《光学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 光的衍射

第二章 光的衍射 波动具有两大特性：干涉、衍射。现在我们 根据光的衍射现象和实验事实进一步提示光的 波动性。说明衍射是光在空间或物质中传播的 基本方式。同时也介绍衍射现象的几种重要应 用

第二章 光的衍射 波动具有两大特性：干涉、 衍射。现在我们 根据光的衍射现象和实验事实进一步提示光的 波动性。说明衍射是光在空间或物质中传播的 基本方式。同时也介绍衍射现象的几种重要应 用

§2一1光的衍射现象 (C) d」 图2-1 ·光的干涉现象是几束光相互叠加的结果，让一束光通过狭缝投射在屏 上。在影的中央，应该是最暗的地方，实际观察到的却是亮的。光通 过狭缝，甚至经过任何物体的边缘，在不同程度上都有类似的情况。 这种光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光 强不均匀的分布现象，叫做光的衍射。 衍射现象的出现与否，主要决定于障碍物线度和波长大小的对比， 只 有在障碍物线度和波长可以比拟时，衍射现象才明显地表现出来

§2—1 光的衍射现象 图2-1 ⚫ 光的干涉现象是几束光相互叠加的结果，让一束光通过狭缝投射在屏 上。在影的中央，应该是最暗的地方，实际观察到的却是亮的。光通 过狭缝，甚至经过任何物体的边缘，在不同程度上都有类似的情况。 这种光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光 强不均匀的分布现象，叫做光的衍射。 ⚫ 衍射现象的出现与否，主要决定于障碍物线度和波长大小的对比，只 有在障碍物线度和波长可以比拟时，衍射现象才明显地表现出来

§2-2 惠更斯一菲涅耳原理 一、 惠更斯原理： 在研究波的传播时，总可以找到同位相各点的见何位置，这些点的轨 迹是等相面，叫做波面。惠更斯曾提出次波的假设来阐述波的传播现 象，从而建立了惠更斯原理：任何时刻波面上的每一点都可以作为次 波的波源，各自发出球面次波：在其后的任何时刻，所有这些次波波 面的保络面形成整个波在该时刻的新波面。 根据这个原理，可以从某一时刻已知的波面位置，求出另一时刻波面 的位置。可以解释光的直线传播、反射、折射，还可解释晶体的双折 射现象。但有倒退波的存在，也不能说明有明暗相间条纹的出现。 二、菲涅耳对惠更斯原理的改进 菲涅耳根据惠更斯的“次波”假设，补充了描述次波的基本特征 位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干叠加”的原理，从而 发展成为惠更斯一菲涅耳原理。这个原理的内容表述如下：

§2—2 惠更斯—菲涅耳原理 一、惠更斯原理： ⚫ 在研究波的传播时，总可以找到同位相各点的几何位置，这些点的轨 迹是等相面，叫做波面。惠更斯曾提出次波的假设来阐述波的传播现 象，从而建立了惠更斯原理：任何时刻波面上的每一点都可以作为次 波的波源，各自发出球面次波；在其后的任何时刻，所有这些次波波 面的保络面形成整个波在该时刻的新波面。 ⚫ 根据这个原理，可以从某一时刻已知的波面位置，求出另一时刻波面 的位置。可以解释光的直线传播、反射、折射，还可解释晶体的双折 射现象。但有倒退波的存在，也不能说明有明暗相间条纹的出现。 二、菲涅耳对惠更斯原理的改进 ⚫ 菲涅耳根据惠更斯的“次波”假设，补充了描述次波的基本特征—— 位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干叠加”的原理，从而 发展成为惠更斯—菲涅耳原理。这个原理的内容表述如下：

波面s上每个面积元s都可以看成新的波源，它们均发出次波，波面前方空 间某一点的振动可以由s面上所有面积元发出的次波在该点叠加后的合振 幅来表示。面积元ds所发出的各次波的振幅和位相符合下列四个假设： dS 图2-2 (1)波面是一个等位相面，因而可以认为ds面上各点所发出的所有次波 都有相同的初位相（可令0=0 (2) 次波在p点处所引起的振动的振幅与r成反比，这相当于表明次波是 球面波。 (3) 从面积元ds所发次波在p点处的振幅正比于d的面积，且与倾角有 关，振幅随的增大而减小。 2π (4) 次波在p点处的位相由光程△=泳定( =

⚫ 波面s上每个面积元ds都可以看成新的波源，它们均发出次波，波面前方空 间某一点p的振动可以由s面上所有面积元发出的次波在该点叠加后的合振 幅来表示。面积元ds所发出的各次波的振幅和位相符合下列四个假设： 图2-2 (1) 波面是一个等位相面，因而可以认为ds面上各点所发出的所有次波 都有相同的初位相（可令 ） (2) 次波在p点处所引起的振动的振幅与r成反比，这相当于表明次波是 球面波。 (3) 从面积元ds所发次波在p点处的振幅正比于ds的面积，且与倾角θ有 关，振幅随θ的增大而减小。 (4) 次波在p点处的位相由光程 决定（ ）  = 0  = nr =     2

根据以上的假设，可知面积ds发出的次波在p点的振动可表示为 dk=c (θ) cos(kr-@t)ds K(随角增大而缓慢减小 如果波面上的各点振幅有一定的分布，分布函数为A(Q) 则： dE= K(Θ)A(Q -cos(kr-ot)ds 波面s在p点所产生的合振动为 E=ah-cK,O2caw-a 或 c()ds ,上式称为菲涅耳衍射积分，一般来说计算此积分式是相当复杂的，但 在波面对于通过点的波面法线具有旋转对称性的情况下，积分就比 较简单，可用代数加法或矢量加法来代替积分

根据以上的假设，可知面积ds发出的次波在p点的振动可表示为 随θ角增大而缓慢减小 如果波面上的各点振幅有一定的分布，分布函数为 ， 则： 波面s在p点所产生的合振动为 或 ⚫ 上式称为菲涅耳衍射积分，一般来说计算此积分式是相当复杂的，但 在波面对于通过p点的波面法线具有旋转对称性的情况下，积分就比 较简单，可用代数加法或矢量加法来代替积分。 k r t ds r K dE c cos( ) ( )   = − K( ) A(Q) k r t ds r K A Q dE c cos( ) ( ) ( ) −   =   = = − s s k r t ds r K A Q E dE c cos( ) ( ) ( )    − = s i kr t ds r K A Q E c ( ) ( ) ( )  

菲涅耳衍射：障碍物离光源和考察点的距离都是有限的，或其中 之一的距离是有限的。也称近场衍射。 夫琅和费衍射：光源和考察点到障碍物的距离可以认为是无限远， 即实际上使用的是平行光束，又称远场衍射。较菲涅耳衍射更为 重要。 §2一3菲涅耳半波带 一.菲涅耳半波带 现以点光源为例说明惠一菲原理的应用。确定光波到达对称轴上 任一P点时波面S所起的作用。B称为P点对于波面的极点

⚫ 菲涅耳衍射：障碍物离光源和考察点的距离都是有限的，或其中 之一的距离是有限的。也称近场衍射。 ⚫ 夫琅和费衍射：光源和考察点到障碍物的距离可以认为是无限远， 即实际上使用的是平行光束，又称远场衍射。较菲涅耳衍射更为 重要。 §2—3 菲涅耳半波带 一. 菲涅耳半波带 ⚫ 现以点光源为例说明惠—菲原理的应用。确定光波到达对称轴上 任一P点时波面S所起的作用。 B0 称为P点对于波面的极点

R,=rn+?(a/2) r3=r6+3X12) P R Bo T o =r。十(i2) 图2-3 o令PB。=r0 设想将波面分为许多环形带，使由每两个相邻带的边缘到P 点的距离相差为半波长，即， B.P-BoP=B:P-BP=B.P-B:P=.BkP-BkaP=4 在这种情况下，由任何两个相邻带的对应部分所发的次波 到达P点时的光程差为亦即它们以相反的位相同时到 达P点。这样分成的环形带叫做菲涅耳半波带

图2-3 ⚫ 令 设想将波面分为许多环形带，使由每两个相邻带的边缘到P 点的距离相差为半波长，即， ⚫ 在这种情况下，由任何两个相邻带的对应部分所发的次波 到达P点时的光程差为 ，亦即它们以相反的位相同时到 达P点。这样分成的环形带叫做菲涅耳半波带。 0 0 PB = r 2 1 0 2 1 3 2 1  B P − B P = B P − B P = B P − B P =BK P − BK− P = 2 

二、合振幅的计算 以a1,a2·,窈别表示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅，k 个半波带所发次波到达P点时叠加的结果，其合振幅为Ak A4=a41-a2+a3-a4+a5+t(-l）+ak R 图2-4

二、合振幅的计算 ⚫ 以 分别表示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅，k 个半波带所发次波到达P点时叠加的结果，其合振幅 为 a a ak , , 1 2  Ak k k Ak a a a a a a 1 1 2 3 4 5 ( 1) + = − + − + ++ − 图2-4

按惠一菲原理： ak ok(0k) △S △S 为了计算 我们看下面的球冠，其面积为 S=2R.R(1-cos)=2R2 (1-cos) 而 R2+(R+)2- cOS= 2R(R+%) 将上列两式分别微分，得 ds=2πR2 sin od0 rdr sin od R(R+To) 则 ds 2πR R+ro

按惠—菲原理： 为了计算 ，我们看下面的球冠，其面积为 而 将上列两式分别微分，得 则 k k k k r S a k   ( ) k k r S 2 (1 cos ) 2 (1 cos ) 2 S = R  R −  = R −  2 ( ) ( ) cos 0 2 2 0 2 R R r R R r rk + + + −  = ( ) sin 2 sin 0 2 R R r r dr d ds R d k k + = =      k k dr R r R r ds 0 2 + = 

△SE R入 0 因为r>入可将视作2而ds即为半波带的面积，于是 △S r R+ro 由此可知 与无关。即它对每个半波带都是相同的。影响 本小的因 素中只剩下倾斜因子k(⊙)从一个半波带到邻近一个半波带， 的数值变 化甚微，因而k)随的增加而缓慢地减小。 4.=+-)"a小2a±a〉 奇数时取正号，偶数时取负号。 0 1 图2-5

⚫ 因为 ，可将 视作 ，而ds即为半波带的面积，于是 由此可知 与k无关。即它对每个半波带都是相同的。影响 大小的因 素中只剩下倾斜因子 ，从一个半波带到邻近一个半波带， 的数值变 化甚微，因而 和 随k的增加而缓慢地减小。 奇数时取正号，偶数时取负号。 rk   drk 2  0 R r R r S k k + =    k k r S Ak ( ) k k  k ( ) k k  ak   ( ) 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 k k k Ak = a + − a = a  a + 图2-5