《固体物理》课程教学资源（知识拓展）第二章 低维系统的量子方程

第二章低维系统的量子方程 S2.1态密度 S2.1.1一维无限深方势阱 0 图2.11一维无限深方势阱 薛定谔方程， _h8v.+V(:W.-E.v. 2m02 (2.1.0 e-合0g 其它 (2.12) 解为， ,兵 (2.1.3) 本征态：4：=√层sm晋) (2.14) $2.1.2平面内运动 电子在平面内自由运动，在：方向受到约束，如上面的无限深势阱，薛定谔方程可写 为

43 第二章 低维系统的量子方程 §2.1 态密度 §2.1.1 一维无限深方势阱 图 2.1.1 一维无限深方势阱 薛定谔方程， z z z z V z E m z    + =   − ( ) 2 2 2 2  (2.1.1)       = 其它 z a V z 0 0 ( ) (2.1.2) 解为， 本征值： 2 2 2 2 2ma n Ez   = (2.1.3) 本征态： sin( ) 2 z a n z a   = (2.1.4) §2.1.2 平面内运动 电子在平面内自由运动，在 z 方向受到约束，如上面的无限深势阱，薛定谔方程可写 为

2m dy2 (2.1.5) 方2a2w 2m+Pew,=E, 解为 本征值：B=么+E,+E=光+x沉 2m 2ma (21.6) 本征态：(xy)=少， (2.17) 2.13态密度 定义A自-器 三#自由电，以国- (2.1.8 对于量子阱中的二维电子气，对应每条子能级（即E。),电子在xy平面内自由运动， 其能量是连续分布的。二维平面内的电子态密度则为， p2(E)=亦 (2.1.9) 如果有许多禁闭态(n),那么，p2”是对该能级下的所有次能级求和，即， p“0-2票E-) (2.1.10) 20nm厚度的GaAs量子阱，具有无限高势垒下的的态密度如下图所示

44          + =   − =   − =   − z z z z y y y x x x V z E m z E m y E m x        ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2    (2.1.5) 解为， 本征值： 2 2 2 2 2 , 2 2 2ma n m k E E E E x y x y z    = + + = + (2.1.6) 本征态： x y z  (x, y,z) =   (2.1.7) §2.1.3 态密度 定义： dE dN (E) = 三维自由电子： 1/ 2 3 / 2 2 2 2 2 1 ( ) E m dE dk dk dN E       = =    (2.1.8) 对于量子阱中的二维电子气，对应每条子能级（即 En ），电子在 xy 平面内自由运动， 其能量是连续分布的。二维平面内的电子态密度则为， 2 2 ( )   m E D = (2.1.9) 如果有许多禁闭态（ n ），那么， 2D  是对该能级下的所有次能级求和，即， ( ) ( ) 2 1 2 i n i D E E m E =  − =     (2.1.10) 20nm 厚度的 GaAs 量子阱，具有无限高势垒下的的态密度如下图所示

p2(J-1m2) 4E+36 2E+36 40 80120160 E(meV) 图2.1.1GaAs量子阱态密度 $2.1.4子带占据数 绝对零度下，电子从最低子带能级开始逐一向上占据，一直达到最高占据能级，即费 米能级E。有限温度下，每个子带上的电子总数由电子占据几率与态密度乘积给出， N。=JfE)pEd (2.1.11) 其中f(E)=nna: $2.1.5有限深量子阱 设量子阱深度为有限'。，阱宽为a, Va H>a12 (2.1.12) 通过求解薛定谔方程(2.1.1)，可得到本征值和本征态 (a)偶宇称解： Ae =≤-a/2 本征态：()=cosk: -a/2≤：≤a/2 (2.113 Fe- z2a/2 本征值：a=k tan(ka/2)A=F=em2cos(ka/2)

45 图 2.1.1 GaAs 量子阱态密度 §2.1.4 子带占据数 绝对零度下，电子从最低子带能级开始逐一向上占据，一直达到最高占据能级，即费 米能级 EF 。有限温度下，每个子带上的电子总数由电子占据几率与态密度乘积给出，  = subbands Ne f (E)(E)dE (2.1.11) 其中 1 1 ( ) ( ) / + = E−EF kBT e f E 。 §2.1.5 有限深量子阱 设量子阱深度为有限 V0 ，阱宽为 a ，      = / 2 0 / 2 ( ) V0 z a z a V z (2.1.12) 通过求解薛定谔方程(2.1.1)，可得到本征值和本征态， (a)偶宇称解： 本征态：       −    − = − / 2 cos / 2 / 2 / 2 ( ) Fe z a k z a z a Ae z a z z z    (2.1.13) 本征值：  = k tan( ka/ 2) cos( / 2) / 2 A F e ka a = =

(a)奇宇称解： Ae :s-a/2 本征态：w(e)={Dsin k: (2.1.14 Fe-e -≤-a/2 本征值：a=kctg(ka/2) 其中，k:-2mE,心-2m%-且，系数由边界条件和归一化条件确定。前三条能级和 2 2 相应的电子态如图212所示。 图212@无限深方势 图2.12)有限深方势阱(m=0.067m.,'=100meV) $2.2变质量问题 异质结两边的半导体材料性质上存在差异，这是异质结具有独特性质的重要根源。这 些差异包括：带隙，介电常数，晶格常数，有效质量。 对于有效质量m。,m。不匹配情况，边界条件要求下面两个量是连续的， w(e): 是e 称为Ben Daniel-Duke边界条件

46 (a)奇宇称解： 本征态：       − −    − = − / 2 sin / 2 / 2 / 2 ( ) Fe z a D k z a z a Ae z a z z z    (2.1.14) 本征值：  = kctg(ka/ 2) 其中， 2 2 2  mE k = ， 2 2 0 2 ( )  m V − E  = ，系数由边界条件和归一化条件确定。前三条能级和 相应的电子态如图 2.1.2 所示。 图 2.1.2(a)无限深方势阱 图 2.1.2(b) 有限深方势阱（ m 0.067me ,V 100meV * = = ） §2.2 变质量问题 异质结两边的半导体材料性质上存在差异，这是异质结具有独特性质的重要根源。这 些差异包括：带隙，介电常数，晶格常数，有效质量。 对于有效质量 * * , ma mb 不匹配情况，边界条件要求下面两个量是连续的，  (z) ； ( ) 1 * z m z    称为 Ben Daniel-Duke 边界条件

$2.2.1无限高势垒和质量极限情况 固定势阱宽度，改变G6Alo4As的势垒高度，发现随着势垒高度的增加，能级上升。 结果如图2.2.1所示 E1(mev) 60 50 30 V(mev) 20 00 100010000100000 图22.1固定GaAs阱宽10nm,基态能级随金高的变化。粗实线为质量一样的结果(m。=m,), 虚粗线为质量不一样的结果(m。=10m)。水平虚线为V→0的结果。 如果其他参数不变，改变垒内电子有效质量m,计算得到的基态能量将随m的增加 而减小。结果如图2.2.2所示。当m→0，有E=0。 E(mev) 50日 % 30 10 01 101001000 图222基态能级随垒内电子有效质量的变化结果

47 §2.2.1 无限高势垒和质量极限情况 固定势阱宽度，改变 Ga0.6Al0.4As 的势垒高度，发现随着势垒高度的增加，能级上升。 结果如图 2.2.1 所示。 图 2.2.1 固定 GaAs 阱宽 10nm，基态能级随垒高的变化。粗实线为质量一样的结果（ * * ma = mb ）， 虚粗线为质量不一样的结果（ * * ma = 10mb ）。水平虚线为 V →  的结果。 如果其他参数不变，改变垒内电子有效质量 * mb ，计算得到的基态能量将随 * mb 的增加 而减小。结果如图 2.2.2 所示。当 →  * mb ，有 E1 = 0。 图 2.2.2 基态能级随垒内电子有效质量的变化结果

对于不同垒内电子有效质量m:,我们计算了10GAs阱内的电子基态波函数，如图2.2.3 所示，其中垒高均取为V=1O00meV。 m" 10 01 图223基态波函数示意图 改变GaAs的阱宽，基态能级随垒内电子有效质量的变化如图2.2.4所示。垒Gn6Alo4As 的高度固定为1000mV,阱内电子有效质量 E(meV) 50 90 1011i 30 20 201mm 01 101001000 m/me 图2.2.4不同阱宽下的基态能级随垒内电子有效质量的变化(m。=0.067m,) $2.2.2厄米性和动能算符 为保证哈密顿量的厄米性，对于空间质量变化的情况，粒子动能算符应为

48 对于不同垒内电子有效质量 * mb ，我们计算了10GaAs阱内的电子基态波函数，如图2.2.3 所示，其中垒高均取为 V =1000meV 。 图 2.2.3 基态波函数示意图 改变 GaAs 的阱宽，基态能级随垒内电子有效质量的变化如图 2.2.4 所示。垒 Ga0.6Al0.4As 的高度固定为 1000meV，阱内电子有效质量 图 2.2.4 不同阱宽下的基态能级随垒内电子有效质量的变化 ( ma 067me 0. * = ) §2.2.2 厄米性和动能算符 为保证哈密顿量的厄米性，对于空间质量变化的情况，粒子动能算符应为

2m间→m阿A→g是是 1 因此，薛定谔方程为， "2在m间a)+ewe)=Ee h2a10 (2.2.10 连续性条件：(e), 当然，上述动能表达式不是唯一的，如也可令动能算子T为， i=- 1 -p.p.Tm() 1 m'() 同样满足厄米条件。再令波函数w()=√m()),带入薛定谔方程得到 2mi间ea)+eae)=Be (2.2.2) 连续性条件变为：)，是 实际上，动能算子T的选择：个-m(e)p,m(e)p,m(e)可以很多，只要满足 2a+B=-1即可 因此，由于在交界处m的不连续性，会导致电子波函数山的不连续性，但可以通过变 换，使变换后的中在边界处连续。 不同动能算子处理得到的电子本征能量可以是不同的。两种选择， (D1-Ip (2)f=pmp 下计算得到的基态能量曲线如图2.25所示。阱GaAs,垒GaosAlo2.As。通过与光诱导实验 数据比较认为，动能算子取广=pp形式与实验符合得更好。Galbrath等人分析了各种 选择以及与实验的比较，本书以后也将采用广=P户形式

49 z m z z p m z p m z p z z     → → ( ) 1 2 ˆ 2 ( ) 1 ˆ 2 ( ) * * * 2 2 -  因此，薛定谔方程为， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 * z V z z E z z m z z  +  =      2 -  (2.2.1) 连续性条件： ( ) ( ) 1 ( ) * z m z z  z    , 当然，上述动能表达式不是唯一的，如也可令动能算子 T 为， ( ) 1 ˆ ˆ ( ) 1 ˆ * * m z p p m z T = z z 同样满足厄米条件。再令波函数 ( ) ( ) ( ) *  z = m z  z ，带入薛定谔方程得到， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 * z V z z E z m z z  +  =    2 -  (2.2.2) 连续性条件变为： ( ) (z) z  z    , 。 实际上，动能算子 T 的选择： ( ) ( ) ( ) ˆ * * * T m z p m z p m z z z    = 可以很多，只要满足 2 +  = −1 即可。 因此，由于在交界处 * m 的不连续性，会导致电子波函数  的不连续性，但可以通过变 换，使变换后的  在边界处连续。 不同动能算子处理得到的电子本征能量可以是不同的。两种选择， （1） 2 ˆ 1 ˆ p m T = （2） p m T p ˆ 1 ˆ ˆ = 下计算得到的基态能量曲线如图 2.2.5 所示。阱 GaAs，垒 Ga0.8Al0.2As。通过与光诱导实验 数据比较认为，动能算子取 p m T p ˆ 1 ˆ ˆ = 形式与实验符合得更好。Galbraith 等人分析了各种 选择以及与实验的比较，本书以后也将采用 p m T p ˆ 1 ˆ ˆ = 形式

E(mev) 50 40 30 20- 10 01110100i000 m/ 图22.5基态能级随垒内电子有效质量的变化结果。固定GaAs阱宽10mm,阱深1000meV。实粗线 为采用表达式(1)的结果，虚粗线为采用表达式(2)的结果。水平虚线为V→0的结果。 §2.3多量子阱系统 下面以双量子阱为例。 I V=0.」 Z=0 图23.1双势阱结构示意 阱内电子有效质量为m,垒内m。 令=-B, 2m。 2价=，分区波函数为。 I区：Ae+Bc Ⅱ区：Csin B=+DcosB= ll☒：Fee+Ger IV区：H sin B+I cosB-

50 图 2.2.5 基态能级随垒内电子有效质量的变化结果。 固定 GaAs 阱宽 10nm，阱深 1000meV。实粗线 为采用表达式（1）的结果，虚粗线为采用表达式（2）的结果。水平虚线为 V →  的结果。 §2.3 多量子阱系统 下面以双量子阱为例。 图 2.3.1 双势阱结构示意 阱内电子有效质量为 * mw ，垒内 * mb 。 令 V E mb = − * 2 2 2   ， E mw = * 2 2 2   ，分区波函数为， I 区： z z Ae Be  − + II 区： Csin z + Dcos z III 区： z z Fe Ge  − + IV 区： H sin z + I cos z

V区：Jee+Ke 边界条件()， :=0 A+B=D 1 ==a Csin Ba+Dcos Ba=Fe+Ge-o Ccos鱼-Dsn1= a(Fe"-Ge ==b Fe +Ge Hsin b+l cosb de-6e=dHcs肠-1sm刷 ==c Hsin Bc+1cos Bc=Je +Ke- Ack-1sn风-tae-e） 以上每组方程均可写成矩阵形式，如第一组可写成， 日-（日→（图=M( (2.3.1) 依此类推，得到 (图-rG,MuM)- （2.32) 在两边的势垒内，波函数必须趋于零，这要求B=0,J=0,即上面矩阵M的， M2(E)=0 2.3.3) 由此给出本征能量E。 上述处理方法称之为转移矩阵技术。实际上，也可以选择各区域的左边界为该区域波 函数的零点，这样，上面的边界条件形式可大大简化 :=0A+B=D

51 V 区： z z Je Ke  − + 边界条件 ( ) ( ) 1 ( ) * z m z z  z    , 的连续性给出， C m A B m z A B D b w   * * 1 ( ) 1 0 − = = + = ( ) 1 ( cos sin ) 1 sin cos * * a a w b a a Fe Ge m C a D a m z a C a D a Fe Ge           − − − = − = + = + ( cos sin ) 1 ( ) 1 sin cos * * H b I b m Fe Ge m z b Fe Ge H b I b w b b b b b           − = − = + = + − − ( ) 1 ( cos sin ) 1 sin cos * * c c w b c c Je Ke m H c I c m z c H c I c Je Ke           − − − = − = + = + 以上每组方程均可写成矩阵形式，如第一组可写成，         =          →       =        − D C M M B A D C M B A M 2 1 1 2 1 (2.3.1) 依此类推，得到         =        =        − − − − K J M K J M M M M M M M M B A 8 1 6 7 1 4 5 1 2 3 1 1 (2.3.2) 在两边的势垒内，波函数必须趋于零，这要求 B = 0, J = 0 ，即上面矩阵 M 的， M22 (E) = 0 (2.3.3) 由此给出本征能量 E 。 上述处理方法称之为转移矩阵技术。实际上，也可以选择各区域的左边界为该区域波 函数的零点，这样，上面的边界条件形式可大大简化， C m A B m z A B D b w   * * 1 ( ) 1 0 − = = + =

=a Csin Ba+Dcos Ba=F+G BCcos-Dsn网)= (F-G) ==b Fekv +Ge-at =1 ==c Hsin Be'+=J+K He-1nk)-成aU- 其中b=b-a为垒宽，a和c=c-b为两阱宽。余下求解相同。 无限超品格可用无限多量子阱来描述。GaAs/Ga.Al1-As连续生长可形成无限超晶格结 构，晶格势场可用Kronig-.Penny模型来描述。 .7 Π「. 图232无限超品格势场的Kronig Penny模型 电子在该势场中运动时，每个阱内的基态和激发态能级将扩展成能带结构。 GaAs(8nm)/Ga6Al4A(8nm)超晶格的两个最低能带如图2.3.3所示。 E(mev 300 20 (/L) 图2.33GaAs(8amGa6 Al4As8(nmm)超品格的两个最低能带

52 ( ) 1 ( cos sin ) 1 sin cos * * F G m C a D a m z a C a D a F G w b − = − = + = +       H m Fe Ge m z b Fe Ge I w b b b b b       * ' ' * ' ' 1 ( ) 1 − = = + = − − ( ) 1 ( cos ' sin ') 1 sin ' cos ' * * J K m H c I c m z c H c I c J K w b − = − = + = +       其中 b' = b − a 为垒宽， a 和 c' = c −b 为两阱宽。余下求解相同。 无限超晶格可用无限多量子阱来描述。GaAs/GaxAl1-xAs 连续生长可形成无限超晶格结 构，晶格势场可用 Kronig-Penny 模型来描述。 图 2.3.2 无限超晶格势场的 Kronig-Penny 模型 电子在该势场中运动时，每个阱内的基态和激发态能级将扩展成能带结构。 GaAs(8nm)/Ga0.6Al0.4As(8nm)超晶格的两个最低能带如图 2.3.3 所示。 图 2.3.3 GaAs(8nm)/Ga0.6Al0.4As(8nm)超晶格的两个最低能带