《高等数学》课程教学课件（讲稿）4-4函数的最值

第四讲 函数的最值

第四讲 函数的最值

中值定理与导数应用 函数的最值 ●● 1.复习函数的极值 2.求函数最值的步骤 3.函数在区间上的最值 4.最值的应用问题

1. 复习函数的极值 2. 求函数最值的步骤 4. 最值的应用问题 函数的最值 3. 函数在区间上的最值

中值定理与导数应用 1.求函数极值的步骤 (1)先求函数的定义域D: (2)求函数的驻点即f'(xo)=0或f'(x1)不存在的点； (3)由D,x,x1划分区间，判定定理判定： (4)求极值，总结。 1

(2)求函数的驻点即 𝒇′ (𝒙𝟎 ) = 𝟎 ,或 𝒇 ′(𝒙𝟏 ) 不存在的点； (4)求极值，总结。 (1)先求函数的定义域𝑫； (3)由𝑫，𝒙𝟎 , 𝒙𝟏划分区间，判定定理判定； 1.求函数极值的步骤

中值定理与导敛应用 例1.观察下列函数在「α，b]上的图形，函数最值在哪些点处取得？ A极值点，B端点. M m=f(b) X 0 b m 图1 图2

𝑨 极值点, 𝑩端点. 𝑥 𝑦 𝑎 𝑜 𝑏 𝑀 𝑚 图1 𝑥 𝑦 𝑎 𝑜 𝑏 M 𝑚 = 𝑓(𝑏) 图2 例1.观察下列函数在 [𝒂, 𝒃] 上的图形，函数最值在哪些点处取得？

中值定理与导数应用 2.求函数在[α，b]上最值的步骤 (1)求函数的驻点即f'(xo)=0或f'(x1)不存在的点； (2)f(),f(x),f(a),f(b) (3)比较大小，总结

(1)求函数的驻点即𝒇′ (𝒙𝟎 ) = 𝟎,或𝒇 ′(𝒙𝟏 )不存在的点； (3)比较大小，总结。 (2)由𝒇(𝒙𝟎 ), 𝒇(𝒙𝟏 ), 𝒇(𝒂), 𝒇(𝒃) 2. 求函数在[𝒂, 𝒃]上最值的步骤

中值定理与导数应用 例1：求函数f(x)=x3-3x2-9x+4在[0,4]的最值： 解：y=3x2-6x-9=3(x2-2x-3) =3(x-3)(x+1) 令y=0,x1=3,x2=-1(舍去) f(0)=4,f(3)=-23; f(4)=64-48-36+4=-16; y=f(x)的最大值为4；最小值为-23. 注：求出的最值一定要在所给的区间范围内

例1：求函数𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟒在[𝟎, 𝟒]的最值： 解： 𝒚′ = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 令 𝒚 ′ = 𝟎, 𝒇(𝟎) = 𝟒; 𝒚 = 𝒇(𝒙)的最大值为𝟒；最小值为−𝟐𝟑. 𝒇 3 = −𝟐𝟑; 𝒇 4 = 𝟔𝟒 − 𝟒𝟖 − 𝟑𝟔 + 𝟒 = 𝟑(𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒙𝟏 = 𝟑, = 𝟑(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏) 𝒙𝟐 = −𝟏（舍去） = −𝟏𝟔; 注：求出的最值一定要在所给的区间范围内

中值定理与导数应用 例2.求函数f(x)=Vx2在[-1,8的最值： 解：y=x寸-2 1 反 f'(x)不存在的点x=0 f(-1)=1;f(0)=0;f(8)=4 y=Vx2的最大值为4；最小值为0. 注：函数在不可导的点处也可取得最值

例2. 求函数𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙 𝟐在[−𝟏,8]的最值： 解： 𝒚 ′ = 𝟐 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝟑 = 𝟐 𝟑 𝟑 𝒙 𝒇(−𝟏) = 𝟏; 𝒚 = 𝟑 𝒙 𝟐的最大值为4；最小值为𝟎. 𝒇(𝟎) = 𝟎; 𝒇(8) =4 𝒇′(𝒙)不存在的点𝒙 = 𝟎 注：函数在不可导的点处也可取得最值

中值定理与导敛应用 例3.求函数f(x)=-1在(0,1)的最小值： x x-1 解：y=-之+ 1 2x-1 x-10z= x2(1-x)2 令 y=0,x= 2 1-2 0 y f份)=4，f(x)在(0,1)处有唯一极小值， y=f(x)的最小值为4. 注：函数在某区间上有唯一的极值一定是函数在该 区间上的最值

例3. 求函数𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙−1 在(𝟎, 𝟏)的最小值： 解： 𝒚′ = − 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 (𝒙−𝟏) 𝟐 令 𝒚′ = 𝟎,𝒙 = 𝟏 𝟐 ; 𝒇( 𝟏 𝟐 ) = 𝟒，𝒇(𝒙)在(𝟎, 𝟏)处有唯一极小值, 𝒚 = 𝒇(𝒙)的最小值为4. = 𝟐𝒙−𝟏 𝒙 𝟐(𝟏−𝒙) 𝟐 𝑥 𝟎, 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑦′ − 0 + 𝑦 𝟏 𝟐 , 𝟏 注：函数在某区间上有唯一的极值一定是函数在该 区间上的最值

中值定理与导数应用 说明： 若函数f(x)在一个区间内（开区间、闭区间或无穷 区间)只有一个极值点，若是极大值点，则一定为 最大值点；若为极小值点则一定为最小值点

说明： 若函数𝒇(𝒙)在一个区间内（开区间、闭区间或无穷 区间）只有一个极值点，若是极大值点，则一定为 最大值点；若为极小值点则一定为最小值点

中值定理与导数应用 ·例4.设有一块边长为60c的正方形铁皮，从四个角各截去 大小一样的小正方形，做一个无盖的方盒，问截去的小正方 形的边长为多少时能使做成的方盒的容积最大？ 2 60-2x 60-2x 60

• 例4. 设有一块边长为60cm的正方形铁皮，从四个角各截去 大小一样的小正方形，做一个无盖的方盒，问截去的小正方 形的边长为多少时能使做成的方盒的容积最大？