《常微分方程》课程教学资源（PPT讲稿）第2讲 基本概念

第二讲

第二讲

51.2基本概念 常微分方程与偏微分方程 、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解 显式解与隐式解 2.通解与特解

§1.2 基本概念 一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解 1. 显式解与隐式解 2. 通解与特解

一、常微分方程与偏微分方程 定义1:把联系自变量、未知函数及未知函数导数(或微分)的 关系式称为微分方程 例1:下列关系式都是微分方程 (1)=2x; dx (2)xdy-ydx=0 d=x dx +txl +x=0 x +5-,+3x=sint; ()az,az ax a (6)2+2+x+y-u2=0

一、常微分方程与偏微分方程 定义1: 把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的 关系式称为微分方程. (1) 2x ; dx dy = (2) xdy − ydx = 0 ; (3) 0 ; 3 2 2  + =      + x dt dx tx dt d x (4) 5 3 sin ; 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = (5) z ; y z x z =   +   (6) 0 . 2 2 2 2 + + − =   +   x y uz y u x u 例1：下列关系式都是微分方程

附注1:一个关系式要成为微分方程,要求该关系式中必须含有未 知函数的导数或微分,但其中的自变量或未知函数可以不显含.如 果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分,则这样的关系式 就不能成为微分方程,例如x2+y2=1就不是微分方程实际上 我们在数学分析课程中已经知道,它是一个函数方程 附注2:如果在一个微分方程中,自变量的个数只有一个,则这样 的微分方程称为常微分方程,如上面例中 2 dx (2)xdy-ydx=0 (3) 切/xc力 X +x=0 x x +5 d+3x=sint 就是常微分方程;

附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未 知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含. 如 果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式 就不能成为微分方程，例如 就不是微分方程. 实际上， 我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程. 1 2 2 x + y = 附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程，如上面例1中 (1) 2x; dx dy = (2) xdy − ydx = 0 ; (3) 0; 3 2 2  + =      + x dt dx tx dt d x (4) 5 3 sin ; 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = 就是常微分方程；

如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程, 如上面例中 记(s) z ax ay ×2 ++y 0 就是偏微分方程 本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方 程或方程

如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程， 如上面例1中 (5) z ; y z x z =   +   (6) 0 . 2 2 2 2 + + − =   +   x y uz y u x u 就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方 程或方程

、微分方程的阶 定义2:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称 为微分方程的阶数 在上面例1中, (1)+=2x是一阶微分方程; dx (2)xhy-yhx=0是一阶微分方程; a x dx +tx +x=0是二阶微分方程 (4)4+52+3x=sint是四阶微分方程 dt

二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称 为微分方程的阶数. 在上面例1中， (1) 2x dx dy = 是一阶微分方程； (2) xdy − ydx = 0 是一阶微分方程； (3) 0 是二阶微分方程； 3 2 2  + =      + x dt dx tx dt d x (4) 5 3 sin 是四阶微分方程. 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + =

般的n阶常微分友程可以写成 K,J 这里x 的已知函数,而且 x 定含有项y进一步,如果能从Fx,…21=0中 正x 解出y,从而得到下列形式的微分方程: y,I

则称这种已就最高阶导数解出的微分方程为正规形微分 方程有时也称形加减“2)0的程为脆做分 友程

三、线性与非线性微分方程 定义3:如果n阶微分方程=0的左边是 y,中,…2的一次有理整式,则称它为阶线性微分方 程.否则称为非线性微分方程.4 例如上面例1中 dy=2x x (2)xdy- ydx=0 +5 d x +3x=sin t 是线性微分方程

例如上面例1中 (1) 2x dx dy = 是线性微分方程， (2) xdy − ydx = 0 (4) 5 3 sin 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + =

而 dx (3) +tx +x=0 是非线性微分方程 n阶线性微分方程的一般形式为: y +a1(x +…+an(x)y=q(x) dx dx 其中a;(x)…,an(x),g(x)是已知数;而n阶正规形线 性微分方程的一般形式为: d y …+bn(x)y+q(x), 其中b,(x)…,bn(x,9(x)是已知函数4

是非线性微分方程. . 而 (3) 0 3 2 2  + =      + x dt dx tx dt d x