山东理工大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第5章 分析力学

第5章分析力学 1、1 分析力学是经典力学的重要组成部分 2、以牛顿定律为基础的矢量力学，以“力”为切入点，强调通过对 个体（质点、刚体)的研究，实现对系统或整体的力学规律的把握 3、分析力学以系统为研究对象，通过对系统的状态函数规律的研 究，实现对系统以及个体运动规律的把握。 4、形式上，矢量力学方程突出矢量性，而分析力学方程突出以能 量为代表的标量状态函数 5、两种研究方式殊途同归，各有干秋。但分析力学对近代物理发 展的启示意义更为突出

第5章 分析力学 1、分析力学是经典力学的重要组成部分 2、以牛顿定律为基础的矢量力学，以“力”为切入点，强调通过对 个体（质点、刚体）的研究，实现对系统或整体的力学规律的把握 3、分析力学以系统为研究对象，通过对系统的状态函数规律的研 究，实现对系统以及个体运动规律的把握。 4、形式上，矢量力学方程突出矢量性，而分析力学方程突出以能 量为代表的标量状态函数 5、两种研究方式殊途同归，各有千秋。但分析力学对近代物理发 展的启示意义更为突出

第5章分析力学 5.1约束与广义坐标 (1)约束的概念和分类 1、力学体系 有相互作用，运动彼此关联的物体系统。 2、约束 约束是指对一个力学系统运动空间和运动方式的限制。 约束往往可以用约束方程来表示。 3、约束的种类 1)完整约束 完整约束又叫做几何约束，是指约束方程（条件)只与体系各质 点的坐标及时间有关的约束。约束方程可以表示为

第5章 分析力学 5.1 约束与广义坐标 （1）约束的概念和分类 1、力学体系 有相互作用，运动彼此关联的物体系统。 2、约束 约束是指对一个力学系统运动空间和运动方式的限制。 约束往往可以用约束方程来表示。 3、约束的种类 １）完整约束 完整约束又叫做几何约束，是指约束方程（条件）只与体系各质 点的坐标及时间有关的约束。约束方程可以表示为

第5章分析力学 fG,.,i)=0 +凡完整约束，都可以通过约束方程，用代数的方法将不 独立的坐标消去。 每一个完整约束方程可以消去一个不独立的坐标。 如果体系受到k个完整的约束，即 f(G,.,n,t)=0j=1,2,.,k 测可以消去泓个不独立的坐标，剩余的独立坐标数为

第5章 分析力学 ( ) 0 f r1 ,r2 , ,rn ,t =     凡完整约束，都可以通过约束方程，用代数的方法将不 独立的坐标消去。 每一个完整约束方程可以消去一个不独立的坐标。 如果体系受到 k 个完整的约束，即 ( , ) 0 f j r1 ,r2 , ,rn t =     j = 1,2,  , k 则可以消去 k 个不独立的坐标，剩余的独立坐标数为

第5章分析力学 s=3n-k 其中n是体系质点的个数，s叫做体系的自由度 (2)非完整约束 如果不能通过约束方程将不独立的坐标直接消去，这种约束 成为非完整约束。这种约束方程中往往含有坐标和时间的微分， 单从约束方程本身不能通过积分的方式将微分消除。另外，用不 等式表示的所谓可解约束也属于非完整约束

第5章 分析力学 s = 3n − k 其中 n 是体系质点的个数， s 叫做体系的自由度 （２）非完整约束 如果不能通过约束方程将不独立的坐标直接消去，这种约束 成为非完整约束。这种约束方程中往往含有坐标和时间的微分， 单从约束方程本身不能通过积分的方式将微分消除。另外，用不 等式表示的所谓可解约束也属于非完整约束

第5章分析力学 (2)广义坐标 建立一个力学体系动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标 广义坐标可以充分地表达一个力学体系的空间位形 对于完整约束体系，广义坐标的个数与体系的自由度相同 但若体系所受约束中有非完整约束，广义坐标的个数将大于自由度

第5章 分析力学 （2）广义坐标 建立一个力学体系动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标 广义坐标可以充分地表达一个力学体系的空间位形 对于完整约束体系，广义坐标的个数与体系的自由度相同 但若体系所受约束中有非完整约束，广义坐标的个数将大于自由度

第5章分析力学 对于完整约束体系设3个广义坐标分别为q1,.,9则个质点组成的 力学体系全体3n个坐标，均可用下式表示 x;=x,(q1,q2,.,qs,t) i=1,2,.,3n 上式称为变换方程 5.2虚功原理 (1)实位移与虚位移 1、实位移：质点按照运动定律真实发生的位移。表示成厅

第5章 分析力学 对于完整约束体系设 个广义坐标分别为 则 个质点组成的 力学体系全体 个坐标，均可用下式 表示 s q qs , , 1  n 3n ( , , , , ) 1 2 x x q q q t i = i  s i = 1,2,  ,3n 上式称为变换方程 5.2 虚功原理 （1）实位移与虚位移 1、实位移：质点按照运动定律真实发生的位移。表示成 dr 

第5章分析力学 2、虚位移：在当前约束许可的情形下虚拟发生的位移。表示成 3、虚功：W=F.币 4、理想约束 设体系所受到的约束力为，.R,，满足以下关系则构成理想约束 2反成=0 i=

第5章 分析力学 2、虚位移：在当前约束许可的情形下虚拟发生的位移。表示成 r   3、虚功： W F δr    =  4、理想约束 设体系所受到的约束力为 R , Rn ，满足以下关系则构成理想约束    1 0 1   = = n i i i R δr  

第5章分析力学 光滑曲面，刚性连杆，不可伸长轻绳等都可视为理想约束 5、虚功原理 理想约束下的力学体系，当处于平衡状态时，全体主动力的虚功 之和为零。即 E·访=0 虚功原理在表达力学平衡体系时是完备的，这表现在它与牛顿定 律的等价性

第5章 分析力学 光滑曲面，刚性连杆，不可伸长轻绳等都可视为理想约束 理想约束下的力学体系，当处于平衡状态时，全体主动力的虚功 之和为零。即 5、虚功原理 0 1   = = n i i i F δr   虚功原理在表达力学平衡体系时是完备的，这表现在它与牛顿定 律的等价性

第5章分析力学 按照牛顿定律，平衡体系应满足 豆R=0 取上式的虚功，有 立6+)成=0 即 立疗所=0 上式称为虚功原理

第5章 分析力学 按照牛顿定律，平衡体系应满足 ( ) 0 1  + = = n i Fi Ri   取上式的虚功，有 ( ) 0 1  +  = = n i i i i F R r     即 0 1   = = n i i i F δr   上式称为虚功原理

第5章分析力学 质点虚位移与全体广义坐标的变更的关系，可以通过变换方程 获得，即 将上式代入虚功原理有 m-22-空恶-0-0

第5章 分析力学 质点虚位移与全体广义坐标的变更的关系，可以通过变换方程 获得，即 =   = s α α α i i δq q r r 1    将上式代入虚功原理有     = = = = = = =           =    =  n s i s s α n i α i α i α i i q Q q q r δq F q r W F 1 1 1 1 1 0            