《常微分方程》课程教学资源（PPT讲稿）第4讲 实常数

第四讲

第四讲

(I)形如 x++c 的方程, 其中aab,b2,2均为实常数

（II）形如 的方程， 其中 均为实常数         + + + + = 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c f dx dy 1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c ,c

注意到:当4=c2=0时,方程属齐次方程,从而可化为变量分离 方程.下面我们讨论当q2+2≠0时,方程的初等解法,为此分两种情形:

(14-0,即=么的情形 设==k,则方程可写成 中=f(ax+b+4 d (a,x +,y)+C2 令z=a2x+by,则方程化为 d k2+ a+5 2+c 这是变量分离方程,从而可用初等解法求解

(2)当0的情形 此时二元一次线性代数方程组4+4+4=0 存在唯一解 X=食 ax+b,y+C,=0 y=月 若作变量变换 「z=x-a 则原方程中 a+y+1 为 dF』a+r Y=y-月 aax+y+厂aa+y 此为关于x,r的齐次方程,从而也可用初等解法求解

综上所述,形如=4的方程,其中,A,均为实 ax+o, y+c 常数,可用初等解法求解

例8:解方程 中y-x-2 dx x+y+4 解:因为 2≠0,所以解代数方程组y x-2=0 得到 lx+y+4=0 作变量变换 r=y+1(=74/·则原方程为收y-E,这是齐 X=x+3 Bn[x=X-3 d x y+k 次方程.令2=,则此方程变为 a-1 2+2- dx 1 化简并变量分离,得到 x2+1 两边积分,得到4 l2) +arctan=-In X]+

化简并用z=代入,得到ψ F -arctan +2=C 因此原方程的通解为 x+32+y+=Cex书3

例9:解方程 中2x+4+3 xx+2+1 解因为0,=+,则原方程代为3打这是变量分离 方程.当52+7≠时,变量分离,得到 二g=d, +7 两边积分,得到 5.525 艺+=±g 化简并用2=x+2代入,得到通解 x++=c列10x

另外,x+1=0,即0y+也是解.如果在通解x2+=C10中 允许c=0,则0y+也就包含在x+2+=c10中.因此原方程 的解为 x+2+7-10x, 其中C为任意常数