《常微分方程》课程教学资源（PPT讲稿）第5讲 恰当方程与积分因子

第五讲

第五讲

523怡当方程与积分因子 恰当方程 二、积分因子

§2.3 恰当方程与积分因子 一、恰当方程 二、积分因子

接下来,我们探讨另外一类可用初等解法求解的方 程类型.为此,将—阶正规形微分方程中=(x改写成 f(x, yjdx-d=0,或更一般地,M(x,y)d+Mxy 的 形式,由前面的例子可以看到,把微分方程写成这种形 式的优点在于:既可以把y看成未知巫数,x看成自变量 也可以把x看成未知函数,y看成自变量.即变量x与变 壘y在方程中的地位是对称的,因此也常称形式为 M(x+(x)=0的方程为对称形式的微分方程

一、怡当方程

一、恰当方程

定义1:对于对称形式的微分方程Mx)ax+Mx)=0,如果存在可 微二元函数U(xy),使得M(x)dx+Mx)=0是x)的全微分,即 du(x,y)=m(x, y)dx+N(x, y)dy, 则称M(x)x+M0x,y)=0为怡当方程,或全微分方程 例如,x+y=0是恰当方程,因为可取U(x)=2+y; yx+x=0是恰当方程,此时可取U(x,y)=; yx-=0也是怡当方程,此时可取Ux)= arctan-, 5+y2

对于恰当方程,我们有下面的结果 命题1:如果M(xy)ax+Mxy)=0为恰当方程,即存在U(xy)使得 du(x, y)=M(x, y)dx +N(x, y)dy 则U(x=C为方程M(x+Mxy)=0的通解,这里C为任意常数

证明:只需证明U(xy=C为M(x川)ax+Mxy)=0的解,对任意的常 数C,设函数方程U(x=C确定的隐函数为y=(,),于是, U(x,,C)≡C,两边关于x微分,得到d(x,以(x,C)≡0,即 M(,ox, C))dx+N(, p(x, C)do(a, C)=0+ 故y=@(x,C为 M(x, y)dx+N(x, y)dy=0+ 的解,因为c为任意常数,所以Ux=C是 M(x, y)dx+N(a, y )dy =0 的通解

例1:求方程yx+x=0的通解 解:因为列)=x+x,所以yax+x=0为怡当方程,且通解为

问题:如何判断M(x,y)ax+M(xy)=0是否为恰当方程?如果它是恰 当方程,如何求U(xy?4

为解决这个问题,我们先回忆数学分析中的两个重要结果: 引哩理1:如果二元函数∫(x,y)的两个混合偏导数f在点(x)连续, J(邓)=f(xya)· 引理2:若M(x,Mxy)在矩形城G:a<x<b,<y<d内连续可微,则 含参量的积分1()=M(xy)在(c)可微,且 中 I()=a1M(xy)x=Mx冲