浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿，第三版）第五章 大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与 中心极限定理 大数定律 中心极限定理

第五章 大数定律与 中心极限定理 • 大数定律 • 中心极限定理

§1大数定律 依概率收敛p145 设{Yn}为随机变量序列,a为常数,若任给ε>0, 使得 lim Pir-ake=1 n→)0 则称Ⅸ卫依概率收敛于a.可记为 P

§1 大数定律 一.依概率收敛 p145 设{Yn}为随机变量序列，a为常数，若任给ε>0, 使得 lim {| − |< } = 1 →∞ P Y a ε n n 则称{Xn}依概率收敛于a. 可记为 Y a. P n ⎯⎯→

Xn>意思是:当n→>∞时,落在 (a-E,a+E)内的概率越来越大 C-8 a a+c 而Xn→a意思是:VE>0,3m0,当n>o X-a <8

X a P n → n → ∞ 时,X 意思是:当 n落在 (a −ε,a + ε ) 内的概率越来越大. Xn a −ε a a + ε ,当 0 n > n 0 而 Xn → a 意思是: ∀ε > 0,∃n | X − a |< ε n

二.几个常用的大数定律 1.切比雪夫大数定律设{,k=1,2,,}为独 立的随机变量序列,且有相同的数学期望μ,及 方差2,则 X=1=∑kk 即任给8>0,有 lim PiY-uke n→0 P|∑Xk=4k n→) k=1

二.几个常用的大数定律 1. 切比雪夫大数定律 设{X k,k=1,2,...}为独 立的随机变量序列，且有相同的数学期望 µ，及 方差 σ 2，则 = = ∑ ⎯⎯→ µ = P n k n X k n X Y 1 1 即任给 ε>0，有 | } 1 1 lim {| lim {| | } 1 = − < = − < ∑= → ∞ → ∞ µ ε µ ε n k k n n n X n P P Y

证明:由切比雪夫不等式 {Yn-E(Yn)ke}≥1 D(Y 这里 E()=∑E(X)=D(xn) ∑D(Xk) k=1 n k=1 2 故P{|n-k<8}≥1 ne lim PiYn-uke=l n→0

证明:由切比雪夫不等式 . ( ) {| ( ) | } 1 2 ε ε n n n D Y P Y − E Y < ≥ − 这里 = ∑ = µ = n k n E X k n E Y 1 ( ) 1 ( ) n D X n D Y n k n k 2 1 2 ( ) 1 ( ) σ = ∑ = = {| | } 1 . 2 2 ε σ µ ε n 故 P Yn − < ≥ − lim {| − |< } = 1 → ∞ µ ε n n P Y

定理的意义:P145 当n很大时,随机变量X1,…,X的算术 平均接近于数学期望E(x1)=E(x)==B(Kn)= 这种接近是在概率意义下的接近。 2.对于同一个r.V.X,进行n次独立观察,每次观 察的值为Xi,它们也是r.V.,当n充分大时,所有观 察值的算术平均依概率收敛于E(X) E(X):理论上的均值,X:实际得到的观察值的均 值,n很大时,两者会在概率意义下接近 3.第100的观察值也许比第10次的离μ远。但前 1000的平均值接近μ的概率应当比前10次的大

∑ = = n k Xk n X 1 1 定理的意义： P145 1. 当n很大时，随机变量X1，…，Xn的算术 平均接近于数学期望E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=µ. 这种接近是在概率意义下的接近。 X 2. 对于同一个 r.v.X，进行n次独立观察，每次观 察的值为Xi，它们也是r.v.，当n充分大时，所有观 察值的算术平均依概率收敛于E(X)。 E(X)：理论上的均值， ：实际得到的观察值的均 值，n很大时，两者会在概率意义下接近。 3. 第1000次的观察值也许比第10次的离µ远。但前 1000次的平均值接近µ的概率应当比前10次的大

2.伯努里大数定律进行n次独立重复试验,每次 试验中事件A发生的概率为p,记n为n次试验中事 件A发生的次数,f=为频率,则 当n→>O时,f→>p 证明 1第i次试验事件A发生 ′0第i次试验事件A不发生 则E(x,)=p,D(X)=p(-p) 由切比雪夫大数定理

2. 伯努里大数定律 进行n次独立重复试验，每次 试验中事件A发生的概率为p，记nA为n次试验中事 件A发生的次数， 为频率，则 n f p p 当 → ∞时， n → n n f A n = ⎩⎨⎧ = 01 Xi 第i次试验事件A发生 证明:设 第i次试验事件A不发生 则 E(X ) p, D(X ) p(1 p) i = i = − 由切比雪夫大数定理 p n X f P n i i n = → ∑ = 1

3.辛钦大数定律 若{x1,k=1.2,}为独立同分布随机变量序 列,EX1=μ0,有1imP{Yn-kE} n→0 =imP(∑X-ke} n→0 n k= 辛钦定律要求同分布,切比雪夫定律要求方差存在

3. 辛钦大数定律 若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序 列, EXk=µ 0，有 P Y 辛钦定律要求同分布，切比雪夫定律要求方差存在

§2.中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理Levy- Lindeberg) 设{X}为独立同分布随机变量序列,若E(X)=μ0,k=1,2,,则令随机变量 X,-nu 的分布函数为Fn(x) √nG imFn(x)=Φ(x)= e 2 dt 2丌

1. 独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若E(Xk)=µ0，k=1, 2, …, 则令随机变量 §2. 中心极限定理 σ µ n X n Y n k k n − = ∑ =1 Y F (x) n的分布函数为 n F x x e dt t x n n 2 2 2 1 lim ( ) ( ) − →∞ ∫−∞ = Φ = π

1.∑x标准化=E∑x)∑x-m ∑ k=1 D∑X) Nng k=1 2.y的分布函数为F(x) lim F(x)=Φ(x) n→ ∑Xk-m近似地 N(0,1)

σ µ n X n D X X E X Y n k k n k k n k k n k k n − = − = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = 1 1 1 1 ( ) ( ) ∑ = n k Xk 1 标准化 1. lim F (x) (x) n n = Φ →∞ Y F (x) 2. n的分布函数为 n σ µ n X n n k ∑ k − =1 近似地 3. ∼ N(0,1)