西安电子科技大学：《工程线性代数》课程PPT教学课件（MATLAB版）第五章 向量组的线性相关性

第五章向量组的线性相关性 ■5.1n维向量 5.2向量组的线性相关性 53矩阵的秩与向量组的秩 5.4向量空间 55基、维数与坐标 56线性方程组解的结构 ■57超定方程的解——最小二乘问题 5.8应用实例 59习题

第五章 向量组的线性相关性  5.1 n维向量  5.2 向量组的线性相关性  5.3 矩阵的秩与向量组的秩  5.4 向量空间  5.5 基、维数与坐标  5.6 线性方程组解的结构  5.7 超定方程的解——最小二乘问题  5.8 应用实例  5.9 习题

51n维向量 定义5.1n个有次序的数构成的数组称为 向量。这n个数称为该向量的n个分量,称为 这个向量的第个分量,n也称为此向量的长度。 分别记 或a a.a

5.1 n维向量 定义5.1 n个有次序的数构成的数组称为n维 向量。这n个数称为该向量的n个分量，称为 这个向量的第个分量，n也称为此向量的长度。 分别记 或 1 2 n a a a     =         a a =a a a 1 2 , , , n 

为列向量和行向量,并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时,都当作 列向量。为了节省篇幅,常把列向量写成 a=a1,2,, 分量全为实数的向量称为实向量,分量 为复数的向量称为复向量.分量全为零的向 量称为零向量,记为0

为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成 分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0.  1 2 , , ,  T n a = a a a

设=[a12a2J,b=[2b2b为列 向量,λ是一个数,则有 (1)2+b=4+h:a2+h2,n+bn (2)Aa=a1,Aan2,… (3)ab-[a b2 a1b1+a2b2+…+anb a, b, a, b b (4)ab a b

设 ， 为列 向量，是一个数，则有 (1) (2) (3) (4)  1 2 , , ,  T a = a a an  1 2 , , ,  T b = b b bn  1 1 2 2 , , ,  T n n a + b = + + + a b a b a b  1 2 , ,  T n     a = a a a   1 2 1 2 1 1 2 2 , , , n n n n b b a a a a b a b a b b     = = + + +         T a b             =             = n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a          1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 [ , , , ] T ab

5.2向量组的线性相关性 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合称为向量组。 a1 12 A Ol Ol 12 0l 2 其中,B1=[an,a2…,an],=1,2,…,m al j=1,2,…,n

5.2 向量组的线性相关性 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合称为向量组。 其中，   11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             = = =             1 2 1 2 n m β β A α ,α , ,α β βi = = a a a i m i i in 1 2 , , , , 1,2, , .  1 2 , , , , 1,2, , T j j mj = =   a a a j n j   α

称阝12,…B为矩阵的行向量组,1,2 为矩阵的列向量组。反过来,由有限个可 维数的向量适当排列可构成一个矩阵。 定义52 (1)给定向量组12y(n。对于任何 组+k,个+…+称为 +k 向量组12的 ,k1,k2…,kn 称为这个线性组合的 (2)给定向量组a12及向量。若存 在一组数A,2 使 b=A01+02++(n

称 为矩阵的行向量组， 为矩阵的列向量组。反过来，由有限个同 维数的向量适当排列可构成一个矩阵。 定义5.2 （1） 给定向量组 。对于任何一 组实数 ， 称为 向量组 的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。 （2）给定向量组 及向量。若存 在一组数 ，使 β1 2 m ,β , ,β α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k 1 2 n k k k α1 2 n + + + α α α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , ,   n b = + + +    1 2 α1 2 n α n α

则称向量b=A1+22+…+a可由向量组 线性表示。 定义53设有向量组Aa1a2y,向量组B :B1阝2…,P若向量组A中的每一个向量都可由向 量组B线性表示,则称向量组A可由向量组B线 性表示;若向量组A与向量组B可互为线性表示, 则称向量组A与向量组B等价 定义54给定向量组2,,如果存在不全为零 的数起k,使k1+k2+…+kn=0

则称向量 可由向量组 线性表示。 定义5.3 设有向量组 向量组B 若向量组 A中的每一个向量都可由向 量组B线性表示，则称向量组 A 可由向量组B线 性表示；若向量组A与向量组B 可互为线性表示， 则称向量组A与向量组B等价。 定义5.4 给定向量组 ,如果存在不全为零 的数 ,使 b = + + +    1 2 α1 2 n α n α A:α1 2 s ,α , ,α 1 2 t :β ,β , ,β α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k 1 2 n k k k α1 2 n + + + = α α 0

则称向量组a,2…线性相关,否则称向 量组a,a2,…,an线 由定义54,若向量组2线性无 关,当且仅当k=k=…=k=0时,才有 ka1+k2a2+…+kn=0成立。 推论:当向量组只有一个向量时,≠0 必线性无关:=0必线性相关。可见,若向 量组中含有零向量,它一定线性相关

则称向量组 线性相关，否则称向 量组 线性无关。 由定义5.4，若向量组 线性无 关，当且仅当 时，才有 成立。 推论：当向量组只有一个向量 时， 必线性无关； 必线性相关。可见，若向 量组中含有零向量，它一定线性相关。 α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α 1 2 0 n k k k = = = = 1 2 n k k k α1 2 n + + + = α α 0 α α  0 α = 0

例5.1判断下列向量组的线性相关性 (1)01= 2)0=12100=2341],13430

例5.1 判断下列向量组的线性相关性 （1） （2） 1,0,1 , 0,1,1 , 2,1,3      T T T = = = 1 2 3 α α α       1 2 3 1,2,1,0 , 2,3,4,1 , 3,4,3,0 T T T α = = = α α

解 (1)因为 2+0-2 21+12+(-1)a3=0+1-1 000 =0 2+1-3 所以这个向量组线性相关 (2)设+k2+k3=0,由向量的加法和 数乘运算可得 2 k1+2k2+3k3=0 2 2k1+3k2+4k3=0 k 1/×,/3 +k 0目 4 3430 k1+4k2+3k3=0 k

解： (1)因为 所以这个向量组线性相关。 (2) 设 ,由向量的加法和 数乘运算可得 2 0 2 0 2 1 ( 1) 0 1 1 0 2 1 3 0     + −     + + − = + − = =             + − α1 2 3 α α 0 1 1 2 2 3 3 k k k α + + = α α 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 3 0 2 3 4 2 3 4 0 1 4 3 4 3 0 0 1 0 0 k k k k k k k k k k k k k        + + =         + + =        +  + =        + + =                = 0 即