《光学》课程授课教案（讲义）光的衍射

光学第二章光的衍射 第二章光的衍射 §2.1惠更斯一菲涅耳原理 一.光的衍射现象 波绕过障碍物继续传播，也称绕射。 二.次波 光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任 一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。 次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。新的波面即 是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。 用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。 波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的， 发出的次波也是不同的。严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的

光学 第二章 光的衍射 第二章 光的衍射 § 2.1惠更斯—菲涅耳原理 一．光的衍射现象 波绕过障碍物继续传播，也称绕射。 二．次波 光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任 一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。 次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。新的波面即 是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。 用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。 波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的， 发出的次波也是不同的。严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的。 1

光学第二章光的衍射 三.次波的叠加—惠更斯一菲涅耳原理 1.次波的相干叠加 考察波前上任一面元上的一点Q,即一个次波中心所发出的球面次波在场点P处引起的复振 幅微分元d心(P)。 d心(P)c0。(Q),Q点的复振幅，称为瞳函数 du(P) ,Q点为点光源，发出球面次波： d心(P)xdE,次波中心面元面积： d心(P)cF(0,),O、0分别是源点和场点相对于次波面元E的方位角。日。：面元法 线与SQ连线间的夹角，0：面元法线与QP连线间的夹角，F(。,)称为倾斜因子。 V(P d dU(P) D 上述各因素的合并表达式为d0(P)=KFO,00(O)二正，K为比例常数. 将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到 P点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就是意更斯 菲湿耳原理】 2.菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式 加果歌一个封团的容曲面己一个封的芝的一由于从通我出的所方包的波都 通过此波前，而且只通过此波前 一次，所以光源在任 次波在该 的复 (P)=K(QF(0.0 ，即 (x.y)=K(x'.y)F(0.0)- -r+0-+e-此申为 (菲涅耳)衍射积分公式。 经过Kirchhoff(基尔霍夫，1882年)严格的数学论证，Fresnel根据直观所建立的积分公式 基本上是正确的。需要修正的只是，波前可以为任意形状的封闭曲面，而且导出了几分公式中 的比例常数和倾斜因子的表达式，其中

光学 第二章 光的衍射 三．次波的叠加——惠更斯—菲涅耳原理 1．次波的相干叠加 考察波前上任一面元上的一点Q，即一个次波中心所发出的球面次波在场点P处引起的复振 幅微分元 )( 。 ~ PUd ~ )( )( ~  0 QUPUd ，Q点的复振幅，称为瞳函数； r e PUd ikr )(  ~ ，Q点为点光源，发出球面次波； )( dPUd  ~ ，次波中心面元面积； ~ ),()(  FPUd 0  ， 0 、 分别是源点和场点相对于次波面元 d 的方位角。 0 ：面元法 线与SQ连线间的夹角， ：面元法线与QP连线间的夹角， ), 0 F(  称为倾斜因子。 上述各因素的合并表达式为  d r e QUKFPUd ikr )( ~ ),()( ~  00 ，K为比例常数。 将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到 P点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就是惠更斯—菲涅耳原理。 2．菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 如果取一个封闭的空间曲面 ，即一个封闭的波前，由于从光源发出的所有方向的波都将 通过此波前，而且只通过此波前一次，所以光源在任一场点P所引起的复振幅与该波前所发出的 全部次波在该点所引起的复振幅等价。由于波前是一连续分布的曲面，所有次波中心发出的次 波在P点的复振幅就是以下曲面积分    d r e FQUKPU ikr ),()( ~ )( ~ 0 0  ，即                  ydxd zzyyxx e FyxUKyxU zzyyxxi 2 2 2 )()()( 2 0 0 )()()( ),(),( ~ ),( ~ 2 2 2    此即为 Fresnel （菲涅耳）衍射积分公式。 经过Kirchhoff（基尔霍夫，1882年）严格的数学论证，Fresnel根据直观所建立的积分公式 基本上是正确的。需要修正的只是，波前可以为任意形状的封闭曲面，而且导出了几分公式中 的比例常数和倾斜因子的表达式，其中 2

光学第二章光的衍射 K=-e2 ,F8,8)=2cos8,+cos80) 只有在波前取为球面的情况下，8，=0，F(0,)=+c0s),此时0=元，才有 F(0。,=0. 经过KirchhofP修正的上述积分公式被称作Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。处理光的衍射问 题，都可以归结为求解Fresnel-Kirchhof衍射积分公式。 当波场中有障碍物时，即衍射屏时，可以自然地将波前取在衍射屏的位置，此时封闭的空 间曲面由三部分构成：衍射屏上的透光部分Σ。，不透光的光屏部分Σ，以及在空间扩展的半 个曲面Σ2。可以忽略∑。与∑，的相互影响，认为在透光部分的瞳函数0。(Q)取作自由传播时的 数值，而不透光部分的瞳函数心。(Q)自然等于0。相对于光的波长，衍射屏的不透光部分也是 要对衍射屏的光孔部分作积分就可以了，即将曲面积分的范围局限于光孔Σ。即可。这种做法， 称作Kirchhof边界条件 S 积分公式可以化为 在特定的实验条件下，应用近轴条件和远场条件，积分公式可以得到简化，并给出和好的 结果 四.衍射的分类 根据衍射障碍物（衍射屏）到光源和接收屏的距离分类 距离有限的，或至少一个是有限的，为菲涅耳衍射。此时在接收屏上的任一点，来自不同 方向的波进行相干叠加。 距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费衍射。此时相互平行的光在无穷远处相干

光学 第二章 光的衍射  i 2/ ei K   ， (cos )cos 2 1 ),( F 0   0   。 比例常数中的位相因子不为0，而是有一个 2/ 的位相超前，说明等效次波源的位相不等 于波前上Q点扰动的位相。而倾斜因子的表达式说明向后倒退的波也对P点的复振幅产生作用， 只有在波前取为球面的情况下，  0  0 ， )cos1( 2 1 ,( ) F  0    ，此时    ，才有 0),( F  0   。 经过Kirchhoff修正的上述积分公式被称作Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。处理光的衍射问 题，都可以归结为求解Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。 当波场中有障碍物时，即衍射屏时，可以自然地将波前取在衍射屏的位置，此时封闭的空 间曲面由三部分构成：衍射屏上的透光部分0 ，不透光的光屏部分1，以及在空间扩展的半 个曲面 。可以忽略 与 的相互影响，认为在透光部分的瞳函数 2 0 1 )( ~ U0 Q 取作自由传播时的 数值，而不透光部分的瞳函数 )( ~ 0 QU 自然等于0。相对于光的波长，衍射屏的不透光部分也是 认为是无限大的，所以第三部分可以取一个半径无穷大的半球面，经过严格的数学证明，积分 公式在该球面上的积分值等于0，不必考虑。则在求解Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式时，只需 要对衍射屏的光孔部分作积分就可以了，即将曲面积分的范围局限于光孔0 即可。这种做法， 称作Kirchhoff边界条件。 积分公式可以化为       0 )( ~ (cos )cos 2 )( ~ 0 0 d r e QU i PU ikr   在特定的实验条件下，应用近轴条件和远场条件，积分公式可以得到简化，并给出和好的 结果。 四．衍射的分类 根据衍射障碍物（衍射屏）到光源和接收屏的距离分类。 距离有限的，或至少一个是有限的，为菲涅耳衍射。此时在接收屏上的任一点，来自不同 方向的波进行相干叠加。 距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费衍射。此时相互平行的光在无穷远处相干 3

光学第二章光的衍射 叠加。事实上，在衍射屏后置一凸透镜，相互平行的光会聚在透镜焦平面上的同一点，进行相 干叠加。 行射屏 接收 不行光入射 点光源 resne11衍射 §2.2菲涅耳衍射（圆孔、圆屏) 一.衍射现象 二.半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 菲湿耳一基尔霍夫衍射积分公式化为求和近似 为一系列的同心圆环带，每 带的中心到P点的距离依此相差半个波长。 带称为半波带 在球 上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为半个波 长， 为π 位相相 ,振动万间相反，相互抵消。 计算各个半波带的面积Sk

光学 第二章 光的衍射 叠加。事实上，在衍射屏后置一凸透镜，相互平行的光会聚在透镜焦平面上的同一点，进行相 干叠加。 § 2.2菲涅耳衍射（圆孔、圆屏） 一．衍射现象 圆孔衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。 圆屏衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。 二．半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式化为求和近似。 将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依此相差半个波长。 这些圆环带称为半波带。 在球面上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为半个波 长，位相差为 ，位相相反，振动方向相反，相互抵消。 计算各个半波带的面积Sk。 4

光学第二章光的衍射 球冠面积S-2πRh-2πR21-cosp),dS-2πR2 sinodo s8,血p“R风rn女当=2=8 2R(R+) P)O(OFO.KUFO5 =KT义∑F0,)ea =受0+ok=含：0X-

光学 第二章 光的衍射 球冠面积 )cos1(22 ， 2  RRhS   sin2 dRdS  2  )(2 )( cos 0 2 0 2 rRR rrRR k     ， k k dr rRR r d )( sin  0   ，当   2/ drk 时，  SdS k   0rR R r S k k      d r e FQUKPU ikr ),()( ~ )( ~ 0    k ikr k k r S )() eFQUK ~ (     )( 0 )( ~   ni k k k eF r S UK       ik k k i k e r S eUK )cos1( 2 ~ 1 0    n k k A k 1 1  )1)(cos1( 5

光学第二章光的衍射 其中A=K三，则心.=+c0m,X-片为数个半被香发出的次该伊省的 r 振幅。其振幅为A:=4A+c0s:),位相因子为(-)-。可见，相邻波带次波的位相相反，且 k越大的波带，振幅越小。于是总的复振幅可表示为 0-8-0.-4+4-4+号4+4-4+号4+4- =4+(-A1 解释：波带数n为奇数，亮点：n为偶数，暗点。 自由传播，n→0，A。→0，A(P)=5A,始终亮点。 圆乐，前个半泼带被遮在，P)-∑1-分A,总是充点。 半波带方程 2-万2=6+k宁2-八2=+专) (1) p2=r2-(,+h)2=r2-r2-2h-h2=k。-2r,h-h2 3 又P2=R2-(R-2=2M-h22h (3) 由（2，（G,2-)2-2h-F2=2M-h 可得h=上-公2 2R+)2R+万2，又由2)式，R*材g-2h 。 所以p=k,R+nR*6 kinskroR 大一公发增奇加起，就瑞装香品 三.一般情形下的波带 如果进一步将每个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P点位相差为π2，即第 6

光学 第二章 光的衍射 其中 k i k r S eUKA 0 ~ 2 1   ，则 1 )1)(cos1( ~   k k AU k ) k 1 )1(   k 为第k个半波带发出的次波在P点的复 振幅。其振幅为 ，位相因子为 。可见，相邻波带次波的位相相反，且 k越大的波带，振幅越小。于是总的复振幅可表示为 cos1( k AA       1 21 3 43 5 5 1 1 2 1 () 2 1 2 1 () 2 1 2 1 ( 2 ~ 1 )1()( ~ PU AAAAAAAAU n k k k ])1([ 2 1 1 1 n n A A   解释：波带数n为奇数，亮点；n为偶数，暗点。 自由传播， ， ， n  An  0 1 2 1 )(  APA ，始终亮点。 圆屏，前n个半波带被遮住， 1 1 2 1 )(      n n AAPA ，总是亮点。 半波带方程 0 0 2 0 2 0 2 0 2 ) 2 ) ( 2 ( rk k krrkrrrk    （1） 2 00 2 0 2 0 2 2 0 22 )( 2 2 hhrrkhhrrrhrr  kk k   （2） 又 2 2 2 2  k 2)(  hRhhRR  2Rh （3） 由（2），（3）， 2 0 2 0 2 2 hhrrrk  2 2  hRh 可得  0 )(2)(2 0 0 2 0 2 rR kr rR rr h k      ，又由（2）式， hrrk k 00 2   2 所以    0 0 0 2 0 0 2 rR Rkr rR rk rk k     ) 11( 0 2 Rr k    ，k的奇偶性由r0决定。该式称为半波带方程。 三．一般情形下的波带 如果进一步将每个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P点位相差为π/2，即第一 6

光学第二章光的衍射 个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相分别为4和34：再将每一个进一步细分，第 个 中的四个波带的位相差为4,位相依此为16,516 可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带，相邻波带见光程差为入2n 位相差为h。n很大 ,位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由个小 波矢组成的半圆。如图所示。 四.波带片 用半波带将波面分割，然后只让其中的基数（或偶数）半波带透光，即制成半波带。 半波 相相同，振动方向相同，衍射后大大增强。由于入射光是平面光， 所以 波带片可是做成平面型的 ■■■ 1■■■■ 即满足近轴条件，所以他们 U(P)=A+A+A+.+A。≈10A,P点光强I(P)=100A2,，而自由传播时 U,(P)=)4,光强，(D=子4，相差40倍。可见波带片具有使光汇聚的作用。可以将半 波带方程写成如下形式 R。 长之用装会优人发为 任一波带片，都只适用于一个波长。焦距是固定的。对平行光，波带片为平面的。 但除主焦点之外，还有许多次焦点。 平行光入射，R=有k=PL,即在距离0处，半径为P,的带是第k个半被带。 入r。 当波带片不变时，0改变，会引起k的改变，即可划分的半波带数目改变。 点： r0减小，到ro/4时，k=4k,暗点

光学 第二章 光的衍射 个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相分别为π/4和3π/4；再将每一个进一步细分，第 一个半波带中的四个波带的位相差为π/4，位相依此为π/16，5π/16，9π/16，13π/16，.。 可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带，相邻波带见光程差为λ/2n， 位相差为π/n。n很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n个小 波矢组成的半圆。如图所示。 四．波带片 用半波带将波面分割，然后只让其中的基数（或偶数）半波带透光，即制成半波带。透过 半波带的光，在场点位相相同，振动方向相同，衍射后大大增强。由于入射光是平面光，所以 波带片可是做成平面型的。 一般情况下，可以认为前面几个半波带的倾斜因子相差不大，即满足近轴条件，所以他们 发出的次波的振幅近似相等。如果波带片共有20个半波带，则在P点的复振幅为 531 19 1 )( 10 ~   AAAAAPU ， P 点光强 ，而自由传播时 2  100)( API 1 0 1 2 1 )( ~  APU ，光强 2 0 1 4 1 )(  API ，相差400倍。可见波带片具有使光汇聚的作用。可以将半 波带方程写成如下形式 f k rR k 11 1 2 0    ，同透镜的公式。   k f k 2  为焦距。 任一波带片，都只适用于一个波长。焦距是固定的。对平行光，波带片为平面的。 但除主焦点之外，还有许多次焦点。 R  有 0 2 1 r k k   平行光入射，  ，即在距离r0处，半径为  k 的带是第k个半波带。 当波带片不变时，r0改变，会引起k的改变，即可划分的半波带数目改变。 r0减小，到r0/2时，k=2k，偶数个半波带，暗点； r0减小，到r0/3时，k=3k，其中两两相互抵消，只剩下1/3歌半波带，是亮点，为次焦 点； r0减小，到r0/4时，k=4k，暗点. 7

光学第二章光的衍射 有∫二2m+.一系列次焦点， f § 2.3 Fraunhofer(夫琅和费)单缝衍射 1 衍射装置 平行光入射，用凸透镜成象于像方焦平面。相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是 平行光的相干叠加。如果衍射孔径，即狭缝，是一条窄反射面，情祝相同。 L1 12

光学 第二章 光的衍射 有 12, 5 , 3    m fff f  .，一系列次焦点。 § 2.3Fraunhofer(夫琅和费)单缝衍射 1 衍射装置 平行光入射，用凸透镜成象于像方焦平面。相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是 平行光的相干叠加。如果衍射孔径，即狭缝，是一条窄反射面，情况相同。 8

光学第二章光的衍射 衍射强度分布 04 1、振幅矢量方法 方向的次波会聚到透镜焦平面上的P点，0就是P点对透镜中心的张角，P点相干叠加的 情况取于客个次波的位相，或光程老 △D ★A A、B两点间的光程差为△L=asin,在P点的位相差为△p=L=2”asin9 如果将狭缝等分为N分，则相邻两部分的光程差和位相差均是上述值的1/N。它们在P点 的合振动是N个等长的、夹角依次相差△O/N的矢量的和。如图所示。当N→0，每一矢量 的长度变得无限小，这些矢量首尾相接构成一段圆弧，圆弧对中心的张角等于△，即是该圆 弧转过的角度。合矢量是该段圆弧的弦，表示为A。如果圆弧半径为R，则有 ,=2Rsin(5△p) 如果出射光的方向与光轴平行，即汇聚于像方焦点的情况，则由于此时各个次波的光程差 为0，位相差亦为0，故N个矢量相互平行。设像方焦点的合振动为A,在满足近轴条件时，任

光学 第二章 光的衍射 2 衍射强度分布 1、振幅矢量方法 沿 方向的次波会聚到透镜焦平面上的P点， 就是P点对透镜中心的张角。P点相干叠加的 情况取决于各个次波的位相差，或光程差。   aL sin ，在P点的位相差为     sin 2 A、B两点间的光程差为  aLk 。 如果将狭缝等分为N分，则相邻两部分的光程差和位相差均是上述值的 。它们在P点 的合振动是N个等长的、夹角依次相差 N /1 N  / 的矢量的和。如图所示。当  ，每一矢量 的长度变得无限小，这些矢量首尾相接构成一段圆弧，圆弧对中心的张角等于 N   ，即是该圆 弧转过的角度。合矢量是该 弦，表示为 段圆弧的 A  。如果 圆弧半径为 R ，则有 ) 2 。 如果出射光的方向与光轴平行，即汇聚于像方焦点的情况，则由于此时各个次波的光程差 为0，位相差亦为0，故N个矢量相互平行。设像方焦点的合振动为 A0 1   RA sin(2   ，在满足近轴条件时，任 9

光学第二章光的衍射 何一列次波的振幅与其方向无关，即沿任意日方向的次波的振幅与沿光轴方向的次波的振幅相 家则照长份甲降于无，所者名可别 -2Rngp-=2Ap) △p sin(5Ao) =A0 24 4m4 =受n0 光强分布为()=1@)=1，即”。人为像方焦点处的光强. 2、积分方法 P点光来自同一方向，倾斜因子相同。不同方向的光，满足近轴条件，倾斜因子为常数1 即所有F(日，)=1。同时，分母上的r可以视为常数，移到积分号之外 则上式化为 U(P)=K-(Oe=KK=KU() r=r+y,而=-xsin0 etm=K, f -a/ -tnle5-e5吗 -2sn号n0 =K0,@) ae sin(kasin) -iksin =0 sinu 其中，K心，(Q)一e为Q点发出的沿光轴方向的次波在光轴上的F点所引起的复振幅， 0。=Ka二0，(Q)e,为通过整个狭缝的光沿光轴方向传播时在光轴上的F点所引起的振动， 即复。则，=0,0为光上F点处的光强。=如sm0=受sm0,为单缝（单 元)衍射因子。 值得注意的是，表示球面波振幅衰减的因子上中，分母的数值并不能取衍射屏到焦平面的

光学 第二章 光的衍射 何一列次波的振幅与其方向无关，即沿任意 方向的次波的振幅与沿光轴方向的次波的振幅相 等，则弧长 AB 即等于  A0 。所以有   A0 R ，可以得到 ) 2 1 2 sin(  A ) 2 1 sin(2 0     RA    A a a A A sin )sin 2 1 ) 2 1 sin( 0  0  0        sin(   u sin u   其中    sin a u  。 2 2 0 sin 光强分布为 )(  I( ) u u PI   I ， 为像方焦点处的光强。 、积分方法 光来自同一 斜因子为常数1。 即所 0 I 2 P点 方向，倾斜因子相同。不同方向的光，满足近轴条件，倾 有 ),( r F  0   1。同时，分母上的 可以视为常数，移到积分号之外。 则上式化为    r   0 1 ~ 1 )( ~ ikr ikrdx r KdeUKPU ， 2/ 2/ a a e 0 Q)( )( ~ 0  0 QUKK  rrr 0 ，而 r  x sin u u U ka ka ae f Q e UK ( ka i e f K ee ik i f Kdxee f KPU ikr ikr a ik a ik ikr ik ikr ~ sin sin 2 1 )sin 2 1 sin( 1 ) ~ sin )sin 2 2 1 [ ] sin 1 1 )( ~ 0 0 0 sin 2 sin 2 0 sin 0 0 0 0                   其中， ik a a sin( 2/ 2/ 0    0 1 ikr e f )( ~ 0 QUK 为Q点发出的沿光轴方向的次波在光轴上的F点所引起的复振幅， 0 ， * 0 )( ~ 1 ~ 0 0 ikr eQUf  KaU 为通过整个狭缝的光沿光轴方向传播时在光轴上的F点所引起的振动， 为光轴上F点处的光强。    sin sin 2 1 a  kau  ， u sin u 即复振幅。则 0 0 ~ ~  UI U 为单缝（单 元）衍射因子。 值得注意的是， 面波振幅衰减的因子 表示球 r 距离，原因是：各个次波在透镜之前是发散的球面波，但经过透镜的折射，波面改变，成了会 聚的球面波，从理论上讲，由于透镜的孔径总是有限的，所以，当衍射屏距离透镜较远时，通 1 中，分母的数值并不能取衍射屏到焦平面的 10