《理论力学》课程教学资源（PPT课件）动量矩定理

11动量矩定理 日 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 日 刷体绕定轴转动的微分云程 口 刷体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程

11 动量矩定理 • 质点和质点系的动量矩 • 动量矩定理 • 刚体绕定轴转动的微分方程 • 刚体对轴的转动惯量 • 质点系相对质心的动量矩定理 • 刚体平面运动微分方程

引言 。由静力学力象简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 由则体平面运动理论知：则体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关条。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。则体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关条将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面

引言 • 由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面

11.1质点和质点系的动量矩 1质点的动量矩 质点Q的动量对于点O的 矩，定义为质点对于点O Mo(m) 的动量矩，是矢量。 M,(w) Mo(mw)=r×mv 质点动量my在OXy平面 内的投影(mw)x对于点O的 矩，定义为质点动量对于 z轴的矩，简称对于z轴的 动量矩，是代数量

1 质点的动量矩 ( ) MO mv  r mv 质点Q的动量对于点O的 矩，定义为质点对于点O 的动量矩，是矢量。 11.1 质点和质点系的动量矩 Q  A x y z q O A mv Q MO(mv) Mz(mv) r 质点动量 mv 在 oxy 平面 内的投影(mv)xy对于点O的 矩，定义为质点动量对于 z轴的矩，简称对于z轴的 动量矩，是代数量

质点的动量矩 类似于力对点之矩和力对轴之矩的关条，质点 对点O的动量矩矢在乙轴上的投影，等于对乙的动 量矩。 [Mo(mv)l:M.(mv) 在国际单位制中，动量矩的单位是kgS

类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点 对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动 量矩。 在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2 /s。 质点的动量矩 [MO(mv)]z＝Mz(mv)

质点系的动量矩 2质点系的动量矩 质点条对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的 动量矩的失量和。 Lo=∑Momv) 质点象对某轴乙的动量矩等于各质点对同一乙轴的 动量矩的代数和。 Lo=ΣM,(mw) 质点条对某点O的动量矩关在通过该点的z轴上的 投影，等于质点系对该轴的动量矩。 [Lol=La

质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的 动量矩的矢量和。 质点系的动量矩 2 质点系的动量矩 LO=ΣMO(mv) 质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的 动量矩的代数和。 LO=ΣMz(mv) 质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的 投影，等于质点系对 该轴的动量矩。 [LO]z = Lz

刚体的动量矩 了平动刚体的动量矩 则体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 Z1 4定轴转动则体的动量矩 L.=∑m(m,y)=∑m,y,=o∑m,r2 令J,=卫mH2称为则体对z轴的转动惯 量，于是得 L.=J.@ 即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积

3 平动刚体的动量矩 刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 刚体的动量矩 4 定轴转动刚体的动量矩 2 ( ) L z mz mi i mi i i i i   v   v r    m r 令 Jz＝Σmiri 2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得 Lz  J z 即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。 z  Mi ir i i m v 

质点集的动量矩 例1均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有 一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的 转动惯量为J,半径为r,角速度为0，重物A 的质量为m,并设绳与原盘问无相对滑动， 求系统对轴O的动量矩。 解： Lo=L块+L盘=mr+J0 mr-@+Jo =(mr2+J)@ L0的转向沿逆时针方向

r  O A mv  例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有 一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的 转动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A 的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动， 求系统对轴O的动量矩。 解：     ( ) 2 2 mr J mr J L L L mvr J O      块  盘   LO的转向沿逆时针方向。 质点系的动量矩

11.2动量矩定理 11.2.1质点的动量矩定理 设质点对固定点0的动 量矩为Mo(w),作用力F对 Mo(mv) 同一点的矩为Mo(F可，如图 所示。 将动量矩对时间取一 Mo(F) 次导数，得 o(m)= d (r×mv) dt dr d ×mv+rx (mv) dt

11.2.1 质点的动量矩定理 设质点对固定点O的动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点的矩为MO(F) ，如图 所示。 d d ( ) ( ) d d d d ( ) d d O m m t t m m t t       M v r v r v r v 11.2 动量矩定理 x y z O MO(mv) Q mv MO r (F) F 将动量矩对时间取一 次导数，得

11.2.1质点的动量矩定理 因为 dmm=万，d=v dt Mo(m 所以 d Mo(mD)=vxmv+r×F Mo(F dt 又因为 v×mv=0,r×F=Mo(F) 质点对某定点的 动量矩对附间的一阶 所以 dio0mm=Mo( 导数，等于作用力对 dt 同一点的矩

 m  0,   O ( )       v v r F M F d ( ) ( ) d O m O t      M v M F 11.2.1 质点的动量矩定理 d d ( ) d d m t t       r v F , v d ( ) d O m m t           M v v v r F 因为 所以 又因为 所以 x y z O MO(m v) Q m v MO r (F) F 质点对某定点的 动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对 同一点的矩

11.2.1质点的动量矩定理 将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量 矩与对轴的动量矩的关系代入，得 d M.(mv)=M,(F) 质点对某 d t 固定轴的动量 d 矩对时间的一 M,(mv)=M,(F) 阶导数等于质 点所受的力对 d M.(mv)=M.(F) 同一轴的矩。 dt

将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量 矩与对轴的动量矩的关系代入，得 d ( ) ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) d x x y y z z M m M t M m M t M m M t    v F v F v F 质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。 11.2.1 质点的动量矩定理