《高等数学》课程教学课件（讲稿）2-6-3无穷小的比较

第十一讲 无穷小的比较

第十一讲 无穷小的比较

函数极限与连续 1.复习巩固 (1) 0是无穷小（A) A:对 B:错 (2)无穷小是指(B) A:0 B极限为0的变量 C:∞ D:以上说法都不对

(1) 0是无穷小（ ） A:对 𝑩:错 （2）无穷小是指（ ） A:0 B:极限为0的变量 C:∞ 𝑫: 以上说法都不对 A B 1.复习巩固

函数极限与连续 1.复习巩固 2 (3)y= (A) x-4 当x→( )时，y为无穷小； 当x→( )时，y为无穷大。 (4)y= X-4 x-2 (D) 当x→( )时，y为无穷小： 当x→( )时，y为无穷大。 A:00,4 B:2,4 C4,o∞ D:4,2

𝟑 𝒚 = 𝟐 𝒙 − 𝟒 当𝒙→ ( )时，𝒚为无穷小； 当𝒙→( )时，𝒚为无穷大。 𝟒 𝒚 = 𝒙 − 𝟒 𝒙 − 𝟐 当𝒙→ ( )时，𝒚为无穷小； 当𝒙→( )时，𝒚为无穷大。 A:∞ , 𝟒 𝑩: 𝟐, 𝟒 𝑪: 𝟒, ∞ 𝑫: 𝟒, 𝟐 1.复习巩固 ( A ) ( D )

函数极限与连续 例1：求下列函数的极限。 (1) x2 lim- =0 分析：x一→0，x2,2x,sinx都是无穷小，但 x-0 x 这些函数趋向于零的“快慢”程度不同。 X (2) 吗 =∞ 2x (3) lim =2 故：两个无穷小之比的极限的不同情况反 →0X 映了不同无穷小趋向于零的“快慢”程度。 (4) sinx lim =1 X→0

(1) (2) 例1： 求下列函数的极限。 (3) (4) =0 =∞ =2 =1 分析：𝒙→0，𝒙 2,2𝒙,𝒔𝒊𝒏𝒙 都是无穷小，但 这些函数趋向于零的“快慢”程度不同。 故：两个无穷小之比的极限的不同情况反 映了不同无穷小趋向于零的“快慢”程度。 lim 𝑥→0 𝑥 2 𝑥 lim 𝑥→0 𝑥 𝑥 2 lim 𝑥→0 2𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥

函数极限与连续 2.无穷小的比较 定义3：设、B是自变量在同一变化过程中的无穷小， 即lima=0,limβ=0. (1)若im号=0，则称a是比B的高阶无穷小，记a=o(B), 也称β是比α的低阶无穷小. (2)若limg=C(C≠0)， 则称a与B是同阶的无穷小，记a=O() 特别C=1则称a与β是等价的无穷小，记~B

定义3： 即𝒍𝒊𝒎𝜶 = 𝟎,𝒍𝒊𝒎𝜷 = 𝟎. 设𝜶、𝜷是自变量在同一变化过程中的无穷小， (1) 若𝒍𝒊𝒎 则称𝜶是比𝜷的高阶无穷小，记𝜶 = 𝒐(𝜷), 𝜶 𝜷 = 𝟎, 也称β是比𝜶的低阶无穷小. (2) 若𝒍𝒊𝒎 𝜶 𝜷 = 𝑪(𝑪 ≠ 𝟎), 则称𝜶与𝜷是同阶的无穷小，记𝜶 = 𝑶(𝜷) 特别𝑪 = 𝟏则称𝜶与𝜷是等价的无穷小，记𝜶 ~𝜷. 2.无穷小的比较

函数极限与连续 r2 (1) lim-=0 则称x2是比x高阶的无穷小. X→0X (2) lim X二0∞ 则称x是比x2的低阶无穷小. x-0x2 (3) 2x lim- -2 x→0X 则称2x与x是同阶的无穷小. (4) sinx lim =1则称simx与x是等价的无穷小. x→0X 记sinx~x (x→0)

(1) (2) (3) (4) = 0 =∞ =2 则称𝒙 𝟐是比𝒙高阶的 无穷小. 则称𝒙是比𝒙 𝟐的低阶无穷小. 则称𝟐𝒙与𝒙是同阶的无穷小. 则称𝒔𝒊𝒏𝒙与𝒙是等价的无穷小. 记𝒔𝒊𝒏𝒙~𝒙 (𝒙 → 𝟎) lim 𝑥→0 𝑥 2 𝑥 lim 𝑥→0 2𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 𝑥 𝑥 2 lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1

函数极限与连续 3.(x→0) 等价的无穷小. (1)sinx~x sinx tanx lim =1 lim x→0X 二1 X→0 (2) tanx~x arcsinx In(1+x) lim =1 lim =1 (3) arcsinx~x X→0 X→0 X (4)ln(1+x)~x ex-1 1-cOSx lim =1 lim 二1 X→0 X→0 (5)ex-1~x 1 (6)1-c0sx2x2 e2x-1 lim X→0 2x =1e2x-1~2x

3.(𝒙 → 𝟎 ）等价的无穷小. （𝟏）𝒔𝒊𝒏𝒙~𝒙 （𝟐）𝒕𝒂𝒏𝒙~𝒙 （𝟑）𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙~𝒙 （𝟒）𝒍𝐧(𝟏 + 𝒙)~𝒙 𝟓 𝒆 𝒙 − 𝟏~𝒙 (𝟔)𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙~ 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 lim 𝑥→0 sinx 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 arcsinx 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 ln(1 + 𝑥) 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 𝑥 2 = 1 lim 𝑥→0 tanx 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 𝑒 𝑥 − 1 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 𝑒 2𝑥 − 1 2𝑥 = 1 𝒆 𝟐𝒙 − 𝟏~𝟐𝒙

函数极限与连续 例2：求下列函数的极限。 解 ln(1+2x) 2x (1) lim (1)原式 2 lim X→0 3x 四3x 1-cosx (2) lim X→0 X (2)原式=1im号 -0 x-0 x sin2x2 (3) lim 2x2 x→0X·tanx (3)原式=im =2 x→0X·X

例2：求下列函数的极限。 lim 𝑥→0 ln(1 + 2𝑥) 3𝑥 (1) lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 (2) (3) lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥2 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝑥 解： （1）原式= lim 𝑥→0 2𝑥 3𝑥 = 2 3 （2）原式= lim 𝑥→0 1 2 𝑥 2 𝑥 = 0 （3）原式= lim 𝑥→0 2𝑥 2 𝑥 ∙ 𝑥 = 2

函数极限与连续 例3.当x→1，时，比较x-1与x2-1的阶。 解：，limx-1 lim- 11 x→1x2-1 =0x+1=2 当x→1时，x-1是与x2-1同阶的无穷小

例3. 当𝒙→1,时，比较𝒙 − 𝟏与𝒙 2−𝟏的阶。 解：∵ ∴ 当𝒙→1时，𝒙 − 𝟏是与𝒙 2−𝟏同阶的无穷小。 = lim 𝑥→0 1 𝑥 + 1 = 1 2 lim 𝑥 → 1 𝑥 − 1 𝑥 2 − 1

函数极限与连续 练习： 1.当x→0时，2x-x2与x2-x3相比，哪个 是高阶的无穷小？ 解： x2-x3 x-x2 lim x02x-x2 =lim =0 x02-X 当x一→0时，x2-x3是比2x一x2高阶的无穷小

1.当𝒙→0时，2𝒙 − 𝒙 2与𝒙 2−𝒙 3相比，哪个 是高阶的无穷小？ 练习： 解：∵ lim 𝑥→0 𝑥 2 − 𝑥 3 2𝑥 − 𝑥 2 = lim 𝑥→0 𝑥 − 𝑥 2 2 − 𝑥 = 0 当𝒙→0时，𝒙 2−𝒙 3是比2𝒙 − 𝒙 2高阶的无穷小