中国科学技术大学：《数学实验》课程教学资源（实验讲稿PPT）实验十三 混沌（陈发来）

数学实验之十三-混沌 中国科学技术大学数学系 陈发来

数学实验之十三－混沌 中国科学技术大学数学系 陈发来

实验内容 函数迭代 二次函数的迭代 Feigen Baum图 混沌的特性 其它函数的迭代

实验内容 • 函数迭代 • 二次函数的迭代 • FeigenBaum图 • 混沌的特性 • 其它函数的迭代

函数迭代 给定一函数(以及初始点x定义 数列 K+/S f(x),k=0,1 {x称为函数f的迭代序列。 满足f(点称为l的不动点,记之 为。如果两附近的点在迭代过程中 都趋向于某一不动点,则该不动点称为 吸引点。如果所有附近的

一、函数迭代 • 给定一函数 以及初始点 ，定义 数列 称为函数 的迭代序列。 满足 的点 称为 的不动点，记之 为 。如果所有附近的点在迭代过程中 都趋向于某一不动点，则该不动点称为 吸引点。如果所有附近的 f (x) 0 x ( ), 0,1,.... xk+1 = f xk k = { }k x f (x) f (u) = u u f u →u

点都远离它,则它是排斥点。 例如,0与1是f(x不动点。0是 吸引点,1是排斥点。 如果 f()=l2,f(l2)=32…,f()=l1 则点集v12l2,形贼k个k循环 称为k周期点。k称为周期

点都远离它，则它是排斥点。 例如，0 与 1 是 的不动点。0 是 吸引点，1是排斥点。 如果 则点集 形成一个 k 循环。 称为 k 周期点。k称为周期。 2 f (x) = x 1 2 2 3 1 f (u ) u , f (u ) u , ..., f (u ) u = = k = u u uk , ,..., 1 2 u1

类似地,周期点也可以分吸引点与排斥 点。如果点L最终归宿于某个循环中, 则称它为预周期点。如1是的预周 期点。 迭代序列的收敛与发散性质不仅与函 数有,而且与初值的选择有关 例如,对于迭代 k+1 2x1+1 k

类似地，周期点也可以分吸引点与排斥 点。如果点 最终归宿于某个循环中， 则称它为预周期点。如 1 是 的预周 期点。 迭代序列 的收敛与发散性质不仅与函 数 有关， 而且与初值的选择有关。 例如，对于迭代 1 2 x − u { }k x f (x) 2 1 xk+1 = xk +

当初值x=时,迭代序列收敛,否则 发散

当初值 时， 迭代序列收敛，否则 发散。 1 0 x = −

二次函数的迭代 对二次函数1(x)=x选代 k+1-ar (1-x),k=0,1, 0<a<4 y=x 迭代的几何直观图 f(x0)

二、二次函数的迭代 • 对二次函数 做迭代: • 迭代的几何直观图 f (x) = ax (1− x) xk+1 = a xk (1− xk ), k = 0,1,  0  a  4 0 x ( ) 0 f x ( )1 f x y = x

练习1对几组不同的参数值a(如a=05 14以及不同的初值x观察迭代是否收 敛。 练习2取参数a=0不同的初值做迭代 麟你能找到一个吸引的不动点吗?一个 的不动点吗?哪些初值收敛到吸引的不动 点?哪些初值使序列发散?取不动的参数 回答同樺的问题。2,2.5

练习 1 对几组不同的参数值 （如 1.4)以及不同的初值 ，观察迭代是否收 敛。 练习 2 取参数 ，用不同的初值做迭代。 你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥 的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动 点？哪些初值使序列发散？取不动的参数 回答同样的问题。 a a = 0.5, 0 x a = 0.8 a = 1, 1.6, 2, 2.5

练习3找出一个参数(它对应的迭代 具有2周期点。这种性质依赖于初值吗? 练习4对任意的整数,你能找到一个 值使得它对应的迭代奠有周期点吗? 对哪些值能给出周期点?在每种情况 下,结果是否依赖于初值?(对 和的佳进行验证 34≤a≤363.6≤a≤4

练习 3 找出一个参数 使它对应的迭代 具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？ 练习 4 对任意的整数 ，你能找到一个 值使得它对应的迭代具有 周期点吗？ 对哪些 值能给出 周期点？在每种情况 下，结果是否依赖于初值？（对 和 的值进行验证） a k a k k k 3.4  a  3.6 3.6  a  4

练习5如果某个值能给出周期点,它 是否一定是吸引的周期点?你能否找到 排斥的周期点? 练习6根据前面的练习,试着从理论上 分析:如何求不动点?对哪些值对应 吸引的不动点?哪些值对应排斥的不 动点?初值对结果有什么影响?对周期 点做类似的分析

练习 5 如果某个 值能给出周期点，它 是否一定是吸引的周期点？你能否找到 排斥的周期点？ 练习 6 根据前面的练习，试着从理论上 分析：如何求不动点？对哪些 值对应 吸引的不动点？哪些 值对应排斥的不 动点？初值对结果有什么影响？对周期 点做类似的分析