《常微分方程》课程教学资源（PPT讲稿）第14讲 常系数非齐线性微分方程的解法

第十四讲

第十四讲

、常系数非齐线性微分方程 的解法

二、常系数非齐线性微分方程 的解法

对于n阶常系数非齐线性微分方程L[x=f(x),当然在求得它所 对应的齐线性方程L[x]=0的一个基本解组后可用常数变易求出 L[x]=f(x)的一个特解从求的它的通解但当非齐次项f(x具有特殊 形式时有特殊的解法下面介绍这样的方法中的一种即比较系数法

类型I:f()=("+外+…+b+bn)e44 结果3:=(+b+…+b1+b)具有形式 x(t)=什(B"+B+…+B+B)e+ 的特解,其中k是作为特征方程F(x)≡+a+…+an=0的根的重 数(若4不是特征方程F(4≡+a11+…+an=0的根,则取k=0),而 Ba,B1…,B是待定常数它们可以通过比较系数来确定

例3:求方程“x-2“-3x=3x+1的通解 d t x=Ce+che - t+-+

例4:求方程“-“x=P2的通解 d o d x=C+Ct+Ct+C,t-+Cee+Cre+ 360

例5:求方程2-2-3x=c-+的通解 X t-24

类型Ⅱ:f()=[4(0cs(+sine,其中a,为常数,AOB()是t 的实系数多项式,它们中的一个的次数为m,另一个的次数不超过m. 结果4:I]=[40c+B(sim,用e有形如 x=t[P(D)cos a+t)sin ]e c+ 的特解,其中是3=a+作为特征方程F()≡和+a+…+an=0的 根的熏数(若4不是特征方程F()≡+a+…+an=0的根,则取 k=0)而P(x,gx是待定的m实系数多项式,它们的系数可以通过 比较系数法来确定

例6:求方程“+4+4x=082t的通解

例7:求方程“+2x=t3+2+e-2+03的通解