中国科学技术大学：《数学实验》课程教学资源（实验讲稿PPT）实验二 π的计算（李尚志）

实验二:π的计算 想一想:怎样算π? 当一回祖冲之!

实验二:  的计算 想一想：怎样算  ？ 当一回祖冲之！

圆的面积 单位圆的面积等于兀 计算第一象限内的单位圆的面积, 方法为:把它分成n个窄的曲边梯形, 计算S大,S小,其中n可以为1000 10000

圆的面积 单位圆的面积等于  计算第一象限内的单位圆的面积， 方法为：把它分成n个窄的曲边梯形， 计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000,

数值积分法 0 ∫v/(1+x2)x= 2021/121

2021/1/21 数值积分法 4 1 (1 ) 4 1 1 0 2 1 0 2   + = − =   x dx x dx

梯形公式 f(x)xN[(f(a)+f(b)/2+ ∑f(x) b-a 々5X.=+ 2021/121

2021/1/21 梯形公式 i n b a x a n b a f x f x dx f a f b i n i i b a − = + −  + +   − = ( )] , ( ) [( ( ) ( ))/ 2 1 1

辛普森公式 b f(xdx lf(a+f(b)+ 4∑f(x105)+2∑f(x) b-a i=0 i=1 6n 2021/121

2021/1/21 辛普森公式 n b a f x f x f x dx f a f b n i i n i i b a 6 4 ( ) 2 ( )] ( ) [ ( ) ( ) 1 1 1 0 0.5 − +  + +    − = − = +

无穷级数法 agX=x×3/3+×5/5×77+×/9-… π/4=arcg1=1-1/3+1/5-1/7+1/9 收敛太慢! ×应当比1小很多,级数收敛才快 π/4=ac1/2+arc1/3 /4=4 arct 1/5-arctg 1/239

无穷级数法 arctg x =x-x 3 /3+x5 /5-x 7 /7+x9 /9-...  /4 = arctg 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 /4 = arctg 1/2 + arctg 1/3 /4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239

蒙特卡洛方法 求出S=/4占S 正方形ACBO 的比例。 随机投点P(Xy) P在圆内→x2+y2<1 丌/4的近似值为落在圆内B 的点数与总投点数的 比值 O A

蒙特卡洛方法 求出S=/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内x 2+y21 /4的近似值为落在圆内 的点数与总投点数的 比值 A S C B O

某次随机投点的结果 r0000000000008E上.E 2021/121

2021/1/21 某次随机投点的结果 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3.14800000000000013` 3.14800000000000013` 3.14800000000000013`

实验三:最佳分数近似值 问题 祖冲之的圆周率为 A.3.141592...B.355/113? 上述哪一个值更佳?

实验三: 最佳分数近似值 问题： 祖冲之的圆周率为 A. 3.141592… B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？

寻找最佳 最佳近似值:误差小,分母小 准确值z=π,分数近似值u/v, 误差d=kzu/v 选法1:递增选ⅴ,使d递减 选法2:递增选ⅴ,使vd递减。 选法3:以v2d小为佳,选十佳

寻找最佳 最佳近似值：误差小，分母小。 准确值 z=  , 分数近似值 u/v， 误差 d=|z-u/v|。 选法1：递增选v，使d递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：以v 2d小为佳，选十佳