石河子大学：《电动力学》课程教案讲义 Classical Electrodynamics（主讲：郭志）

电动力学 Classical Electrodynamics 数学准备 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 1

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 电动力学 Classical Electrodynamics 数学准备 1

矢量分析 ·矢量（函数） a=a(t)=a,(t)i+a,(t)j+a.(t)k; a=/a;+a;+a2 也可用矩阵形式书写 2 ax a=a,a,a.）ora= a ay a ·矢量（函数）求和 0 a±b=[a,±b5+[4,±b,]+[a.±b]k =(a±bx,a,±b,a.±b 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 2

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量（函数） – 也可用矩阵形式书写 • 矢量（函数）求和 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ; x y z a ax ay az a = a t = a t i + a t j + a t k = + +       ( )           = = z y x x y z a a a a a a a or a   , ,       ( ) x x y y z z x x y y z z a b a b a b a b a b i a b j a b k =     =  +  +  , ,      x a az    a  y a 2

矢量分析 ·点乘ab=(a,a,ab =lacoso b =ab,+a b +a.b a×b 大小ab sin 方向右手旋螺 ·差乘 b axb=a, ay a. a =(a,b.-a.b,+(a.b,-ab.)j+(ab,-a,b axb=-bxa 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 3

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 点乘 • 差乘 ( ) x x y y z z z y x x y z a b a b a b a b b b b a b a a a = + + =            = , , cos     (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k b b b a a a i j k a b y z z y z x x z x y y x x y z x y z         = − + − + −  = a b b a      = −  a  b      方向右手旋螺 大小a b sin  a b      3

矢量分析 。混合积c-(a×) -大小Nd,axbsin 0 -等于ā，为邻边的平行六面体的面积 -底面积a×b=absin中 -高dcos0=ccos0 -体积a.5威)万.×a 一混合积的性质： a a-6xc)=万.(exa)=c-a×b) =-a.(cxB)=-B.(axc)=-c.(Bxa) 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 4

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 混合积 – 大小 – 等于 为邻边的平行六面体的面积 – 底面积 – 高 – 体积 或 – 混合积的性质： c (a b)      c a b sin       a b = absin    c cos = ccos  a b c    , , a  b  c    a (b c)      b (c a)      ( ) ( ) ( ) a (c b) b (a c) c (b a) a b c b c a c a b                   = −   = −   = −     =   =   4

矢量分析 ·(2)矢积c×(axb) -可用和残性表示（矢积在，ā构成的平面内） cxaxB)=(e.b后-(aa)b b e-ad人cxax6 a (.a 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 5

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • ⑵ 矢积 – 可用 和 线性表示（矢积在 ， 构成的平面内） c (a b)      a  b  b  a  c (a b) (c b)a (c a)b            =  −  a  b  c  (c a)b     (c b)a     c (a b)      5

矢量分析 证明： i jk a×b=axa, a:=(a,b.-a.b,+(a.b,-a,b.)j+(a,b,-a,b bx b,b. j-cx(axb)- Cx Cy C a b.-ab,a.b:-ab:ab,-a b: T,=C,(ab,-ab,)-c.(a.b,-ab.)=la,(b,cy+b.c:)-b.(@cy+a.c. =a.bx+b,c+b.c:）-b.(c+a,c,+a.c非=a.6c-b.(a-c月 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 6

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 证明： (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k b b b a a a i j k a b y z z y z x x z x y y x x y z x y z          = = − + − + − ( ) y z z y z x x z x y y x x y z a b a b a b a b a b a b c c c i j k f c a b − − − =   =         ( ) ( )  ( ) ( ) a ( b c b c ) b ( a c a c )i a (b c ) b (a c )i f c a b a b c a b a b i a b c b c b a c a c i x x x y y z z x x x y y z z x x x y x y y x z z x x z x y y z z x y y z z          = + + − + + =  −  = − − − = + − + b c a c 6

矢量分析 ·同样计算可得：方，=4,6·c-b,(ac 手=a.6-c)-b.(ack ·三矢量矢积公式： f=f+f,+厅 =cx(axB)=(c.ba-(c.a)b ·记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘然后再与第 三矢量相乘后求积. 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 7

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 同样计算可得： • 三矢量矢积公式： • 记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘然后再与第 三矢量相乘后求积. c (a b ) (c b)a (c a)b f f f f x y z              =   =  −  = + +  ( ) ( ) f a (b c ) b (a c )k f a b c b a c j z z z y y y             =  −  =  −  7

矢量分析 ·矢量函数的极限和连续性 a(t)=a,(1)i+a,(1)j+a.(tk lim u(t)a(t)=lim u(t)lim a(t) -→t0 mla)士b(0]=mat±mb(0 t→t (()im) ml(0)×b(0=ma0×m60 t>t 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 8

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的极限和连续性 ( ) ( ) ( ) ( )     lim  ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim (t) ( ) lim (t)lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t u a t u a t a t a t i a t j a t k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t x y z                   → → → → → → → → → → → →  =   =   =  = = + + 8

矢量分析 ·矢性函数的导数、微分、积分 a(t)=a,(t)i+a,(t)j+a.()k dal0_da,@i+da,①j+da@元 dt dt dt dt da(t)=da,(1)i+da,(1)j+da.(t)k ∫att=a,)ut+∫a,dr+∫a. - 导矢在该处的切线上，其方向为增大的方向， - 导矢在几何上为一切向矢量。 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 9

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢性函数的导数、微分、积分 – 导矢在该处的切线上，其方向为t增大的方向， – 导矢在几何上为一切向矢量。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = + + = + + = + + = + + a t t a t t a t t a t t a t a t i a t j a t k k t a t j t a t i t a t t a t a t a t i a t j a t k x y z x y z x y z x y z d d d d d d d d d d d d d d d d              9

矢量分析 ·矢量函数的导数公式 dc=0,(为常矢到 db (① (6) d (axB)= d dt axb+ax d dt da±6) (2 da,db (7)若ā=a(u),而u=(t),则有 dada du dt dt dt du dt 如(5)的证明： d (a)=k da (k为常量) dt dt dla-B)=im △a.b dt 1→0 △t (4 d-(ua= du da a+u dt di (a+△a)6+△b)-a.b lim △1→0 △t (a.6)= da db dt dt dt a:△b+△a.b+△a:△b-db,d lim a .b 八130 △t dt dt 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 10

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的导数公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t a t a a t t a a u t u ua t k t a ka k t t t a a t c t c d db b d d b d d (5) d d d d d d (4) d d d d (3) d db d d b d d (2) 0, d d (1)                   =  +  = + =  = + = 为常量 为常矢量 ( ) t u u a t a a a u u u t t a t a a t d d d d d d (7) ( ), ( ) d db b d d b d d (6)           = = =  =  +  若 而 ，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) b t b t b a t a b a b a b t a a b b a b t a b t a b t t t                     =  +    +   +   =  +   +  −  =    =   →  →  → d d d d lim lim lim d d (5) 0 0 0 如 的证明： 10