达 63.2%高度点所用的 t=时间常数 T

(3)经过3T-4T,达稳态值的95%98%,可认为其调整过程完成, 故一般取调整时间为(34)Ts (4)在0处,响应曲线的切线斜率:1/T 时间常数T反映了一阶系统的固有特性,T↓系统惯性↓系统响 应↑ 二、一阶系统的单位脉冲响应 x(0)=8()+x(S)=1 =1安 k0 表32一阶系统的单位脉冲响应表 t 0 T 2T 4T 0368013500181 0 4X) 你 0.368/T- 十27T行 图3.9响应曲线 <2%,过渡过程:,=4T调整时间T↓,过渡时间↓,快速性个 三、一阶系统的单位斜放响应-[Xs1 x()=1,→ x(5)-
(3)经过 3T 4T,达稳态值的 95% 98%,可认为其调整过程完成, 故一般取调整时间为(3 4)T=ts. (4)在 t=0 处,响应曲线的切线斜率:1/T. 时间常数 T 反映了一阶系统的固有特性,T , 系统惯性 , 系统响 应 二、一阶系统的单位脉冲响应 x t t i 1 i x S 0 1 1 T 1 TS 1 S+ 1 T x S T 0 1 T t x t e 表 3.2 一阶系统的单位脉冲响应表 t 0 T 2T 4T r 1 T 1 0.368 T 1 0.135 T 1 0.018 T 0 X0(t) t 1/T 0.368/T T 2T 3T 4T K=-1/T2 w(t) 图 3.9 响应曲线 2%, 4T s 过渡过程;t 调整时间T ,过渡时间 ,快速性 三、一阶系统的单位斜坡响应 2 11 0 0 1 S 1 1 S S C X S TS , i x t t 2 1 S S i x

←2s到现{lL 6日哥里风 T M.=A. C.-[ 1=0,x(=0,e(o)=x(o)-x(o)=T ◆X(0 1/T X()个e(em=T 0.368/T Xo(t)=t-T+TeVr 图3.10响应曲线 瞬态响应的特性反应系统本身的特性,叶响应速度↓。 输入试验信号是为了识别系统的特性,系统特性取决于系统的参数, 不取决于外作用的形式。 例3.2两个T值不同的惯性环节串联,求其单位阶跃响应,已知 G(S)=(S) 11 xS105+1S+7 。11 111_-0.09」 解:xS)-10sS中1s0s+s*1*s 9.1 x0-=0ei+g1
2 12 2 0 0 0 1 S S 1 S 1 S d d T C X S T ds ds TS TS 2 0 2 2 2 1 1 1 T T 1 T T S TS+1 S S S TS+1 S S S+1/T x M A r max 2 2 1/ 2 1/ 1 ( s+1) S T S T C X S T T S t , x t 0 , e x x T ( ) i 0 X0(t) t 1/T 0.368/T e(∞)=T X0(t)=t-T+Te -t/T Xi(t)=t 图 3.10 响应曲线 瞬态响应的特性反应系统本身的特性,T 响应速度 。 输入试验信号是为了识别系统的特性,系统特性取决于系统的参数, 不取决于外作用的形式。 例 3.2 两个 T 值不同的惯性环节串联,求其单位阶跃响应,已知 0 1 1 G(S) 10 1 1 i x S x S S S = 。 解: x S 0 1 1 1 1 1 1 0.09 9 10 1 1 S 10 1 1 S S S S S 1 L 10 0 1 1 1 0.09 9 t t x t e e

+Xo(0 w↑S] 2 S2 S1 +0 图3.11响应曲线示意图 图3.12极值分布图 系统响应取决于T,T值小,对响应影响小。 靠近虚轴的极点起主导作用
X0(t) t 3 2 1 jw × × σ s2 s1 [S] 图 3.11 响应曲线示意图 图 3.12 极值分布图 系统响应取决于 T,T 值小,对响应影响小。 靠近虚轴的极点起主导作用

§3.3二阶系统的时域响应 二阶系统:由二阶微分方程描述的系统。 许多高阶系统常近似为二阶系统来研究,所以具有重要意义。 一典型的二阶系统的数学模型 G9=⑨ x(S)S2+250S+m 5:阻尼比0:无阻尼固有频率 令上式分母=0,得二阶系统的特征方程: S2+250S+0,2=0 x=-b生F-4ac 2 极点:S-50,±a,P△=6-4ae(5-43#42 公=2wVg2-) △-2w2(52-1)1,→过阻尼,S2=-50.±0V2-1(负实根) v,IS] 51s2 +0 -Wn (b)
§3.3 二阶系统的时域响应 二阶系统:由二阶微分方程描述的系统。 许多高阶系统常近似为二阶系统来研究,所以具有重要意义。 一.典型的二阶系统的数学模型 2 0 2 2 : 2 n n i n n x S G S x S S S 阻尼比 :无阻尼固有频率 令上式分母 0,得二阶系统的特征方程: 2 2 2 0 n n S S 2 4 2 b b ac x 2 极点:S 1 1 2, n n 2 2 2 2 2 4 2 4 4 ( 1) n n n b ac w w w 2 2 ( 1) wn 2 2 2 ( 1) 0 wn 2 1 2 2 (1)0 1, S 1 1 n n d n j 欠阻尼 , 有阻尼固有频率 欠阻尼情况下系统的时间响应具有震荡特性。 系统的响应 1 2 (2) 1, S ( ) 临界阻尼, , n n 一对负实根 均无振荡 2 1 2 (3) 1, S 1( ) 过阻尼, , n n 负实根 jw σ × × s2 s1 [S] jwd -jwd -ξwn jw × σ s1 s2 [S] -wn (a) (b)

m↑S) wn不 S2 S1 (c) (d) 图3.13复数域极值分布图 (4)5=0,→零阻尼,S2=±j0,(一对纯虚根) 此时系统的时间响应为持续的等幅振荡。 二阶系统的响应特性完全由5和0,来描述。 二、二阶系统的单位阶跃响应 0=1401-日 x(S)=G(S)5s+25m3+a23 02 1 1当0<5<1,欠阻尼 S2=-50n±j0V-5-50±j0 002 6例-写+2编s+55+a+回js+a-回3 5(() S+50。 50。 M,-25-月 即:x(0=1-e5%cos0,1+ 5
jw × σ s2 s1 [S] × jw σ × s2 s1 [S] wn × (c) (d) 图 3.13 复数域极值分布图 1 2 (4) 0, S ( ) n 零阻尼, , j 一对纯虚根 此时系统的时间响应为持续的等幅振荡。 二阶系统的响应特性完全由 和 n 来描述。 二、二阶系统的单位阶跃响应 2 0 2 2 1 1, [ ] 1 1 2 i i n n n x t L x t S x S G S S S S S 1. 0 1, 当 欠阻尼 2 S 1 1 2 n n n d , j j 2 2 0 2 2 1 1 2 n n n n n d n d x S S S S S j S j S 2 2 2 2 1 n n n d n d S S S S 2 1 2 1 M r 0 2 1 cos sin 1 n n t t d d x t e t e t 即: 2 0 2 1 1 sin arctan 1 n t d e x t t 或:
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