《常微分方程》课程教学资源（PPT讲稿）第8讲 解的延拓

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第八讲

●●● ●●● ●●。 ●00 00● 0●●● 53.2解的延拓

§3.2 解的延拓

问题的提出:对于 Cauchy问题 上节的解的存在唯一性定理告诉我们:在一定的条件下,它的解在区 间x-xsh上存在唯一,其中M=maxf(x,y)h=mina,.根据经 (xy)eR 验,如果f(x,y)的存在区域R越大,则解的存在区间也应该越大.但根 据定理的结果,可能出现这样的情况,即随着f(x,y)的存在区域R增 大,我们能肯定的解存在区间反而缩小

●●● ●●● 例如,对于 Cauchy问题: y(0)=0 当取定义域1=(x,)‖x1y1时,M1=2,=; 当取定义域R2=(x1)x2y≤2)时,M2=8宀 正因为如此,上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做解的局部 存在唯一性定理.这种局部性使我们感到非常不满意.而且实践上也 要求解的存在区间能尽量扩大,这样就需要讨论解延拓的问题.为此 先给出下列定义

定义1:对于定义在平面R2上一个区域即连通开集G中的微分方程 31) 设y=g(x是方程31)的定义于区间(a1,B)内的一个解.若存在方程 31)的另一个解y=w(x),它在区间(2,B2)内有定义,并且满足 (1)(a2,月2)3(a1,B1)但(a2,月)≠(a1,B1);“ (2)w(x)=(x),当x∈(1,月)时 则称解y=叭,x∈(a,B是可延拓的,并且称y=v(x)是y=(x)在 (a2,月2)的一个延拓 倘若不存在满足上述条件的解y=v(x),则称解y=∞(x),x∈(,月) 为方程(31)的一个不可延拓解,或饱和解此时把不可延拓解的定义 区间(a1,月1)称为一个饱和区间

●●● ●●● ●●。 ●00 为了把解存在唯一性定理中的局邰解延拓到更大的区间上,我们 先给出局部 Lipschitz条件的概念 定义2:对于定义在平面R2上一个区域G中的函数f(x,y),对任意的 (x,y)∈G,取正数a11,使得 R1=(xy)|kx-xl≤a1,y-n|≤sh)cG 若存在L(与x,,a,2有关),对任意的(xy,(x,y)∈R,使得 Jf(x,y)-f(x,y)≤ly-y 恒成立则称f(x,y)在G内关于y满足局部Iich条件

●●● ●●● ●●。 ●00 00● 00●● 问题:如何判别fx)在G内是否关于y满足局部 Lipschitz条件?我 们有下面的一个充分条件 结果:如果f(x,y)及f(x,y)关于y的偏导数f(xy)在G内连续,则 f(x,y)在G内关于y满足局部 Lipschitz条件

●●● ●●● ●●。 ●00 00● 00●● 定理1:对于定义在平面R2上一个区域G中的微分方程(31),设 ∫(xy)在G内连续且关于y满足局部 Lipschitz条件,如果y=(x为 (31)的定义在闭区间a,月上的一个解,则y=叭(x在(a,月上必可延拓

●●● ●●● ●●。 ●00 00● 000● 由定理可知,一个由存在唯一性定理得到的解总可以向左、右两 边延拓我们的问题是是否任意一个解都可以延拓为饱和解呢

●●● ●●● 推论1:对于定义在平面R2上一个区域G中的cauc问题 =(x),其中(不nn)∈G yO 如果f(x)y)在G内连续且关于y满足局部pch条件则它的任一非 饱和解均可延拓为饱和解(见尤秉礼《常微分方程补充教程》第30-31 页) 推论2:设y=0为 Cauchy间题1女=(),其中()e的一个 饱和解,1是该饱和解的饱和区间,则必为开区间