浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿，第三版）第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数

第四章 随机变量的数字特征 • 随机变量的数学期望 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差和相关系数

§1数学期望 数学期望的定义 例某班40名学生的成绩及得分人数如下表所示: 分数4060708090100 人数 6915 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1×40+6×60+9×70+15×80+7×90+2×100 1+6+9+15+7+2 15 =40+60+70+80+90+100=765(分) 404040404040

§1数学期望 一.数学期望的定义 例 某班40名学生的成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 100 76.5( ) 402 90 407 80 4015 70 409 60 406 40 401 1 6 9 15 7 2 1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 分 + + + + + × + × + × + × + × + ×

·定义:若X-P{X=x}=pk,k=1,2,n,则称 E(X)=∑xkPk 为rX的数学期望,简称期望或均值 定义:(p110)若X~PⅨX=x}=pxk=1,2,且 ∑|xk|Pk<,则称E(X)=∑xkPk k=1 k=1 为rX的数学期望 数学期望—描述随机变量取值的平均特征

• 定义 : 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称 ∑ = = n k k k E X x p 1 ( ) 为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。 • 定义 ： (p110)若 X ~ P {X = xk} = pk, k=1,2,…,且 ( ) . 1 ∑ ∞ = = k k k ∑ < ∞ E X x p ∞ =1 | | k k k x p ，则称 为r.v.X的数学期望 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 描述随机变量取值的平均特征

例2掷一颗均匀的骰子,以X表示掷得的点数,求X 的数学期望 E(X)=∑(k)= 62 定义:若x-f(x,∞<x≤,|x|f(x)d< 则称 E(X)= Xf (x )dx 为X的数学期望。P(110) E(X)=∑xkPk k=1

例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X 的数学期望。 2 7 ) 6 1 ( ) ( 6 1 = ∑ ⋅ = i= E X k • 定义 : 若X~f(x), - ∞<x< ∞, ∫ ∞ − ∞ E ( X ) = xf ( x )dx . < ∞ ∫ ∞ − ∞ | x | f ( x )dx 则称 为 X 的数学期望 。P(110) ∑ = = n k k k E X x p 1 ( )

例3.若随机变量X服从拉普拉斯分布,其密度函数为 x f(x)=exps 试求E(X) 2 解 ()=x exp dx ∫",2c9e=∠

例3. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − λ µ λ x f x exp 2 1 ( ) 试求E(X). 解 dx x x E X ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − ∫ ∞ − ∞ λ µ λexp 2 ( ) { } t dt t x t λ λ λ λ µ µ exp | | 2 − + = ∫ ∞ − ∞ − 令 = = µ { } − = µ ∫ ∞ exp t dt 0

二.几个重要rv的期望 1.0-1分布的数学期望 X10 Pp 1-p E(X-p 2二项分布b(n,p) P(X=k=Cnp (1-p)k=0 E(X)=np

二.几个重要r.v.的期望 1. 0-1分布的数学期望 ⇒ P p − p X 1 1 0 E(X)=p 2. 二项分布b(n,p) P X k C p p k n k k n k n { = } = (1 − ) = 0.1,... − E ( X ) = np

证:B(=26060D(0Dy ∑ p(1-p) k k(k-1)(m-k) ∑ k-1 (1-p) n-1-(k-1) P k=1 (k-1)!(n-k)! 令=k-1m∑Cmp(-p)+ 1=0

∑ = − − − = n k k n k p p k n k n E X k 1 (1 ) !( )! ! 证一： ( ) k n k n k p p k n k n − = − − − = ∑ (1 ) ( 1)!( )! ! 1 1 1 ( 1) 1 (1 ) ( 1)!( )! ( 1)! − − − − = − − − − = ∑ k n k nk p p k n k n np l n l n l l l k np Cn p p − − − = = − ∑ − − 1 1 0 1 令 1 (1 ) = np

3.泊松分布 X PX=k k=0.1.2 k! E(X)=∑ke=ek k=0 kl ks(k-1l3 4.均匀分布U(a,b) X f(x)=b-aa<x< 0,其他 x atb E(X) dx a b

3.泊松分布 , 0, 1, 2, ... ! ~ { = } = = − e k k X P X k k λ λ ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − − = − = = 0 1 1 ; ! ( 1)! ( ) k k k k k e e k E X k λ λ λ λ λ λ 4. 均匀分布U(a, b) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ < < = − 0, , , , 1 ~ ( ) 其他 a x b X f x b a ∫ + = − = ba a b dx b a x E X ; 2 ( )

5.指数分布(p124) /0 f(x)=10 x>0 0x≤0 E(X)=∫xed=-xex 6 x/0 e +e-x/dx=0 0

5.指数分布（p124） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0 0 0 1 ( ) / x e x f x x θ θ = θ E X x e dx x ∫ ∞ − = 0 1 / ( ) θ θ ∫ ∞ − = − 0 x / θ xde xe e dx x x ∫ ∞ − ∞ − = − + 0 / 0 / θ θ

6.正态分布N(μ,?)p126 ⅹ~f(x) e 20 0<X<0 2丌G x x E(X)= 2 X at 2 2丌

6. 正态分布N(µ, σ2) p126 − ∞ < < ∞ π σ = σ −µ − e , x 2 1 X ~ f(x) 2 2 2 (x ) e dx x E X x 2 2 2 ( ) 2 ( ) σ µ π σ − ∞ − ∫− ∞ = ; 2 2 2 e dt x t t t σ π σ µ σ µ ∞ − ∫− ∞ − + 令 = = µ