浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿，第三版）第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 二维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布 •二维随机变量 •联合分布 •边缘分布 •条件分布 •相互独立的随机变量 •两个随机变量函数的分布

§1二维随机变量 定义将n个随机变量X1,2,,Xn构成一个n维 向量(1,X2…,X),称为n维随机变量或随机向量。 多维随机变量的研究方法与一维类似, 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。 维随机变量X—R1上的随机点坐标 二维随机变量X,Y)R2上的随机点坐标,p74 二维随机变量(XY)中的X、Y定义在同一样本空间S上 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还 依赖于它们间的相互关系

§1 二维随机变量 定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维 向量(X1,X2,...,Xn)，称为n维随机变量或随机向量。 多维随机变量的研究方法与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标，p74 二维随机变量(X,Y)中的X、Y定义在同一样本空间S上 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还 依赖于它们间的相互关系

联合分布函数 定义:设(X,Y)是二维随机变量,(x,y)∈R,则称 F(x,y)=P{(X<x)∩(Ysy)}=P{X≤x,Ysy 为(X,Y)的分布函数,或X与Y的联合分布函数 注:事件X<x,Yy}表示事件{<x与事件{Ysy}之积 PXX,Ysy}≠P≤ x] PYy} (除非这两个事件是独立的) P≤X,Ysy}=P对} PIYsy X≤x

二. 联合分布函数 定义：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)∈R2, 则称 F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}= P{X≤x,Y≤y} 为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 注：事件{X≤x,Y≤y}表示事件{X≤x}与事件{Y≤y}之积 P {X≤x , Y≤y} P {X ≠ ≤x} P{Y≤y} (除非这两个事件是独立的) P {X≤x , Y≤y}=P {X≤x} P{Y≤y|X ≤x}

联合分布函数的几何意义 分布函数F(x0,y0)表示随机 点(X,Y)落在区域 (x,y)-0<x≤x2-0<y≤y} 中的概率。如图阴影部分: 。,y

联合分布函数的几何意义 0 0 x , y {( x, y ),− ∞ < x ≤ x 0 ,− ∞ < y ≤ y 0 } 分布函数F( )表示随机 点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：

设(x1y1,(x2,y2)∈R2,(x<x2,y1y2),则 P区x1X≤x2,y1<ysy2 =F(x2,y2)F(X1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y) 1 2,y2 (X1,y (×2,y1

设(x1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1< x2， y1<y2 ), 则 P{x1<X≤ x2， y1<y≤y2 } ＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2)

分布函数F(x,y)具有如下性质: (1)归一性对任意(x,y)∈R2,0F(x,y)≤1 F(∞,∞)=limF(x,y)= x y→>o F(oO ● )=lim F(x, y)=0 y F( y)= F(x,y)=0 x→ F(X,-00 ) lim F(x, y)=0 y

分布函数F(x,y)具有如下性质： (1)归一性 对任意(x, y) ∈ R2 , 0 ≤ F(x, y) ≤ 1, ( ∞ , ∞ ) = lim ( , ) = 1 → ∞ → ∞ F F x y y x ( −∞ , − ∞ ) = lim ( , ) = 0 → −∞ → −∞ F F x y y x ( −∞ , ) = lim ( , ) = 0 → −∞ F y F x y x ( , −∞ ) = lim ( , ) = 0 → −∞ F x F x y y

(2)单调不减 对任意y∈R,当X1y0 F(Xo+0, y)=lim F(x, y)=F(Xo, y); X→X

(2)单调不减 对任意y∈R, 当x1<x2时，F(x1,y) ≤ F(x2,y)； 对任意x∈R, 当y1<y2时，F(x,y1) ≤ F(x,y2). (3)右连续 对任意x∈R, y∈R, F(x, y 0) lim F(x, y) F(x, y ). 0 y y 0 0 + = = → + F(x 0, y) lim F(x, y) F(x , y); 0 x x 0 0 + = = → +

(4)矩形不等式 对于任意(x1,y1(x2y2)∈R2,x1x2,y1y2) (x2y2)-F(X1y2)-F(x2,y)+F(x1y)≥0 反之,任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数

(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)≥0. 反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数

例.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 x F(x, y)=AB+arctg(IC+arct() 2 1)求常数A,B,C。2)求P{0<X<2,0<Y<3} 解:F(,0)=A[B+]=1 F(-∞,y)=A[B IC+ arct (2)=0 x F(x,-0)=A[B+wrcg()C-]=0 →B=C A 丌2 P(0<X≤20<Y≤3}=F(0,0)+F(2,3)-F(0,3)-F(2.0)≈1 16

例. 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 )] 3 )][ ( 2 ( , ) [ ( y C arctg x F x y = A B + arctg + 1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3} 解: ] 1 2 ( ∞ , ∞ ) = [ + = π F A B )] 0 3 ][ ( 2 ( −∞ , ) = [ − + = y F y A B C arctg π ] 0 2 )][ 2 ( ,−∞ ) = [ + ( − = π C x F x A B arctg 2 1 2 π π ⇒ B = C = A = 16 1 P { 0 < X ≤ 2,0 < Y ≤ 3 } = F ( 0,0 ) + F ( 2,3 ) − F ( 0,3 ) − F ( 2,0 ) =

联合分布律 若二维随机变量(x,Y)只能取至多可列个值(x,y) i,j=1,2,…),则称(,Y)为二维离散型随机变量 若二维离散型随机变量(x,Y)取(x1,y)的概率为p; 则称P=x1,Y=y}=p1,(i,j=1,2,…),为二维 离散型随机变量(X,Y)的分布律,或随机变量X与Y的 联合分布律 可记为 (x,Y)~P(X=x1,Y=y;}=p;(i,j=1,2,…,)

三.联合分布律 • 若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj), (i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 • 若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij, 则称 P{X＝xi,Y＝yj}＝pij ，(i,j＝1,2,…)，为二维 离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的 联合分布律. 可记为 • (X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj}＝pij (i,j＝1,2,…)