浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿，第三版）第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布 随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 维随机变量函数的分布

第二章 随机变量及其分布 • 随机变量的概念 • 随机变量的分布函数 • 离散型随机变量 • 连续型随机变量 • 一维随机变量函数的分布

§1随机变量 例:从装有8个白球、4个黑球与2个黄球的箱中随机 取出两球,每取出一个黑球得2分,白球扣1分,黄 球不得分也不扣分。以X表示得分数, 则事件{取出两个白球}与{X=-2}等价。 故P{取出两个白球}=P(X=2}=4/13 2白1白1黄2黄白1黑1黄1黑|2黑 X=-2X=-1X=0X=1X=2X=4 X是一个变量,它随试验的不同结果而取不同的值

§1 随机变量 例：从装有8个白球、4个黑球与2个黄球的箱中随机 取出两球，每取出一个黑球得2分，白球扣1分，黄 球不得分也不扣分。以X表示得分数， 则事件{取出两个白球}与{X=-2}等价。 故P{取出两个白球}=P{X=-2}=4/13。 2白 1白1黄 2黄 1白1黑 1黄1黑 2黑 X= -2 X= -1 X= 0 X= 1 X= 2 X= 4 X是一个变量，它随试验的不同结果而取不同的值

随机变量的概念 定义(p38):设S=e是试验的样 本空间。X是定义在S上的一个单值 实值函数,即对于每一个e∈S,有一 实数X=X(e)与之对应,则称X为随 机变量随机变量常用X、Y、Z或ξ 、η、等表示 随机变量的取值随试验结果而定,X取各个值也有 定的概率

随机变量的概念 定义（p38）： 设S={e}是试验的样 本空间。X是定义在S上的一个单值 实值函数，即对于每一个e∈S，有一 实数X=X(e)与之对应， 则称X为随 机变量随机变量常用X、Y、Z 或 ξ 、η、ζ等表示。 随机变量的取值随试验结果而定，X取各个值也有一 定的概率

在随机试验中引入适当的随机变量,可以用来描述试 验中的事件。也可以更方便更简洁地求概率 2白1白1黄2黄白1黑1黄1黑2黑 X-2X=-1X=0X=1X=2 X4 P至少取到一个黑球}=PX≥1} =P{X=1}+PX=2}+P{X=4}=46/91 EX.如何用随机变量表示下列随机事件? ①将3个球随机地放入三个格子中 事件A=侑有1个空格},B={有2个空格},C={有球} ②进行5次试验,事件D={试验成功一次}, F={试验至少成功一次},G={至多成功3次}

在随机试验中引入适当的随机变量，可以用来描述试 验中的事件。也可以更方便更简洁地求概率。 2 白 1 白 1 黄 2 黄 1 白 1 黑 1 黄 1 黑 2 黑 X= - 2 X= - 1 X= 0 X= 1 X= 2 X= 4 P{至少取到一个黑球 } = P{X ≥1} =P{X=1}+P{X=2}+P{X=4} =46/91 。 EX．如何用随机变量表示下列随机事件？ ①将3个球随机地放入三个格子中 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}

解:1。X:空格数 A:Ⅹ=1,B:Ⅹ=2,C:X=0。 2。X:5次试验中成功的次数 D:Ⅹ=1,F:X≥1,G:Ⅹ<3。 随机变量与普通函数不同 随机变量取各个值有一定的概率。普通函数 则不然 随机变量定义在样本空间上,即随机变量的 定义域”可以不是实数值,而普通函数 的定义域是实数集或它的子集

解：1。X：空格数 A：X=1，B：X=2，C：X=0。 2。X：5次试验中成功的次数。 D：X=1，F：X≥ 1，G：X≤ 3。 随机变量与普通函数不同。 •随机变量取各个值有一定的概率。普通函数 则不然。 •随机变量定义在样本空间上，即随机变量的 “定义域”可以不是实数值，而普通函数 的定义域是实数集或它的子集

随机变量的分类 离散型随机变量 随机变量非离散型 连续型 奇异型(混合型)

⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⎩⎨⎧奇异型（混合型） 连续型 非离散型 离散型随机变量 随机变量的分类： 随机变量

§2离散型随机变量及其分布律 定义若随机变量X取值x1x2…,xn,…且取 这些值的概率依次为p1p2……,pn,…,则 称X为离散型随机变量,而称 PX=XK=Pk,(k-1, 2, 为X的分布律或概率分布。可表为 X~PX=x1}=p1,(k=1,2,…),或

§2 离散型随机变量及其分布律 定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取 这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则 称X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，或 X x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk … X ~

2分布律的性质 (1)pk≥0,k=1,2, (2 P 例1.设袋中有5只球,其中有2只白3只黑。现从 中任取3只球(不放回),求抽得的白球数 X的分布律。 解:k可取值0,1,2 k/3-k CAO PiX=k

2. 分布律的性质 (1) pk ≥ 0, k＝1, 2, … ; (2) ∑ ≥1 1. k pk＝ { } . 3 5 3 2 3 C C C P X k k −k ＝ ＝ 例1. 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从 中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数 X的分布律。 解： k可取值0，1，2

0.6 0.3

X 0 1 2 P k 0 .1 0 .6 0 .3

例2.某射手对目标独立射击5次,每次命中目标的概 率为p,以X表示命中目标的次数,求X的分布律 解:设A;第i次射击时命中目标,i=1,2,3,4,5 则A,A2…3相互独立且P(A)=p,i=1 X可能的取值:Sx=0,1,2,3,4,5}, P{X=0}=P(A1A2A3A4A)=1-p)5 P(X=1}=P{4A2A3445UA14243445U=5p(1-p) PIX=2=P(A1A2 A3 A4 A5 U A1 A3 A4 A5U.=C5P(1-P P{X=k}=C5p(1-p)3kk=0.125

例2. 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概 率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。 解：设Ai：第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5。 则A 1,A2, … A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1, …5. X可能的取值：S X={0,1,2,3,4,5}, (1-p) = = = 5 P { X 0 } P ( A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) { 1 } { 3 4 5 ... P X = = P A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 U A 1 A 2 A A A U 4 = 5 p ( 1 − p ) 2 2 3 5 { = 2 } = { 4 5 ... = P ( 1 − P ) P X P A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 U A 1 A 2 A 3 A A U C { } ( 1 ) 0,1,..., 5 5 = = 5 − = − P X k C p p k k k k