《机械工程控制基础》课程授课教案(讲义)第二章 系统的数学模型

第二章 系统的数学模型 本章为基础章节 传递函数 建模:准确、简化 (状态空间表达式 基本概念:1微分方程;2.传递函数;3.方框图:4.相似原理 本章内容 一系统数学模型基本概念,应用机械动力学、电子学等基础知识建 立系统数学模型的基本方法,典型例子; 二传递函数的基本概念,其数学、物理意义,求取方法,输入输出 信号与传递函数的关系: 三,系统方框图,闭环控制系统及其传递函数,方框图的等效简化, 工程中典型的机、电系数的传递函数
第二章 系统的数学模型 本章为基础章节 传递函数 建模:准确、简化 状态空间表达式 基本概念:1.微分方程;2.传递函数;3.方框图;4.相似原理 本章内容 一.系统数学模型基本概念,应用机械动力学、电子学等基础知识建 立系统数学模型的基本方法,典型例子; 二.传递函数的基本概念,其数学、物理意义,求取方法,输入输出 信号与传递函数的关系; 三.系统方框图,闭环控制系统及其传递函数,方框图的等效简化, 工程中典型的机、电系数的传递函数

§2.1系统的微分方程 一线性系统与非线性系统: 1.线性:o 特性:叠加原理,多个输入量同时作用产生的响应,可单个处理→ 叠加 2.非线性: 实际只是一定的工作范围内,保持线性关系。 特点:不能叠加→线性化(一定的范围内)。 二线性系统微分方程的列写 设线性定常系统的输入为x(),输出为x(),则描述系统输入 一输出动态关系的微分方程为: anx(0)+an-xm-0)+.+a(0+a,0) =bxm()+bn-xm-(0)++()+bx())(n之m) 例1.弹簧、质量、阻尼机械系统如图21所示,输入外力f0,输 出位移y),试写出系统的微分方程。 ACy m LjcT m 71777 ★f0) 图2.1k-m-c系统 受力分析图 解:对k-m-C系统进行受力分析,利用牛顿第二定律可得: i啦=f-少-y m+C少+y=f
§2.1 系统的微分方程 一.线性系统与非线性系统: 1.线性: T 特性:叠加原理,多个输入量同时作用产生的响应,可单个处理→ 叠加. 2.非线性: 实际只是一定的工作范围内,保持线性关系。 特点:不能叠加→线性化(一定的范围内)。 二.线性系统微分方程的列写 设线性定常系统的输入为 x t i ,输出为 x t 0 , 则描述系统输入 —输出动态关系的微分方程为: ( ) ( 1) 0 1 0 1 0 0 0 ( ) ( 1) 1 1 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) n n n n m m m i m i i i a x t a x t a x t a x t b x t b x t b x t b x t n m 例 1. 弹簧、质量、阻尼机械系统如图 2.1 所示,输入外力 f t ,输 出位移 y t ,试写出系统的微分方程。 mcykyf t() 图 2.1 k-m-c 系统 受力分析图 解:对 k-m-c 系统进行受力分析,利用牛顿第二定律可得: my f cy ky my cy ky f

例2.m-k振动系统,输入外力f),输出()、为(),求其动力学 方程。 05)0 m2(-) 手mm y m□0 图2.2m-k振动系统 受力分析图 解:对k-m-℃系统进行受力分析,利用牛顿第二定律可得: m=f-9-k(4-)(0) m=k(y-)(2) 三.系统非线性微分方程的线性化(略)P31页 四列写系统微分方程的一般步骤: 1.分析系统工作原理和系统中各变量间的关系,确定系统的输入量和 输出量。 2从系统的输入端开始,依物理定律,依次列写系统各元件的动力力 学方程,其中要考虑相邻元件间的负载效应。 3.将各方程式中的中间变量消去,求出输入量一输出量间的微分方程 4.在列写微分方程时,对非线性项进行线性化处理
例 2. m-k 振动系统,输入外力 f t ,输出 y t 1 、 y t 2 ,求其动力学 方程。 k1 m1 k2 m2 f(t) y1(t) y2(t) m2 k y y 2 1 2 m1 f t() 1 ky k y y 2 1 2 图 2.2 m-k 振动系统 受力分析图 解:对 k-m-c 系统进行受力分析,利用牛顿第二定律可得: 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 .(1) .(2) m y f ky k y y m y k y y 三.系统非线性微分方程的线性化(略)P31 页 四.列写系统微分方程的一般步骤: 1.分析系统工作原理和系统中各变量间的关系,确定系统的输入量和 输出量。 2.从系统的输入端开始,依物理定律,依次列写系统各元件的动力力 学方程,其中要考虑相邻元件间的负载效应。 3.将各方程式中的中间变量消去,求出输入量—输出量间的微分方程 4.在列写微分方程时,对非线性项进行线性化处理

§2.2拉普拉斯(Laplace)变换 1熟悉L变换的定义 2.典型函数的拉氏变换 要求〈3.拉氏变换的基本原理 4部分分式展开式及待定系数法 5.查拉氏表 1方便求解,以时间表示的微分方程变为以S表示的代数方程 2.对零初始条件下,引入传递函数和传递矩阵的概念,直接在复(频) 域中研究系统的动态特性,以及对系统进行综合、校正,具实际意义。 一拉氏变换的定义 若)为t的函数,且0时,f)0,则f)的拉氏变换定义为: F(S)=[f()]=f()e“d 象函数 象函数 二.一些常用函数的拉氏变换 1单位阶跃函数40=01<0 11≥0 40 a 图2.3单位阶跃函数 F(S)=L[u()]=u"d=Sed=-se=
§2.2 拉普拉斯(Laplace)变换 1.熟悉 L 变换的定义 2.典型函数的拉氏变换 要求 3.拉氏变换的基本原理 4.部分分式展开式及待定系数法 5.查拉氏表 1.方便求解,以时间表示的微分方程变为以 S 表示的代数方程 2.对零初始条件下,引入传递函数和传递矩阵的概念,直接在复(频) 域中研究系统的动态特性,以及对系统进行综合、校正,具实际意义。 一.拉氏变换的定义 若 f(t)为 t 的函数,且 t<0 时, f(t) =0,则 f(t)的拉氏变换定义为: 0 st F S L f t f t e dt 象函数 象函数 二.一些常用函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数 0 0 1 0 t u t t u(t) t a 图 2.3 单位阶跃函数 0 0 0 st st st 1 1 F S L u t u t e dt e dt e S S

所:用-日 01<0 2.单位脉冲函数60= ©0s1s 04 1/e 图2.4单位脉冲函数 F-401-g片=2号 ]四 所以:6=1 3单位斜放函盘(建度画数)0-日0 ◆0 图2.5单位脉冲函数 F(S)=Lf()]=d=-de" 由∫w=n-∫ahr可知
所以: 1 L[1] S 2.单位脉冲函数 0 0 0 1 lim 0 t t t δ(t) t ε 1/ε 图 2.4 单位脉冲函数 0 0 0 0 0 0 1 1 lim lim 1 1 lim 1 lim 1 st st s s e F S L t e dt S d e d S e S S d S d 所以: L t [ ] 1 3.单位斜坡函数(速度函数) 0 0 0 t f t t t f(t) t 图 2.5 单位脉冲函数 0 0 st st 1 F S L f t t e dt tde S 由 udv uv vdu 可知

-5k"=-e+5eh=-[e= 所以:=1 4.指数函数f0=em(a为正实数) F(S)=L[f()]=L[e-"]-Se"e"d asa 5.正弦函数f=sinot(o为正实数) F(S)-L[f()]-fsinot.ed-Ied[cos] =eowa-wa假e-。 -。己e4ma小esna+mm 引maea :0w ÷F(S)=s2+8 6.余弦函数f)=cosm 同理:FS)=L[cos网]-s+ 7抛物线函数(加速度函数)f0=,120 = 附:拉氏变换表 序号 ( F(s) 1 6) 1
2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 st st st st tde t e e dt e S S S S S 所以: L t[ ] 1 4.指数函数 t f t e ( 为正实数) 0 0 1 1 t t st s t F S L f t L e e e dt e S S 5.正弦函数 f t t sin ( 为正实数) 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 1 sin cos 1 1 cos cos cos 1 1 sin sin sin 1 sin st st st st st st st st st F S L f t t e dt e d t S e t t de t e dt S S e d t e t t de S t e dt 即: 2 2 1 ( ) ( ) S F s F s , 2 2 F S S 6.余弦函数 f t t cos . 同理: 2 2 cos S F S L t S 7.抛物线函数(加速度函数) 1 2 , 0 2 f t t t 2 3 1 1 2 F S L t S 附:拉氏变换表 序号 f t F s 1 t 1

10 K 4 -40dB/dec 6 e 1 s+& 7 Ie n! (6+a) 8 影 1 5+ 9 sinot 品 10 cos@t 2+0 (s+af+o 12 s+a (G+}+a2 13 -e) 三常用的拉氏变换性质:(不作证明) 1.叠加性 若[]=E,[5]=E() 则[a)+bg.=aF(s+b5) 例3.函数f(0=1-2cosm,求其拉氏变换。 4/01=4-24aag 2.微分定理:
2 1t 1 s 3 K K s 4 t 2 1 s 5 n t 40 / dB dec 6 dt e 1 s 7 n t t e 1 ! n n s 8 1 t T e T 1 Ts 1 9 sint 2 2 s 10 cost 2 2 S s 11 sin t e t 2 2 s 12 cos t e t 2 2 s s 13 1 1 t e 1 s s 三.常用的拉氏变换性质:(不作证明) 1. 叠加性 若 L f t F s 1 1 , L f t F s 2 2 则 L af t bf t aF s bF s 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 例 3. 函数 f t t 1 2cos ,求其拉氏变换。 2 2 1 2 [ ] [1] 2 [cos ] s L f t L L t s s = 2.微分定理:

s-ro -ss0-mro-o 若f(O),f(0)f-(0),这些初始值为0,则:L[(0]=S"F(S) 如任0+20+30+0=20+x0 d d 根据微分定理:(S+2S2+3S+1)x,(S)=(2S+1)x(S) 3积分定理: ro 0]-go+甘ro 若∫f(0)d山,f2(0)dmf(o)d,这些初始值为0,则: (s) 4.位移定理:
1 2 ' ( 1) 0 0 0 . 0 n n n n n n df t L SF S f dt d f t L S F S S f S f f dt 若 ' 1 0 , 0 . 0 n f f f ,这些初始值为 0,则: ( ) ( ) n n L f t S F S 如 3 2 0 0 0 3 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ( ) 2 ( ) i i d x t d x t dx t dx t x t x t dt dt dt dt 根据微分定理: 3 2 0 2 3 1 2 1 i S S S x S S x S 3.积分定理: ( ) 1 0 1 1 0 . 0 n n n n F S L f t dt f dt S S F S L f t dt f dt f dt S S S 若 (2) ( ) 0 , 0 . 0 n f dt f dt f f dt ,这些初始值为 0,则: ( ) n 1 n L f t dt F S S 4.位移定理: f(t) t f(t-τ) t

图2.6函数位移示意图 如图2.6所示,原函数)沿时间轴平移x,为f(-)。 L[f(t-r)]=e-"F(S) L e-af(t)=F(S+a) 如[co]s+a旷+o S+a 5.初值定理:时间函数)的初值为imf0=mSF(S) 只有0)存在时才能应用,用来确定系统的初值,而勿需知道原函数。 如:F)=4a求0) (0)=limf()=limsF(S)=limsima 或L+f)=em,f(0)=e°=1 6.终值定理:时间函数)的稳定值(终值)为mf0=mF(S) :F-写a求回 =0 f回)=mr(S)-gs+a 或r+f)=em,f(o)=e*=0 四拉氏反变换 拉氏反变换定义: 0-r[(s]+0e 简单方法:原函数→典型象函数叠加(查表)→)
图 2.6 函数位移示意图 如图 2.6 所示,原函数 f(t)沿时间轴平移 ,为 f t 。 s at L f t e F S L e f t F S a 如 2 2 cos at S a L e t S a 5.初值定理:时间函数 f(t)的初值为 0 lim lim t S f t SF S 只有 f(0)存在时才能应用,用来确定系统的初值,而勿需知道原函数。 如: 1 F S S a ,求 f(0) 0 1 0 lim lim lim lim 1 1 t S S S S f f t SF S S a a S 或 1 L → at f t e , 0 f e 0 1 6.终值定理:时间函数 f(t)的稳定值(终值)为 0 lim lim t S f t SF S 如: 1 F S , S a 求 f 0 0 lim lim 0 S S S f SF S S a 或 1 L → at f t e , f e 0 四.拉氏反变换 拉氏反变换定义: 1 x t L x S → 1 2 j st j x t x S e ds j 简单方法:原函数→典型象函数叠加(查表)→f(t)

例4试求:X=5的拉氏反变换 25-1 解:r[xS]=r。S] (+1)2+22 [s+11 2 s++2*s++2 cos21-esin2 常遇到如下形式的有理分式: X(S=65+6S++65+6 S”+an1++aS+a 使分母为0的S值→极点,使分子为0的S值+零,点 可通过部分分式展开法求 1.只含不同单极,点的情况 bnS"++bS+b。 X)=s8+6+As4*s月++s5 C C. C C。一为S=-P极点处的留数。 C.=[xS)(S+P】- 将X(S)进行,得:x(0=L[X(S)]=Cem+C,ew++Cew S+3 例5.试末X)-2的拉氏反变换 S+3 S+3 G-[68gel2,6 21 X5)3年5中2→0=2e-e
例 4. 试求: 2 2 5 S X S S S 的拉氏反变换 解: 1 1 1 2 2 2 1 1 2 5 1 2 S S L x S L L S S S 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 cos 2 sin 2 2 t t S L L S S e t e t 常遇到如下形式的有理分式: 1 1 1 0 1 1 1 0 . . m m m m n n n b S b S b S b X S S a S a S a 使分母为 0 的 S 值→极点,使分子为 0 的 S 值→零点 可通过部分分式展开法求 1 L 1.只含不同单极点的情况 1 0 1 2 1 2 1 2 . . . m m n n n b S b S b C C C X S S P S P S P S P S P S P Cn—为 n S P 极点处的留数。 k k k s P C X S S P 将 X(S)进行 1 L ,得: 1 1 2 1 2 . n p t p t p t n x t L X S C e C e C e 例 5.试求 2 3 3 2 S X S S S 的拉氏反变换. 解: 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 2 S S C C X S S S S S S S 1 1 3 1 2 1 2 s S C S S S , 2 C 1 2 1 2 2 1 2 t t X S x t e e S S
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