《光学》课程授课教案（讲义）绪论

绪论 1、光的本性 据统计，人类感官收到外部世界的总信息中，至少有90%以上是通过眼睛。与天文、几 何、力学一样，是一门古老的科学。十七世纪开始，探讨光的本性（光是什么） (1)光线模型 (2)微粒模型（牛顿）： 光按惯性定律沿直线飞行的微粒流。 折射：水中速度比空气中大，科技落后，无法用实验鉴别。 (3)波动模型 惠更斯：光是纵波 一种特殊弹性媒质中传稀的机械波可解释反射、折射。 十九世纪初，托马斯·杨的双缝实验，菲涅耳在惠更斯基础上的理论，推动波动 理论的发展。 A、解释干、衍 B、初步确定波长 C、由光的偏振→光是横波 D、由波理，光在水中速度小于空气中，1862年付科证实，十九世纪中叶，波战 胜微。 惠一菲旧波动理论与微粒理论： 弱点：它们都带有机械论色彩，光现象为某种机械运动过程，光为弹性波，传播 借助某种理想的特殊的弹性媒质（以太）充满空间因光速大，所以认为以太（一 种极其矛盾的属性)密度极小，弹性模量极大。实验上无法证实，理论上显得 荒唐。 (4)最子模型 麦克斯韦：磁理论 主要是光的传播，很少涉及发射、吸收、光与物质相互作用尚未研究。 两朵乌云 (5)光的波粒二象性 “粒子”与“波动”都是经典理论的概念。 近代科学实践证明，光是十分复杂的客体。对它的本性问题，只能用它所表现的性质 和规律来回答，光的某些方面的行为象经典的“波动”，另一方面的行为却象经典“粒 子”，这就是所谓“光的波粒二象性”，任何经典概念都不能完全概括光的本性。 2、光这的研究对象、分支 (1)光学：研究光的传播以及它与物质相互作用的问题，不涉及光的发射、吸收与物

绪 论 1、光的本性 据统计，人类感官收到外部世界的总信息中，至少有 90%以上是通过眼睛。与天文、几 何、力学一样，是一门古老的科学。十七世纪开始，探讨光的本性（光是什么） （1）光线模型； （2）微粒模型（牛顿）： 光按惯性定律沿直线飞行的微粒流。 折射：水中速度比空气中大，科技落后，无法用实验鉴别。 （3）波动模型 惠更斯：光是纵波 一种特殊弹性媒质中传稀的机械波可解释反射、折射。 十九世纪初，托马斯 杨的双缝实验，菲涅耳在惠更斯基础上的理论，推动波动 理论的发展。 A、解释干、衍 B、初步确定波长 C、由光的偏振光是横波 D、由波理，光在水中速度小于空气中，1862 年付科证实，十九世纪中叶，波战 胜微。 惠—菲旧波动理论与微粒理论： 弱点：它们都带有机械论色彩，光现象为某种机械运动过程，光为弹性波，传播 借助某种理想的特殊的弹性媒质（以太）充满空间因光速大，所以认为以太（一 种极其矛盾的属性）密度极小，弹性模量极大。实验上无法证实，理论上显得 荒唐。 （4）量子模型 麦克斯韦：磁理论 主要是光的传播，很少涉及发射、吸收、光与物质相互作用尚未研究。 两朵乌云 （5）光的波粒二象性 “粒子”与“波动”都是经典理论的概念。 近代科学实践证明，光是十分复杂的客体。对它的本性问题，只能用它所表现的性质 和规律来回答，光的某些方面的行为象经典的“波动”，另一方面的行为却象经典“粒 子”，这就是所谓“光的波粒二象性”，任何经典概念都不能完全概括光的本性。 2、光这的研究对象、分支 （1）光学：研究光的传播以及它与物质相互作用的问题，不涉及光的发射、吸收与物

质相互作用的微观机制。 在传统上分为两部分： A、几何光学：波长可视为极短，波动效应不明显，把光的能量看成是沿者一根根光 线传播的遵循反、折、直进等定律。 B、波动光学：研究光的干、衍、偏。 光与物质相互作用的问题，通常是在分子或原子的尺度上研究的。有时可用经 典理论，有时又需要量子理论，这不属传统光学的内容，冠以“分子光学”、“量 子光学”等。 3、现代光学的发展 (1)激光技术。特点：强度大、单色性发好，方向性强。 (2)全息摄影 (3)光学纤维：新型光学元件，用于光通讯、抗干扰力强，便于保密 (4)信息光学 (5)非线性光学 4、光源和光谱 光源：任何发光物 实验中特殊光源：电弧、气体辉光放电管。光发射的分类： (I)热辐射。在一定温度下处于热平衡状态下物体的辐射，叫热（温度）辐射 太阳、白炽灯 (2)光的非热发射 A、电致发光、日光灯、水银灯：气体放电管的发光靠电场补给能量。 B、荧光：示波管、电视显象管的荧光屏。某些物体在放射线、x射线、红外线 可见光或电子束的照射轰击下，可发出可见光（荧光） C、磷光：有的物质在上述各种射线的辐射后，可以在一段时间内持续发光。如： 夜光表 D、化学发光。腐物中的磷在空中缓慢氧化发生的光，“鬼火”。 E、生物体的发光叫生物发光。 荧火虫：特殊类型的化学发光过程 5、光的电磁理论 光的强度指单位面积上的平均光功率，光的平均能流密度。 S=ExH E⊥H Eor E=HoM,H 坡印廷矢量的瞬时值

1 质相互作用的微观机制。 在传统上分为两部分： A、几何光学：波长可视为极短，波动效应不明显，把光的能量看成是沿着一根根光 线传播的遵循反、折、直进等定律。 B、波动光学：研究光的干、衍、偏。 光与物质相互作用的问题，通常是在分子或原子的尺度上研究的。有时可用经 典理论，有时又需要量子理论，这不属传统光学的内容，冠以“分子光学”、“量 子光学”等。 3、现代光学的发展 （1）激光技术。特点：强度大、单色性发好，方向性强。 （2）全息摄影 （3）光学纤维：新型光学元件，用于光通讯、抗干扰力强，便于保密。 （4）信息光学 （5）非线性光学 4、光源和光谱 光源：任何发光物 实验中特殊光源：电弧、气体辉光放电管。光发射的分类： （1）热辐射。在一定温度下处于热平衡状态下物体的辐射，叫热（温度）辐射。 太阳、白炽灯 （2）光的非热发射 A、电致发光、日光灯、水银灯；气体放电管的发光靠电场补给能量。 B、荧光：示波管、电视显象管的荧光屏。某些物体在放射线、 x 射线、红外线、 可见光或电子束的照射轰击下，可发出可见光（荧光） C、磷光：有的物质在上述各种射线的辐射后，可以在一段时间内持续发光。如： 夜光表 D、化学发光。腐物中的磷在空中缓慢氧化发生的光，“鬼火”。 E、生物体的发光叫生物发光。 荧火虫：特殊类型的化学发光过程。 5、光的电磁理论 光的强度指单位面积上的平均光功率，光的平均能流密度。 r E H S E H E H o r       0 坡印廷矢量的瞬时值

s=Ex列=臣 V"4, 在光频阶段，所有磁化机制对人眼（或感光你器）都不起作用，即4，=1 ·n=V8,4,=E c4。 1 C=- B4。 对简谐振动，平均值F=)号 E为振幅 1=5=x时 人眼比较光的相对强度 在比较不同媒质里的光强时，比例系数有与媒质有关的量 6、光 单色光：单一波长的光 复合光：许多波长的光混合在一起 用棱镜或其他分光器对各种普遍光源的光分析，发现大多不是单色光。 例：太阳光（复合光），连续光谱 4000A~7600A 令d代表波长在~2+d之间的光强 =婴 代表单位波长区间的光强，非单色光的()按波长分布，叫光谱。 (2):谱密度 1=∫dl2=∫iadn 连续谱 线光谱 太阳光 原子发光 △：谱线宽度 △☑越小，单色性越好

2 2 S E H E o r o r        在光频阶段，所有磁化机制对人眼（或感光你器）都不起作用，即 1  r n c C v E c n S nE n o o r o r r r r        1 2 2         对简谐振动，平均值 2 0 2 2 1 E  E E0 为振幅 2 0 2 0 2 E E c n I S o      人眼比较光的相对强度 2 E0 I  在比较不同媒质里的光强时，比例系数有与媒质有关的量 n 6、光谱 单色光：单一波长的光 复合光：许多波长的光混合在一起 用棱镜或其他分光器对各种普遍光源的光分析，发现大多不是单色光。 例：太阳光（复合光），连续光谱  C 4000A ~ 7600A V    令 dI 代表波长在 ~   d 之间的光强    d dI i( )  代表单位波长区间的光强，非单色光的i() 按波长分布，叫光谱。 i() ：谱密度       0 0 I dI  i()d 连续谱 线光谱 太阳光 原子发光  ：谱线宽度  越小，单色性越好

复习简谐振动与简谐波 §0一1简谐振动 一、振动 振动任一物理量（如位移、电流等）在某一数值附近反复变化。振动是一种重要的运动 形式 机械振动位移x随时间1的往复变化 二、筒谐振 定义：物体沿一直线运动时，如果离开平衡位置的位移按余弦（或正弦）规律随 反复变化，这样的振动称作简谐振动。简谐振动的运动学方程：)-Acos(+) 动力学定义：物体在线性恢复力（力和位移成正比而反向，具有F=一：的形式）作用 下所作的运动，称作简诺长动，商诗表动的动力学方程一宁心：0 三、简谐振动的特征量 振幅A:最大位移的绝对值。 周期T:振动一次所需时间 频率单位时间内的振动次数。y=1T(单位：五。 圆频率（角频率）：2秒内的振动次数。o=2πy=2T(单位：rads或1/s). 固有圆频率：简谐振动的圆频率决定于振动系统的自身的性质，称为固有圆频率。 弹簧振子：0=单摆：0= 相位：1时刻的相位为（似+p,它是反映1时刻的振动状态(x、a)的物理量 初相：1=0时刻的相位(0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻)， 它反映1=0时刻的振动状态(xo,Vo)。 相位差：两相位之差。△p=(+)-(m+0)。 对两个同频率的简谐振动，相位差等于初相差。△口=~1 当△=2k,(k=0,12,.,两振动步调相同，称同相 当△=2k+1)x,(《0,12,),两振动步调相反，称反相 若△p=m>0,称2比x1领先（或x1比x落后）。 四、简谐振动的描述方法 1.解析法 振动方程：x=Ac0s(oM+列 0=2 2.图像法 在x一坐标系中绘出的振动图像可以描述简谐振动的运动情 况，如图1所示 3.旋转矢最法 矢量长度为A,以o为角速度绕0点逆时针旋转：1=0 1= 时矢量与x轴的夹角为：矢量端点在x轴上的投彩作简诺 振动，如图2所示。 o-p x=Acos(o1+) 图2

3 复习 简谐振动与简谐波 §0—1 简谐振动 一、振动 振动 任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。振动是一种重要的运动 形式。 机械振动 位移 x 随时间 t 的往复变化； 二、简谐振动 运动学定义：物体沿一直线运动时,如果离开平衡位置的位移按余弦(或正弦)规律随 t 反复变化，这样的振动称作简谐振动。简谐振动的运动学方程：x(t)=Acos(t + ) 动力学定义：物体在线性恢复力（力和位移成正比而反向，具有 F =−kx 的形式）作用 下所作的运动，称作简谐振动。简谐振动的动力学方程： 0 2 2 2   x  dt d x  三、简谐振动的特征量 振幅 A：最大位移的绝对值。 周期 T：振动一次所需时间。 频率ν：单位时间内的振动次数。ν 1/T （单位：Hz）。 圆频率(角频率)：2秒内的振动次数。 = 2ν =2/T (单位：rad/s 或 1/s)。 固有圆频率：简谐振动的圆频率决定于振动系统的自身的性质，称为固有圆频率。 弹簧振子： m   k ； 单摆： l g   。 相位：t 时刻的相位为(t + )，它是反映 t 时刻的振动状态（x、v、a ）的物理量。 初相：t = 0 时刻的相位(t=0 称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻)， 它反映 t = 0 时刻的振动状态(x0 , v 0 )。 相位差：两相位之差。 = (t +2) - (t +1)。 对两个同频率的简谐振动，相位差等于初相差。 = 2 - 1。 当 = 2k，( k= 0,1,2,.)，两振动步调相同，称同相。 当 =(2k+1)，(k=0,1,2,.)，两振动步调相反，称反相。 若 = 2-1 >0，称 x2 比 x1 领先（或 x1 比 x2 落后）。 四、简谐振动的描述方法 1.解析法 振动方程：x = Acos(t +) 2.图像法 在 x—t 坐标系中绘出的振动图像可以描述简谐振动的运动情 况，如图 1 所示。 3.旋转矢量法 矢量长度为 A，以为角速度绕 O 点逆时针旋转；t = 0 时矢量与 x 轴的夹角为 ；矢量端点在 x 轴上的投影作简谐 振动，如图 2 所示。 图 1 o A -A t x  = /2 T 图 2  t+ O x x t = t t = 0  x = A cos( t + )

五、简谐振动系统的能量 动能：6=m2=4sin(ou+p) 势能：En=5mx2=Mcos2(oM+p 动能和势能的最大值：E=E,ax= 动能和势能的最小值：Em=En=0 动能和势能的平均值：E=E。=kM 机械能：E=E+E,= 简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入（因是自由振动），也无损耗（因无阻尼），各 时刻的机械能均等于起始能量。 六、同方向同频率的简谐振动的合成 物体同时参与两简谐振动x=A1cos(+p,x=A2cos(+,则物体的合振动为：x= A=V++244c0s@,-0) 两种特殊情况 (1)若两分振动同相，-m=±2kπ(-0,12，)，则4=4+4，两分振动相互加强。 (2)若两分振动反相，-p1=士2k+1)π(《0,1,2，.，则AH41-A,两分振动相互减弱。 如果A1=A2,则A=0, §0一2平面简谐波 一、波的类型 1.按介质质点的运动方向与波动传播方向来分一横波和纵波 横波(transverse wave):质点的振动方向与波的传播方向垂直。 纵波(longitadinal wave):质点的振动方向与波的传播方向平行 2.按波的波前来分一平面波、球面波、柱面波 为了形象地描述波在空间的传播情况，通常沿波的传播方向作一些带箭头的线，称为波 线(wave ray),波线的指向表示波的传播方向：在同一时刻，波动传播到的空间各点构成 的曲面称为波振面或波面(wave surface),显然同一波面上各点的相位是相同的。最前面的 波面称为波前(vave front)。因此，在任何时刻，波前只有一个。在各向同性介质中，波线 恒与波面垂直。 平面波：波前为平面一plane wave: 球面波：波前为球面，由点波源产生一-spherical wave: 4

4 五、简谐振动系统的能量 动能： sin ( ) 2 1 2 1 2 2 2 Ek  mv  kA t  势能： cos ( ) 2 1 2 1 2 2 2 Ep  mx  kA t  动能和势能的最大值： 2 max max 2 1 Ek  Ep  kA 动能和势能的最小值： 0 Ek min  Ep min  动能和势能的平均值： 2 4 1 Ek  Ep  kA 机械能： 2 2 1 E  Ek  Ep  kA 简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入（因是自由振动），也无损耗（因无阻尼），各 时刻的机械能均等于起始能量。 六、同方向同频率的简谐振动的合成 物体同时参与两简谐振动 x1=A1cos(t+1)，x2=A2cos(t+2)，则物体的合振动为：x = x1+x2 =A cos( t+ ) 合振动也是简谐振动，其角频率仍为 ，振幅和初相为： 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A  A1  A  A A   1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin tg      A A A A    两种特殊情况 （1）若两分振动同相，21 = 2k (k=0,1,2,.)，则 A=A1+A2， 两分振动相互加强。 （2）若两分振动反相，21=(2k+1) (k=0,1,2,.)，则 A=|A1-A2|，两分振动相互减弱。 如果 A1=A2， 则 A = 0。 §0—2 平面简谐波 一、波的类型 1．按介质质点的运动方向与波动传播方向来分——横波和纵波 横波（transverse wave）：质点的振动方向与波的传播方向垂直。 纵波（longitadinal wave）：质点的振动方向与波的传播方向平行。 2．按波的波前来分——平面波、球面波、柱面波 为了形象地描述波在空间的传播情况，通常沿波的传播方向作一些带箭头的线，称为波 线（wave ray），波线的指向表示波的传播方向；在同一时刻，波动传播到的空间各点构成 的曲面称为波振面或波面（wave surface），显然同一波面上各点的相位是相同的。最前面的 波面称为波前（wave front）。因此，在任何时刻，波前只有一个。在各向同性介质中，波线 恒与波面垂直。 平面波：波前为平面—plane wave； 球面波：波前为球面，由点波源产生—spherical wave；

柱面波：波前为柱面，由线状波源产生。 3.按波动的传播来分一行波和驻波 行波(traveling wave):振动状态或振动能量由波源向外传播的波： 驻波：由同一直线上沿相反方向传播的两列振动方向相同、振幅相同、频率相同、相位 相同或相位差恒定的波叠加而成。驻波没有振动状态和能量的传播 4.按波动的明显的物理性质来分一光波、声波、水波等 5.按传播波动的质点的行为来分- —脉冲波、周期波等。 二、描述波动的物理量—波长、周期与频率、波速 1.波长(wavelength) 反映波动的空间周期性 定义：同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距离。 说明： ·波长可形象地想象为一个完整的波”的长度： ·横波：相邻两个波蜂或波谷之间的距离 纵波：相邻两个密部或疏部之间的距离 2.周期(periodic)与频率(frequency) -反映波动的时间周期性 定义：波传播一个波长所需要的时间，叫周期，用T表示。 颜率：周期的倒数叫做频率，用v表示 =1/T 即波动在单位时间内前进的距离中所包含的完整的波的数目。 说明：由于波源作一次完全的振动，波就前进一个波长的距离，因而 (1)波的周期等于波源振动的周期： (2)波被的周期只与振源有关，而与传播介质无关。 3.波速(vave velocity)一描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量 定义：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内所传播的距离。由于振动状态的传播也就 是相位的传播，因而这里的波速也称为相速(phase velocity)。 u=A/T=Av 【讨论】 (1)上式是波速、波长和频率之间的基本关系式，对各种波都适用： (2)频率反映了振动在时间上的周期性，波长反映了振动在空间上的周期性，上式把两种 周期性联系起来： 三、平面简谐波的波动表达式 1.什么是平面简谐波？ 问题：如何定量描述一个波函数，能够表示任一质点在任一时刻的位移。 研究内容：由于一般的波动过程是比较复杂的，我们只讨论最简单的情况，即波源作简 谱振动，因而波动所到之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为平面简谐波，或称为 简谐波，这是一种最简单最基本的行波。平面简谐波的波前为平面。 5

5 柱面波：波前为柱面，由线状波源产生。 3．按波动的传播来分——行波和驻波 行波（traveling wave）：振动状态或振动能量由波源向外传播的波； 驻波：由同一直线上沿相反方向传播的两列振动方向相同、振幅相同、频率相同、相位 相同或相位差恒定的波叠加而成。驻波没有振动状态和能量的传播。 4．按波动的明显的物理性质来分——光波、声波、水波等 5．按传播波动的质点的行为来分——脉冲波、周期波等。 二、描述波动的物理量——波长、周期与频率、波速 1．波长（wavelength）λ——反映波动的空间周期性 定义：同一波线上两个相邻的、相位差为 2π 的振动质点之间的距离。 说明：  波长可形象地想象为一个完整的“波”的长度；  横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离 纵波：相邻两个密部或疏部之间的距离 2．周期（periodic）与频率（frequency）——反映波动的时间周期性 定义：波传播一个波长所需要的时间，叫周期，用T 表示。 频率：周期的倒数叫做频率，用 ν 表示 ν=1/T 即波动在单位时间内前进的距离中所包含的完整的波的数目。 说明：由于波源作一次完全的振动，波就前进一个波长的距离，因而 （1）波的周期等于波源振动的周期； （2）波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。 3．波速（wave velocity）u——描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量 定义：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内所传播的距离。由于振动状态的传播也就 是相位的传播，因而这里的波速也称为相速（phase velocity）。 u   /T   【讨论】： （1）上式是波速、波长和频率之间的基本关系式，对各种波都适用； （2）频率反映了振动在时间上的周期性，波长反映了振动在空间上的周期性，上式把两种 周期性联系起来； 三、平面简谐波的波动表达式 1．什么是平面简谐波？ 问题：如何定量描述一个波函数，能够表示任一质点在任一时刻的位移。 研究内容：由于一般的波动过程是比较复杂的，我们只讨论最简单的情况，即波源作简 谐振动，因而波动所到之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为平面简谐波，或称为 简谐波，这是一种最简单最基本的行波。平面简谐波的波前为平面。 x y o λ

意义：任何复杂的波动都可以看成由许多简谐波叠加而成，因而研究简谐波的规律有重 要的意义。 严格的简谐波只是一种理想化的模型。它不仅具有单一的频率相振幅而且必须在空间和 时间上都是无限延展的，所以严格的简谐波是无法实现的。 任何非简谐的复杂的波，部可看成是由若干个频率不同的简谐波叠加而成的。下图所示 的，就是由频率和振幅各不相同的多个简谐波叠加成锯齿波的情形。因此，研究简谐波仍具 有特别重要的意义 3.平面简谐波的波动表达式 假定平面简谐波在理想的、不吸收传播的振动能量的均匀无限大介质中传播，则所有波 线上波动的传播情况都相同，因此在任一条波线上的波都能够代表整个介质中的波动。 由于波场中任一质点都是在相邻的前一质点的带动下而振动的，同时它又将带动后面的 质点进行振动。它从前一质点接受能量，又把能量传给下一质点。因而波场中的任一质点都 是在作受迫振动，而受迫振动的稳态解为“准谐振动”，其振动频率为驱动力的频率，由此可 见，波场中任一质点的振动频率等于波源的频率。 建立波动方程的方法： ●写出某质点的振动方程 ·求出任意质点相对于该质点的相位差： ·写出波动方程。 设平面简谐波以波速“沿X轴正方向传播，X轴与平面简谐波的一条波线重合，各个 质点的平衡位置都在X轴上。设X轴原点O处的质点的振动方程为 1y。=Acosot 对于X轴上任一点Px),当振动从O点传到P点时，P处质点将重复O点的振动，但 是在时间上要落后一仙，或者说P处振动的相位要比O处的相位落后r。因此在时刻， P处的相位应为o1-or,相应的位移为 该方程反映了质点P在任一时刻相对于平衡位置的位移，考虑P点的任一性，可得平 面简谐波的波函数为 应用u=子业和0=2-。该方程又可以表示为以下形式 y=os2r专-》 =Acs2r-别

6 意义：任何复杂的波动都可以看成由许多简谐波叠加而成，因而研究简谐波的规律有重 要的意义。 严格的简谐波只是一种理想化的模型。它不仅具有单一的频率相振幅而且必须在空间和 时间上都是无限延展的，所以严格的简谐波是无法实现的。 任何非简谐的复杂的波，部可看成是由若干个频率不同的简谐波叠加而成的。下图所示 的，就是由频率和振幅各不相同的多个简谐波叠加成锯齿波的情形。因此，研究简谐波仍具 有特别重要的意义。 3．平面简谐波的波动表达式 假定平面简谐波在理想的、不吸收传播的振动能量的均匀无限大介质中传播，则所有波 线上波动的传播情况都相同，因此在任一条波线上的波都能够代表整个介质中的波动。 由于波场中任一质点都是在相邻的前一质点的带动下而振动的，同时它又将带动后面的 质点进行振动。它从前一质点接受能量，又把能量传给下一质点。因而波场中的任一质点都 是在作受迫振动，而受迫振动的稳态解为“准谐振动”，其振动频率为驱动力的频率，由此可 见，波场中任一质点的振动频率等于波源的频率。 建立波动方程的方法：  写出某质点的振动方程；  求出任意质点相对于该质点的相位差；  写出波动方程。 设平面简谐波以波速 u 沿 X 轴正方向传播，X 轴与平面简谐波的一条波线重合，各个 质点的平衡位置都在 X 轴上。设 X 轴原点 O 处的质点的振动方程为 y Acost 0  对于 X 轴上任一点 P(x)，当振动从 O 点传到 P 点时，P 处质点将重复 O 点的振动，但 是在时间上要落后 τ=x/u，或者说 P 处振动的相位要比 O 处的相位落后 ωτ。因此在时刻 t， P 处的相位应为 ωt-ωτ，相应的位移为          u x y A t A t P cos  － ＝ cos － 该方程反映了质点 P 在任一时刻相对于平衡位置的位移，考虑 P 点的任一性，可得平 面简谐波的波函数为       u x y＝Acos t－ 应用    T u 和 T    2  2  ，该方程又可以表示为以下形式         x T t y＝Acos 2 －          x y＝Acos 2 t－

若0处质点的振动初相位为Q,则相应的波函数为 =c-p】 可见波动中质点的位移y是位置x和时间：的二元函数。 注：沿X轴负方向传播的平面简谐波的表达式 P点的相位比O点的相位超前，因而波函数为 y=o+4os2+}4s2r+别 结论：写出平面简谐波的表达式的关键是写出波形上任一点的振动的相位比已知点的振动是 超前还是落后。这个结论对于横波和纵波都是成立的。 四、波动表达式的物理意义 1.x一定，则位移仅是时间的函数，对于x=,则 y=4eom-2m） 该方程表示的是处的质点的振动方程。即x处的质点的振动情况一该质点在平衡 位置附近以▣作简谐振动。 它表达了距离坐标原点为处的质点的振动规律（独舞），不同 的，相应的振动初相位不同。 2.1一定，则位移仅是坐标的函数，对于，则 该方程表示的是1时刻各质点相对于平衡位置的位移。即在，时刻波线上所有质点的 振动情况 一各个质点相对于各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。 即在某一瞬时y仅为x的函数，它给出了该解时波射线上各质元相对于平衡位置的位移 分布情况，即表示某一解时的波形（集体定格）。 由此还可以得到波程差与相位差的关系 40=，-9=-2x专7=-2元4 3.x和1都变化 波动表达式表示波线上所有质点在不同 ,时刻的波形 时刻的位移。如图所示，实线表示：的波形， 出时刻的波开 虚线表示什△，时刻的波形，从图中以看出 振动状态（即相位）沿波线传播的距离为 Λ三A,整个波形也传播了A的距离 因而波速就是波形向前传播的速度，波函数也描述了波形的传播 总之，波方程反映了波的时间和空间双重周期性。 时间周期性：周期T代表了波的时间周期性。从质点运动来看，反映在每个质点的振动 7

7 若 O 处质点的振动初相位为 ，则相应的波函数为             ＝  － ＋ u x y Acos t 可见波动中质点的位移 y 是位置 x 和时间 t 的二元函数。 注：沿 X 轴负方向传播的平面简谐波的表达式 P 点的相位比 O 点的相位超前，因而波函数为                         x A t x T t A u x y＝Acos t＋ ＝ cos 2 ＋ ＝ cos 2 ＋ 结论：写出平面简谐波的表达式的关键是写出波形上任一点的振动的相位比已知点的振动是 超前还是落后。这个结论对于横波和纵波都是成立的。 四、波动表达式的物理意义 1．x 一定，则位移仅是时间的函数，对于 x=x1，则            2 1 cos x y A t 该方程表示的是 x1 处的质点的振动方程。即 x1 处的质点的振动情况——该质点在平衡 位置附近以 ω 作简谐振动。 它表达了距离坐标原点为 x0 处的质点的振动规律（独舞），不同 的 x0，相应的振动初相位不同。 2．t 一定，则位移仅是坐标的函数，对于 t=t1，则            x y A t 2 cos 1 该方程表示的是 t1 时刻各质点相对于平衡位置的位移。即在 t1 时刻波线上所有质点的 振动情况——各个质点相对于各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。 即在某一瞬时 y 仅为 x 的函数，它给出了该瞬时波射线上各质元相对于平衡位置的位移 分布情况，即表示某一瞬时的波形（集体定格）。 由此还可以得到波程差与相位差的关系        x x x   2  2 2 1 2 1 ＝ － ＝ － 3．x 和 t 都变化。 波动表达式表示波线上所有质点在不同 时刻的位移。如图所示，实线表示 t 的波形， 虚线表示 t+Δt 时刻的波形，从图中可以看出， 振动状态（即相位）沿波线传播的距离为 x  ut ，整个波形也传播了 x 的距离， 因而波速就是波形向前传播的速度，波函数也描述了波形的传播。 总之， 波方程反映了波的时间和空间双重周期性。 时间周期性：周期 T 代表了波的时间周期性。从质点运动来看，反映在每个质点的振动

周期均为T：从整个波形看，反映在t时刻的波形曲线与+T时刻的波形曲线完全重合 空间周期性：波长代表了波在空间的周期性。从质点来看，反映在相隔波长的两个质点 其振动规律完全相同（两质点为同相点）：从波形来看，波形在空间以波长为“周期“分布着。 所以波长也叫做波的空间周期。 五、波的叠加原理(Superposition Principle) 1.例子 人耳能够分辨出每种乐器所演奏的声音：水面上的水波相遇后又分开等。 2.波的叠加原理（波的独立传播原理） ·波的独立传播原理：几列波在同一介质中传播时，无 论是否相遇，它们将各自保持其原有的特性（频率、 波长、振动方向等)不变，并按照它们原来的方向继 续传播下去，好象其它波不存在一样； ·波的叠加原理：在相遇区域内，任一点的振动均为名 列波单独存在时在该点所引起的振动的合成。 3.说明 ·此原理包含了波的独立传播性与可叠加性两方面的 8) 性质，是波的干涉与衍射现象的基本依据： ·波的叠加原理并不是普遍成立的。只有当波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程 是线性的，它才是正确的：如果描述波动过程的微分方程不是线性的，波的叠加原理就 不成立。如强度很大的冲击波，就不遵守上述叠加原理（爆炸产生的冲击波就不满足线 性方程，所以叠加原理不适用) ·叠加原理在物理上的一个重要意义是在于将一个复杂的波动分解为几个简单的波的叠 加（复里叶级数）。 大、波的干涉(Interference) 1.相干波 振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定的两列波，在空间相遇时，叠加的结 果是使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布， 这种现象称为波的干涉现象。 相干波：能够产生干涉的两列波： 相干波源：相干波的波源： 最强 相干条件：满足相干波的三个条件 2.相干波源的获得 S. 分波振面：如图所示，S为波源前的一个障碍物上 的一个小孔，S和S是在波前进路程中的另外一个障碍 物上的两个小孔，且SS=SS2。根据惠更斯原理，S、S1 S2都是独立的波源，S1和S2发出的波为相干波(coherent 8

8 周期均为 T；从整个波形看，反映在 t 时刻的波形曲线与 t+T 时刻的波形曲线完全重合。 空间周期性：波长代表了波在空间的周期性。从质点来看，反映在相隔波长的两个质点 其振动规律完全相同(两质点为同相点)；从波形来看，波形在空间以波长为“周期”分布着。 所以波长也叫做波的空间周期。 五、波的叠加原理（Superposition Principle） 1．例子 人耳能够分辨出每种乐器所演奏的声音；水面上的水波相遇后又分开等。 2．波的叠加原理（波的独立传播原理）  波的独立传播原理：几列波在同一介质中传播时，无 论是否相遇，它们将各自保持其原有的特性（频率、 波长、振动方向等）不变，并按照它们原来的方向继 续传播下去，好象其它波不存在一样；  波的叠加原理：在相遇区域内，任一点的振动均为各 列波单独存在时在该点所引起的振动的合成。 3．说明  此原理包含了波的独立传播性与可叠加性两方面的 性质，是波的干涉与衍射现象的基本依据；  波的叠加原理并不是普遍成立的。只有当波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程 是线性的，它才是正确的；如果描述波动过程的微分方程不是线性的，波的叠加原理就 不成立。如强度很大的冲击波，就不遵守上述叠加原理（爆炸产生的冲击波就不满足线 性方程，所以叠加原理不适用）。  叠加原理在物理上的一个重要意义是在于将一个复杂的波动分解为几个简单的波的叠 加（复里叶级数）。 六、波的干涉（Interference） 1．相干波 振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定的两列波，在空间相遇时，叠加的结 果是使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布， 这种现象称为波的干涉现象。 相干波：能够产生干涉的两列波； 相干波源：相干波的波源； 相干条件：满足相干波的三个条件。 2．相干波源的获得 分波振面：如图所示，S 为波源前的一个障碍物上 的一个小孔，S1 和 S2 是在波前进路程中的另外一个障碍 物上的两个小孔，且 SS1=SS2。根据惠更斯原理，S、S1、 S2 都是独立的波源，S1和 S2 发出的波为相干波（coherent

wave). 3.干涉强弱分布 设两相干波源S,和S2的振动方程为 o=Ac0s(o1+9,) y2n=A2c0s(01+p2） 从波源$，和S2发出的波在同一介质中传播，假设介质是均匀的、各向同性的。并且是 无穷大的。如图所示，设在两列波相遇的区域内任一点P,与两波源的距离分别是1和2， 则S1、S2单独存在时，在P点引起的振动为 =4m1+-2月 根据同方向同频率振动的合成，P点的和振动方程为 y=y,+y2=Ac0s(@1+p) 合振幅由下式确定 4=++2440-9-25到 因而P点的强度为 1=1,+1,+2,l2cos(△o) 式中 40=p2-9,-2x5-1 为两列波在P点所引起的分振动的相位差，其中p:一为两个波源的初相差，22M 是由于波的传播路程（称为波程）不同而引起的相位差。对于叠加区域内任一确定的点来说， 相位差为一个常量，因而强度是恒定的。不同的点将有不同的相位差，这将对应不同的强度 值，但各自都是恒定的，即在空间形成稳定的强度分布，这就是干涉现象。 可见，在两列波叠加区域内的各点，合振幅或强度主要取决于相位差， （1)△0=，-9，-2x2,5=±2km,k=012, 则合振幅最大，其值为A=A1+A2,振动加强，称为干涉相长： 2)Ap=,-9,-251=±2k+1,k=0,12, 人 则合振幅最大，其值为A=A-A,振动减弱，称为干涉相消： (3)在相位差为其它值时，合振幅介于A1-A与A1+A2之间

9 wave）。 3．干涉强弱分布 设两相干波源 S1 和 S2 的振动方程为     20 2 2 10 1 1 cos cos         y A t y A t 从波源 S1 和 S2 发出的波在同一介质中传播，假设介质是均匀的、各向同性的。并且是 无穷大的。如图所示，设在两列波相遇的区域内任一点 P，与两波源的距离分别是 r1 和 r2， 则 S1、S2 单独存在时，在 P 点引起的振动为                         2 2 2 2 1 1 1 1 cos 2 cos 2 r y A t r y A t － － 根据同方向同频率振动的合成，P 点的和振动方程为 y＝y1 ＋y2  Acos   t  合振幅由下式确定              2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 cos 2 r r A ＝A ＋A ＋ A A 因而 P 点的强度为 2 cos 1 2 1 2 I＝I ＋I ＋ I I 式中      2 1 2 1 2 r  r  ＝   为两列波在 P 点所引起的分振动的相位差，其中 2 1 为两个波源的初相差，-2π(r2-r1)/λ 是由于波的传播路程（称为波程）不同而引起的相位差。对于叠加区域内任一确定的点来说， 相位差为一个常量，因而强度是恒定的。不同的点将有不同的相位差，这将对应不同的强度 值，但各自都是恒定的，即在空间形成稳定的强度分布，这就是干涉现象。 可见，在两列波叠加区域内的各点，合振幅或强度主要取决于相位差， （1） 2 1 2 2 1  2  0,1,2,     k k r r ＝ ＝ ，      则合振幅最大，其值为 A=A1+A2，振动加强，称为干涉相长； （2） 2 1 2 2 1    2 1  0,1,2,     k k r r ＝ ＝ ＋ ，      则合振幅最大，其值为 A=|A1-A2|，振动减弱，称为干涉相消； （3）在相位差为其它值时，合振幅介于|A1-A2|与 A1+A2 之间