西安电子科技大学：《工程线性代数》课程PPT教学课件（MATLAB版）第二章 矩阵运算及其应用

第二章矩阵运算及其应用 n21矩阵的加减乘法 2.2矩阵的逆 23矩阵的分块 ■24初等矩阵 25应用实例 2.6习题

第二章 矩阵运算及其应用  2.1 矩阵的加减乘法  2.2 矩阵的逆  2.3 矩阵的分块  2.4 初等矩阵  2.5 应用实例  2.6 习题

2.1矩阵的加减乘法 n21.1矩阵的加法 定义21设有两个同型的m×矩阵A=(4 ×n B=(),矩阵A与矩阵B的和记作A+B, 规定为 a,+b +b +b +b A+B- a, +b an+b +6

2.1 矩阵的加减乘法  2.1.1 矩阵的加法 定义2.1 设有两个同型的 矩阵 ， ，矩阵A与矩阵B的和记作 ， 规定为： mn ( ij)m n a  A = ( ij)m n b  B = A + B 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + +   + + + =         + + + A + B

A=(a) 把a) 记作一A,称为 n×n A的负矩阵。显然有:A+(A)=0 由此可定义矩阵的减法为: A-B=A+L-B

若 ，把 记作 ，称为 A的负矩阵。显然有： 由此可定义矩阵的减法为： ( ij)m n a  A = ( ) m n aij  − −A A + -A O ( ) = A -B = A + -B( )

21.2矩阵的数乘 定义22数A与矩阵A=a)的乘积,简 称数乘,记作AA或Aλ,规定为 11 a 12 A a ZA=AZ n a a m2

 2.1.2 矩阵的数乘 定义2.2 数 与矩阵 的乘积，简 称数乘，记作 或 ，规定为  ( ij)m n a  A = A A 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a                = =         A A

矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算, 矩阵的线性运算满足下列运算规律(A、B C是同型矩阵,A、是数) (1)加法交换律A+B=B+A (2)加法结合律(+B)+C=A+(B+C (3)A+0=A (4)A+(-A)=0

矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算， 矩阵的线性运算满足下列运算规律（A、B、 C是同型矩阵， 、 是数） （1）加法交换律 （2）加法结合律 （3） （4）   A + B = B + A (A +B +C = A + B +C ) ( ) A+O = A A + -A = O ( )

5)1·A=A (6)()A=2(A)=(2A) (4+)A=A+∠A (8)数乘分配律 几(A+B)=AA+AB

（5） （6） （7） （8）数乘分配律 (    + = + )A A A    (A +B A B ) = + 1A = A (     )A A A = = ( ) ( )

n21.3矩阵的乘法 定义2.3设A是矩阵,B是矩阵,那么矩阵A 和矩阵B的乘积是一个矩阵C,其中 ∑ab=a1b1+a2b21+…+anb j=1,2 记作C=AB

 2.1.3 矩阵的乘法 定义2.3 设A是矩阵，B是矩阵，那么矩阵A 和矩阵B的乘积是一个矩阵C，其中 记作 C=AB i j i j i s s j s k ci j = ai kbkj = a b + a b + + a b = 1 1 2 2  1 i =1,2,  ,m; j =1,2,  ,n

由定义知,只有当第一个矩阵的列数和第 个矩阵的行数相等,即它们的内阶数相等 时,两个矩阵才能相乘 乘积矩阵的第()元素等于前一个矩阵的第 各元素与后一个矩阵的第/列相应元素乘 积之和,即: b

由定义知，只有当第一个矩阵的列数和第二 个矩阵的行数相等，即它们的内阶数相等 时，两个矩阵才能相乘。 乘积矩阵的第 元素等于前一个矩阵的第 行各元素与后一个矩阵的第 列相应元素乘 积之和，即： (i, j) i j

定义2.4对于变量yy2y,若它们都能由 x:x2,…xn变量线性表示,即有: y=a1x+an2 x2+.+ainIn y2=a21x1+a2x2+…+a2nx (2-1) an1x1+anX2+……+ax mn n 则称此关系式为变量xx到变量y 的线性变换

定义2.4 对于变量 ，若它们都能由 变量线性表示，即有： （2-1） 则称此关系式为变量 到变量 的线性变换。        = + + + = + + + = + + + m m m m n n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 m y , y , y 1 2 n x , x , x 1 2 n x , x , , x 1 2  m y , y , , y 1 2 

可以写成输出向量Y等于系数矩阵A左乘输入 向量X: yI anx Y=/2 n AX y m2

可以写成输出向量Y等于系数矩阵A左乘输入 向量X： 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 n n m m m mn n y a a a x y a a a x y a a a x                   = =                   Y = AX