浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿，第三版）第六章 样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布 随机样本 抽样分布 常用统计量 常用统计量的分布

第六章 样本及抽样分布 • 随机样本 • 抽样分布 • 常用统计量 • 常用统计量的分布

§6随机样本 总体与样本 总体:研究对象的全体 通常指研究对象的某项数量指标 个体:组成总体的元素(每个可能的观察值) 总体容量:总体中包含的个体个数 有限总体,无限总体 从本质上讲,总体就是所研究的随机变量或随机变 量的分布

§6.1 随机样本 一、总体与样本 • 总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 • 个体: 组成总体的元素（每个可能的观察值） • 总体容量：总体中包含的个体个数 • 有限总体，无限总体。 从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变 量的分布

体中的每一个个体是随机试验的的一个观察值, 因此它是某一随机变量X的值 个总体对应于一个随机变量X。 总体的分布函数:X的分布函数 总体的期望、方差:X的期望、方差。 对总体的研究方法:从总体中抽取一部分个体,根 据获得的数据对总体的分布做出推断 被抽出的部分个体叫做总体的一个样本

总体中的每一个个体是随机试验的的一个观察值， 因此它是某一随机变量X的值 一个总体对应于一个随机变量X。 总体的分布函数：X的分布函数， 总体的期望、方差：X的期望、方差。 对总体的研究方法：从总体中抽取一部分个体，根 据获得的数据对总体的分布做出推断。 被抽出的部分个体叫做总体的一个样本

从总体中抽取一个个体,就是对X进行一次观察并 纪录其结果。 将结果记为X1,X1符合随机变量的三个特征 x1是一个随机变量。X1与X同分布。 抽取n次,就是进行n次重复、独立的观察。 得到结果X1,X2,Xn X1,x2,…,Xn每个都是随机变量。每个都与具有相同 的分布。 简单随机样本:X1,X2…,Xn相互独立, 与总体Ⅺ具有相同分布

从总体中抽取一个个体，就是对X进行一次观察并 纪录其结果。 将结果记为X 1，X 1符合随机变量的三个特征。 X 1是一个随机变量。X 1与X同分布。 抽取n次，就是进行n次重复、独立的观察。 得到结果X 1,X 2,…,X n 。 X 1,X 2,…,X n每个都是随机变量。每个都与X具有相同 的分布。 简单随机样本：X 1,X 2,…,X n相互独立， 与总体X具有相同分布

当n次观察一经完成,我们就得到一组实数 X1.X ···9 xn,它们是随机变量X1,X2…,Xn的观察值, 称为样本值 n为样本容量 简单随机样本定义:p158 放回式抽样与不放回式抽样:p158

• 当n次观察一经完成，我们就得到一组实数 x1,x2,…,xn，它们是随机变量X1,X2,…,Xn的观察值， 称为样本值。 • n为样本容量。 • 简单随机样本定义：p158 • 放回式抽样与不放回式抽样：p158

来自总体X的随机样本X1,X可记为 X1,…,Xn~X或f(x,F(x) 样本联合分布函数或密度函数为 F'(x1,x2,…,xn)=∏F(x) 或f'(x1,x2,…,xn)=∏f(x,)

• 来自总体X的随机样本X1,…,Xn可记为 , , ~ ( ), ( ),... 1 X X X f x F x iid L n 或 • 样本联合分布函数或密度函数为 ∏ = = n i n i F x x x F x 1 1 2 * ( , ,L , ) ( ) ∏ = = n i n i f x x x f x 1 1 2 * 或 ( , ,L , ) ( )

3总体、样本、样本观察值的关系 总体 理论分布 样本 样本观察值 统计是从手中已有的资料—样本观察值,去推断 总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁 。总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样 本取到样本观察值的规律,因而可以用样本观察值 去推断总体

3.总体、样本、样本观察值的关系 总体 理论分布 样本 样本观察值 统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断 总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁 。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样 本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值 去推断总体

§62抽样分布 、统计量 定义(p159):设X1,…,Xn是来自总体X的一个 样本,g(X1,…,Xn)是X1,…,Xn的函数,若g(X1, X不含未知参数,则称g(X1,…,X是一个统计量 g(x1,…,xn)是g(X1,…,X)的观察值 统计量是X1…,Xn的函数,所以它是一个随机变量

§6.2 抽样分布 一、统计量 • 定义（p159）： 设X1 , … , Xn 是来自总体X的一个 样本，g(X1 , … , Xn )是X1 , … , Xn 的函数，若g(X1 , … , Xn)不含未知参数，则称g(X1 , … , Xn)是一个统计量。 • g(x1，… ，xn )是 g(X1，… ，Xn)的观察值 • 统计量是X1,…,Xn的函数，所以它是一个随机变量

二、几个常用的统计量(P160): 1样本均值X=∑ 2样本方差S=∑(X-x)2=;∑H-nX 样本均方差标准差)S=VS2, 3.样本k阶矩原点矩A=∑X 中心矩B=∑(X-X)

二、几个常用的统计量(P160)： , 1 1. 1 ∑ = = n i Xi n 样本均值 X ( ) , 1 1 ( ) 1 1 2. 2 1 2 2 1 2 2 S S X nX n X X n S n i i n i i = − − − = − = ∑ ∑ = = 样本均方差 标准差 样本方差 ∑ ∑ = = = − = n i k i k n i k i k X X n B X n A 1 1 ( ) , 1 1 中心矩 3.样本k阶矩 原点矩

经验分布函数p161 S(x):X1,X2…,Xn中不大于x的随机变量的个数 经验分布函数F(x)=-S(x)-0<x< 当n→O时,F(x以概率1致收敛于F(x)

经验分布函数 p161 •S(x): X X Xn , , , 1 2 L 中不大于x的随机变量的个数 = S x −∞ < x < ∞ n F x n ( ), 1 •经验分布函数 ( ) n F (x) 1 F(x) 当 → ∞时， n 以概率 一致收敛于