《常微分方程》课程教学资源（PPT讲稿）第13讲 常系数线性微分方程的解法

第十三讲

第十三讲

542常系数线性微分方程的解 法 一、常系数齐线性微分方程的解法 常系数齐线性微分方程的解

§4.2 常系数线性微分方程的解 法 一、常系数齐线性微分方程的解法 二、常系数非齐线性微分方程的解法

如果n阶线性微分方程 d"x d an+…+an4(+an(x= 中的系数a(=12…)都是常数,则称它为n阶常系数线性微分 方程,即 d"x d +a …+a +a,x=f4 1) dt 其中a(=12…n)都是常数.特别地如果方程中的菲次项 f(x)≡0,则称它为n阶常系数齐线性微分方程如果令 X d 工[≡n+日1m+…+an-+anx, 则方程(1)可简记为x=f(x),而它所对应的齐线性方程可记为 瓦x]=0

、常系数齐线性微分方程的 解法 :特征根是单根的情形 I:特征根有重根的情形

一、常系数齐线性微分方程的 解法 I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形

对于n阶常系数齐线性微分方程L=0, 定理1:函数x=e为方程=0的解当且仅当孔=为代数方程 F(4≡+a1x+…+an=0 的根

定义1:称多项式F()≡+a+…+an为]=0的特征多项式 称方程F(4≡+a1+…+an=0为I=0的特征方程; 称方程F()≡+a1+…+an=0的根为x=0的特征根4 于是,为求=0的形式为x=解只须求持征方程 F(4)≡君+a1x+…+an=04 的相即可 下面根据特征根是单根还是熏根,分两种情况讨论

I:特征根是单根的情形

I: 特征根是单根的情形

結果1:如果[=0的特征方程F(4≡君+a+…+an=0有n个互异 的根1,孔2;…,孔,(孔1,A2,…,,中可能有一些是复数,则 1t, 礼.t e 为[=0的一个基本解组4

例1:求方程 dsx d'x 2x=0的一个基本解组 d dt

问题:如何求实系数方程的实值基本解组?