《流体力学》课程授课教案（讲义）第四章 相似理论与量纲分析

第四章相似理论与量纲分析 在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段 来研究流体运动规律的物理本质。工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察 实验：另一种是工程性的模型实验。实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学 问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。 借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行 实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等：也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模 型实验，从而减少实验费用。而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合， 选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据 的整理和分析变得比较容易。因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而 且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。 第一节相似理论 为了能够使模型流动（以下标“m”表示）表现出原型流动（以下标“p”表示）的主要 现象和物理本质，并能从模型流动上预测原型流动的结果，必须使模型流动与原型流动保持 力学的相似关系，所谓力学相似是指模型流动和原型流动在对应部位上的对应物理量都应该 有一定的比例关系，具体说包括下列三个方面的内容。 一、几何相似 几何相似指原型与模型之间保持几何形状和几何尺寸的相似，也就是原型和模型的对应 边长保持一定的比例关系，对应角相等。设原型的线性长度为1。，模型的线性长度为'，两 者的比值用入，表示，称为尺度比例系数 (4-1) 而面积比例系数和体积比例系数可分别表示为

1 第四章 相似理论与量纲分析 在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段 来研究流体运动规律的物理本质。工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察 实验；另一种是工程性的模型实验。实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学 问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。 借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行 实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模 型实验，从而减少实验费用。而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合， 选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据 的整理和分析变得比较容易。因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而 且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。 第一节 相似理论 为了能够使模型流动（以下标“m”表示）表现出原型流动（以下标“p”表示）的主要 现象和物理本质，并能从模型流动上预测原型流动的结果，必须使模型流动与原型流动保持 力学的相似关系，所谓力学相似是指模型流动和原型流动在对应部位上的对应物理量都应该 有一定的比例关系，具体说包括下列三个方面的内容。 一、几何相似 几何相似指原型与模型之间保持几何形状和几何尺寸的相似，也就是原型和模型的对应 边长保持一定的比例关系，对应角相等。设原型的线性长度为 p l ，模型的线性长度为 m l ，两 者的比值用 l 表示，称为尺度比例系数 m P l l l  = （4-1） 而面积比例系数和体积比例系数可分别表示为 2 l m P A A A  = = 

(4-2) 二、运动相似 运动相似是指原型流动与模型流动的流线几何相似，而且对应点上的速度成比例，或者 说，两个流动的速度场是几何相似的。设时间比例系数为入， 则速度比例系数入，可以写为 Vi (43) 运动相似是建立在几何相似基础上的，在尺度比例系数一定的情况下，运动相似只要确 定时间比例系数，就可以了，所以运动相似也称为时间相似，几何相似也称为空间相似。这 样，其他一些运动学物理量的比例系数均可表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合， 例如，加速度比例系数入和角速度比例系数入可以表示为 九=2 = (44) 运动粘度系数、流量都具有运动学的量纲，因此运动粘度比例系数、流量比例系数入， 可以分别表示为 ==对 元，=92=龙 (4-5)

2 3 l m P V V V  = =  （4-2） 二、运动相似 运动相似是指原型流动与模型流动的流线几何相似，而且对应点上的速度成比例，或者 说，两个流动的速度场是几何相似的。设时间比例系数为 t m p t t t  = 则速度比例系数 v 可以写为 t l m p v v v    = = （4-3） 运动相似是建立在几何相似基础上的，在尺度比例系数一定的情况下，运动相似只要确 定时间比例系数 t 就可以了，所以运动相似也称为时间相似，几何相似也称为空间相似。这 样，其他一些运动学物理量的比例系数均可表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合， 例如，加速度比例系数  a 和角速度比例系数  可以表示为 −2 a = lt −1  = t （4-4） 运动粘度系数、流量都具有运动学的量纲，因此运动粘度比例系数  、流量比例系数  q 可以分别表示为 2 −1 = = l t m p      3 −1 = = l t m p q q q    （4-5）

三、动力相似 动力相似是指原型流动和模型流动中对应点上作用者同名的力，各同名力的方向相同且 具有同一比例。设为力比例系数 (4-6 力比例系数也可写成 e=九。=(0月X2)=元及 (4.7) 同样，可以写出其它力学量的比例系数，如力矩M、功率P、压强P、动力粘度“的比 例系数可分别表示为 微 1p=y=1,是 ，===元， 成经从 (4-8) 上述公式表明，要使模型流动和原型流动相似，需要这两个流动在几何相似和运动相似 的条件下受力相似，后者又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动 和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准数都相等。 四、相似准则 描写流体运动和受力关系的是流体运动微分方程（动力学方程）。两个相似流动必须满足 同一运动微分方程(NS方程)。现分别写出模型流动和原型流动的不可压缩流体的运动微分 方程标量形式第一式 1 OP+v,AV

3 三、动力相似 动力相似是指原型流动和模型流动中对应点上作用着同名的力，各同名力的方向相同且 具有同一比例。设  F 为力比例系数 m p F F F  = （4-6） 力比例系数也可写成 3 2 2 2 ( )( )  F = ma = l lt = l v − （4-7） 同样，可以写出其它力学量的比例系数，如力矩 M 、功率 P 、压强 p 、动力粘度  的比 例系数可分别表示为 3 2 ( ) ( ) l v m p M Fl Fl  = =   1 2 3  P =  M t = l v − 2 v A F m p p p p      = = =  l v m p        = =  （4-8） 上述公式表明，要使模型流动和原型流动相似，需要这两个流动在几何相似和运动相似 的条件下受力相似，后者又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动 和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准数都相等。 四、相似准则 描写流体运动和受力关系的是流体运动微分方程（动力学方程）。两个相似流动必须满足 同一运动微分方程（N-S 方程）。现分别写出模型流动和原型流动的不可压缩流体的运动微分 方程标量形式第一式 p xp p p p xp p xp z p p xp yp p xp xp p xp v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1

容器》0人接w pdx (49) 所有同类物理量均具有同一比例系数，因此有 xp=xm;yp=》m2p=m Vp=入，Vm；Vp=入ym;Vp=元ym In Atmi Pe=hopa:Vyn=Awvm Pe=hppa:Ir=Ayfm 由对模型的和原型的两运动微分方程以及同类物理量有同一比例的关系并经对比可写出下式 1p-入入 (1)(2)(3)(4)(5) 上述5项分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、法向表面力压力、切向表 面力-摩擦力，因此上式就表示模型流动与原型流动的力多边形相似。 将上式中的位变惯性力]除全式，可得 (1) (2)(3)(4) (4-10) 上式中的(1)、(2、(3)、(4)项表示模型流动和原型流动在动力相似时各比例系数之间有 一个约束，并非各比例系数的数值可以随使取值。对其进一步分析可以得到以下各相以准购 (相似准数)： (一)斯特劳哈(Strouhal)相似准数S,=Ivt 这是由式(4-10)第一项得出的，由此 (411) (4-12) 令S=品动力相似中要求S=5 斯特劳哈相似准数是一个无量纲的量，它是由I,1这三个物理量以上述形式组合的 4

4 m xm m m m xm m xm zm m xm ym m xm xm m xm v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1 （4-9） 所有同类物理量均具有同一比例系数，因此有 p t m p m xp xm p p m p f m xp v xm yp v yxm z p v z m p l m p l m p l m t t p p f f v v v v v v x x y y z z                = =  =  = = = = = = = = ; ; ; ; ; ; 由对模型的和原型的两运动微分方程以及同类物理量有同一比例的关系并经对比可写出下式 2 2 l v l p g l v t v              = = = = （1）（2） （3） （4） （5） 上述 5 项分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、法向表面力-压力、切向表 面力-摩擦力，因此上式就表示模型流动与原型流动的力多边形相似。 将上式中的位变惯性力       l v   2 除全式，可得 v l v p v l g v t l               = = = = 2 2 1 （1） （2） （3） （4） （4-10） 上式中的（1）、（2）、（3）、（4）项表示模型流动和原型流动在动力相似时各比例系数之间有 一个约束，并非各比例系数的数值可以随便取值。对其进一步分析可以得到以下各相似准则 （相似准数）： （一）斯特劳哈（Strouhal）相似准数 S l vt r = 这是由式(4-10)第一项得出的，由此 = 1 v t l    （4-11） m p m p m p t t v v l l = （4-12） 令 vt l Sr = ，动力相似中要求 Srm = Srp 斯特劳哈相似准数是一个无量纲的量，它是由 l ， v ， t 这三个物理量以上述形式组合的

一个物理量。它代表了时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流动运动随时间变化的情况， 也称为非定常相似准数。 (二)弗劳德(Froude)相似准数F=v2/gl 这是由式(410)第二项得出的，由此 2 名秀1 (413 vi gml (4.14) 动力相似中要求F=5, 弗劳德相似准数是一个无量纲的量，它是由V,g,I这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中惯性力和重力之比，反映了流体中重力作用的影响程度，也称 为重力相似准数。 (三)欧拉(Euler)相似准数E。=plpm 这是由式(410)第三项得出的，由此 (4-15) Pe-Ppvi P.P v2 (4-16 令E,=尽，动力相似中要求E。=E即 欧拉相似准数是一个无量纲的量，它是由P,PV,这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中所受的压力和惯性力之比，也称为压力相似准数。 (四)雷诺(Reynolds)相似准数R=vl=pwl4 这是由式(410)第四项得出的，由此 5

5 一个物理量。它代表了时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流动运动随时间变化的情况， 也称为非定常相似准数。 （二）弗劳德（Froude）相似准数 F v gl r 2 = 这是由式(4-10)第二项得出的，由此 1 2 = g l v    （4-13） m p m p m p l l g g v v = 2 2 （4-14） 令 gl v Fr 2 = ，动力相似中要求 Frm = Frp 弗劳德相似准数是一个无量纲的量，它是由 v ， g ， l 这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中惯性力和重力之比，反映了流体中重力作用的影响程度，也称 为重力相似准数。 （三）欧拉（Euler）相似准数 2 E p v u =  这是由式(4-10)第三项得出的，由此 1 2 = v p     （4-15） 2 2 m p m p m p v v p p   = （4-16） 令 2 v p Eu  = ，动力相似中要求 Eum = Eup 欧拉相似准数是一个无量纲的量，它是由 p ，  v ，这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中所受的压力和惯性力之比，也称为压力相似准数。 （四）雷诺（Reynolds）相似准数 Re = vl  = vl/  这是由式(4-10)第四项得出的，由此

22-边=1 (4-17 valPavalYoe-Pevdle DuU。H。 (4-18) 令R==2,动力相似中要求R。=R 雷诺相似准数是一个无量纲的量，它是由,1,U,这三个物理量，或者是,1,P, !组合的一个物理量。它代表了流动中的惯性力和所受的粘性力之比，也称为粘性力相似准 (五)马赫(Mach)相似准数M=c 除上述几个相似准数以外，我们可以从其他流动方程中推得另外一些相似准数。如我们 用。表示声速一微小扰动在流体中的传播速度，则对可压缩流动，由 c2= dp 及式(4-8)得 1 (419) 令M。=二，动力相似中婴求M=M。 即模型流动的马赫数的数值应该和原型流动的马赫数数值相等。马赫相似准数也是一个 无量纲量，是”，℃这两个物理量以上述形式组合的一个综合物理量。它代表流动中的压缩 程度，也称为弹性力相似准数。M。1为超音速流动。一般说，马 赫数小于0.15可以作为不可压缩流动处理 还可以推出很多相似准数。动力相似若用相似准数来表示，则有S=Sm,F。=F。, E.=Er,R-Ra,Mm =Ma. 因此，动力相似也就意味着模型流动和原型流动中，各同名相似准数均应相等。但从各 相似准数的表达式可以看出，并不是所有相似准数之间都是相容的。例如如果考虑原型和模 型的重力和粘性力同时满足相似，也就是说保证原型和模型的弗劳得相似准数和雷诺相似准 6

6 = = 1           v l v l （4-17） p p p p p p p m m m m m m m v l v l v l v l       = = = （4-18） 令    vl vl Re = = ，动力相似中要求 Rem = Rep 雷诺相似准数是一个无量纲的量，它是由 v ，l ， ，这三个物理量，或者是 v ，l ， ，  组合的一个物理量。它代表了流动中的惯性力和所受的粘性力之比，也称为粘性力相似准 数。 （五）马赫（Mach）相似准数 M v c a = 除上述几个相似准数以外，我们可以从其他流动方程中推得另外一些相似准数。如我们 用 c 表示声速——微小扰动在流体中的传播速度，则对可压缩流动，由 d dp c = 2 及式(4-8)得 =1 c v   （4-19） 令 c v M a = ，动力相似中要求 M am = M ap 即模型流动的马赫数的数值应该和原型流动的马赫数数值相等。马赫相似准数也是一个 无量纲量，是 v， c 这两个物理量以上述形式组合的一个综合物理量。它代表流动中的压缩 程度，也称为弹性力相似准数。 Ma 1 为亚音速流动； M a  1 为超音速流动。一般说，马 赫数小于 0.15 可以作为不可压缩流动处理。 还可以推出很多相似准数。动力相似若用相似准数来表示，则有 Srm = Srp ， Frm = Frp ， Erm = Erp， Rem = Rep ， M am = M ap . 因此，动力相似也就意味着模型流动和原型流动中，各同名相似准数均应相等。但从各 相似准数的表达式可以看出，并不是所有相似准数之间都是相容的。例如如果考虑原型和模 型的重力和粘性力同时满足相似，也就是说保证原型和模型的弗劳得相似准数和雷诺相似准

数一一对应相等，由式(4-13)、(4-17)分别得到 2,= (4-23) 人房 (4-24 般元。=1，则式(4-23)变为 元=瓦 (4-25) 由式(4-24)可得 2,=元2=V· 也就是说，要实现两流动相似，原型和模型的流速比例系数入，应为√，而流体运动粘度比 例系数必须满足，=沙，通常后一条件难以实现。即使模型与原型采用同一种介质，即 入，=1，则入=1，即模型尺寸与原型尺寸完全一致，模型实验研究就失去了意义。因此， 模型流动和原型流动之间达到完全的动力相似实际上是达不到的。所以流体力学中寻求的是 主要动力相似，而不是完全的动力相似。 如何选择主要动力相似？这主要根据所研究流体的流动的性质来决定。如水利工程中的 明渠流以及江、河、溪流，都是以水位落差形式表现的重力来支配流动的，对于这些以重力 起支配作用的流动，应该以弗劳德相似准数做为决定性相似准数。有不少流动需要求流动中 的粘性力，或者求流动中的水力阻力或水头损失，如管道流动、流体机械中的流动、液压技 术中的流动等，此时应当以满足雷诺相似准数为主，R就是决定性相似准数。对于非定常流 动，如流体在旋转叶轮叶片间的流道中的流动，应当以满足斯特劳哈相似准数为主，就是 决定性相似参数。对于可压缩流动，应当以满足马赫相似准数，就是决定性相似准数。 对于E这个相似准数，它代表了流场的速度和压力关系，由流动的基本方程，在满足流动 相似的条件下，其压力场也相似。因此在其他相似准数作为决定性相似准数相等时，欧拉相 似准数能够同时满足。 例题一个物体浸没在油中(p=864kg/m2,4=0.0258Pa·s)以y。=13.72m/s的速度 水平运动，为了研究这一运动过程，一个尺度比例系数为8：1的放大模型浸没在15℃的水 中进行模型实验。为了达到动力相似的条件，试确定放大模型在水中的运动速度。假如放大 模型的粘性阻力为3.56N,请预测原型的粘性阻力

7 数一一对应相等，由式(4-13)、(4-17)分别得到 v = l g （4-23） l v     = （4-24） 一般  g = 1 ，则式（4-23）变为 v = l （4-25） 由式（4-24）可得  vl l l = =  也就是说，要实现两流动相似，原型和模型的流速比例系数 v 应为 l ，而流体运动粘度比 例系数必须满足 3 2  = l ，通常后一条件难以实现。即使模型与原型采用同一种介质，即  = 1 ，则 l =1 ，即模型尺寸与原型尺寸完全一致，模型实验研究就失去了意义。因此， 模型流动和原型流动之间达到完全的动力相似实际上是达不到的。所以流体力学中寻求的是 主要动力相似，而不是完全的动力相似。 如何选择主要动力相似？这主要根据所研究流体的流动的性质来决定。如水利工程中的 明渠流以及江、河、溪流，都是以水位落差形式表现的重力来支配流动的，对于这些以重力 起支配作用的流动，应该以弗劳德相似准数做为决定性相似准数。有不少流动需要求流动中 的粘性力，或者求流动中的水力阻力或水头损失，如管道流动、流体机械中的流动、液压技 术中的流动等，此时应当以满足雷诺相似准数为主， Re 就是决定性相似准数。对于非定常流 动，如流体在旋转叶轮叶片间的流道中的流动，应当以满足斯特劳哈相似准数为主， Sr 就是 决定性相似参数。对于可压缩流动，应当以满足马赫相似准数， Ma 就是决定性相似准数。 对于 Eu 这个相似准数，它代表了流场的速度和压力关系，由流动的基本方程，在满足流动 相似的条件下，其压力场也相似。因此在其他相似准数作为决定性相似准数相等时，欧拉相 似准数能够同时满足。 例题 一个物体浸没在油中（ = 864kg / m , = 0.0258 Pa s 3   ）以 v m s p = 13.72 / 的速度 水平运动，为了研究这一运动过程，一个尺度比例系数为 8：1 的放大模型浸没在 15℃的水 中进行模型实验。为了达到动力相似的条件，试确定放大模型在水中的运动速度。假如放大 模型的粘性阻力为 3.56N，请预测原型的粘性阻力

解：物体浸没在液体中运动，考虑粘性阻力作用将雷诺相似准数作为决定性相似准数 原型动力粘度系数”， 42=0.02584=2.99×10-m21s 864 模型动力粘度系数对于15℃的水vm=1.141×106m2/s 由雷送相创准炸物R=地三二=Kp且广=及，v。=13.72/。 UU。 得到m=0.065m/s 根据式(4-6)，(4-7) Ar-FPVil 864×13.722×12 1000x0.063×8=601.47 F。=×元n=601.47×3.56=2142.2N 第二节量纲分析 一、量纲分析的基本概念 物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用dim表示。一个物理量可以用 不同的单位度量，但量纲却是唯一的。例如长度、宽度、高度、厚度、深度都可以用米、英 尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲L。 由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系，在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作 为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。基本量纲是相 互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间(M L、T)作为基本量纲。 在一般的力学问题中，任意一个物理量B的量纲都可以用M,L,T这三个基本量纲的 指数乘积来表示 dim B=M'L'T 在量纲分析中，有一些物理量的量纲为1，称为无量纲量，用MLT表示。无量纲量就 是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成的综合表达。例如雷诺相似准数的量纲 为一个无量纲的量。为了区别于纯数，把无量纲量看成是由多个物理量组成的综合物理量更 合适些，如我们应该把雷诺相似准数R看成由流速y、特征尺度/和流体运动粘度系数)这 三个物理量的综合表达，或者把它看成由流速、特征尺度1、流体密度和流体动力粘度系 8

8 解：物体浸没在液体中运动，考虑粘性阻力作用将雷诺相似准数作为决定性相似准数 原型动力粘度系数 m s p p p 2.99 10 / 864 0.02584 −5 2 = = =     模型动力粘度系数对于 15℃的水 m s m 1.141 10 / −6 2  =  由雷诺相似准数 ep p p p m m m em R v l v l R = = =   且 8 1 = m p l l ，v m s p = 13.72 / 得到 v m s m = 0.065 / 根据式（4-6），（4-7） 601.47 1000 0.065 8 864 13.72 1 2 2 2 2 2 2 2 2 =     = = = m m m p p p m p F v l v l F F    Fp =  F   m = 601.473.56 = 2142.2 N 第二节 量纲分析 一、量纲分析的基本概念 物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用 dim 表示。一个物理量可以用 不同的单位度量，但量纲却是唯一的。例如长度、宽度、高度、厚度、深度都可以用米、英 尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲 L。 由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系，在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作 为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。基本量纲是相 互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间（M、 L、T）作为基本量纲。 在一般的力学问题中，任意一个物理量 B 的量纲都可以用 M， L，T 这三个基本量纲的 指数乘积来表示 dim B =Mα L β T γ 在量纲分析中，有一些物理量的量纲为 1 ，称为无量纲量，用 M0L 0T 0 表示。无量纲量就 是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成的综合表达。例如雷诺相似准数的量纲 dim Re = dim （  vl ）= 0 0 0 2 1 1 M L T L T LT L = − − 为一个无量纲的量。为了区别于纯数，把无量纲量看成是由多个物理量组成的综合物理量更 合适些，如我们应该把雷诺相似准数 Re 看成由流速 v 、特征尺度 l 和流体运动粘度系数  这 三个物理量的综合表达，或者把它看成由流速 v 、特征尺度 l 、流体密度  和流体动力粘度系

数这四个物理量的综合表达。 二、量纲一致性原理 量纲一致性原理是指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项 的量纲应该都是和谐的、一致的、齐次的，也叫做量纲和谐性原理或量纲齐次性原理。这个 原理告诉我们，一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该都是相同的。如连续方程及其 量纲 可4= 可2A= (=(}=, 连续方程中每一项的量纲都是T,也就是流量的量纲。又如理想流体的能量方程及 其量 1v2 2+ C 28 MLT-2 L2T-2 L 这表示理想流体的能量方程中各项的量纲都是L,就是尺度的量纲，表示流体所具有的能量。 反过来，我们也可以检查一个物理方程正确与否。若一个物理方程每一项的量纲不完全一致， 则这个物理方程就不会是一个正确的方程，但是不包括工程技术中由观测资料整理得到的 些经验公式 量纲一致性原理是量纲分析法的理论依据。 三、量纲分析与Π定理 量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析， 将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关 系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，可以用于指导理论分析和实验研 量纲分析的步骤为： 1.列出所有与该物理现象有关的变量。它取决于我们对流动过程的理解、观察和分析， 对流动过程中的的重要变量要保留，而一些次要变量可以忽略： 2.将这些变量的量纲用基本量纲M,L,T表示出来： 3.将变量组成由基本量纲M,L,T表示的量纲一致的函数关系（通常为各变量指数乘积 关系)： 4.将各量的量纲代入上面的函数关系 5.利用函数关系式的量纲的一致性，对各基本量纲的指数列出代数方程，联立求解方程， 9

9 数  这四个物理量的综合表达。 二、量纲一致性原理 量纲一致性原理是指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项 的量纲应该都是和谐的、一致的、齐次的，也叫做量纲和谐性原理或量纲齐次性原理。这个 原理告诉我们，一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该都是相同的。如连续方程及其 量纲 2 3 1 2 3 1 3 1 1 1 2 2 , , − − −  =       =      = = L L T L T T L L L T T L v A v A C 连续方程中每一项的量纲都是 3 −1 L T ，也就是流量的量纲。又如理想流体的能量方程及 其量纲 L L L T L T L ML T ML T L C g v g p z , , , 2 2 2 2 2 2 1 2 2 = = + + = − − − − − −  这表示理想流体的能量方程中各项的量纲都是 L ，就是尺度的量纲，表示流体所具有的能量。 反过来，我们也可以检查一个物理方程正确与否。若一个物理方程每一项的量纲不完全一致， 则这个物理方程就不会是一个正确的方程，但是不包括工程技术中由观测资料整理得到的一 些经验公式。 量纲一致性原理是量纲分析法的理论依据。 三、量纲分析与Π定理 量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析， 将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关 系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，可以用于指导理论分析和实验研 究。 量纲分析的步骤为： 1. 列出所有与该物理现象有关的变量。它取决于我们对流动过程的理解、观察和分析， 对流动过程中的的重要变量要保留，而一些次要变量可以忽略； 2. 将这些变量的量纲用基本量纲 M，L，T 表示出来； 3. 将变量组成由基本量纲 M，L，T 表示的量纲一致的函数关系（通常为各变量指数乘积 关系）； 4. 将各量的量纲代入上面的函数关系； 5. 利用函数关系式的量纲的一致性，对各基本量纲的指数列出代数方程，联立求解方程

将所得的指数代入函数中，得到函数的具体形式： 下面介绍量纲分析方法中得到广泛应用的n定理(Buckingham定理)。 对于某个流动现象或某个流动过程，如果存在有个变量互为函数关系 f(a1,a2,a,an)=0 (4-26 而这些变量中含有m个基本量纲，则可把这n个有量纲的变量的函数关系转换成(n一m)个 无量纲量的函数关系 F(π1，π2，π3，.，πmm)=0 (4-27 上面这个函数关系式全部是无量纲量元，(=1,2,3，n-m)。 这个定理表达出了物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少m个，更主要 的是，这个定理把流动现象或流动过程更概括地表示在此函数关系中。下面举例说明π定理 的应用。 例题在水平等直径的圆管内流动的流体的压降△p与下列因素有关：管径d,管长1，管壁 粗精度△，管内流体密度P,流体的动力粘度4，以及断面平均流速下等有关。试用Ⅱ定理 推出压降△p的表达式。 解：所求问愿的函数关系表达式可以表示为 f(△p,P,4,下，d,0=0 式中物理量的个数为n=7,采用基本量纲M,L,T,m=3,根据Π定理，这n个物理量的 关系式可以转换成(m)=4个无量纲量的函数关系式 F(，2，π3，π4)=0 从7个物理量中选出3个基本物理量D,下，这三个基本量的量纲中包含了M,L, T这3个基本量纲，可以用它们组成4个无量纲量 π1=lp“下4dn π2=△p下4dn T3=4p%下%d π4=△pp下dn 其中a,B,(为i=1,2,3)为待定系数. 写出各π数方程的量纲式 dimπ，=L(ML3)(LT-)A(L)n=ML'T

10 将所得的指数代入函数中，得到函数的具体形式； 下面介绍量纲分析方法中得到广泛应用的Π定理（Buckingham 定理）。 对于某个流动现象或某个流动过程，如果存在有 n 个变量互为函数关系 f (a1 ,a2 ,a3 ,  ,an ) = 0 （4-26） 而这些变量中含有 m 个基本量纲，则可把这 n 个有量纲的变量的函数关系转换成 (n − m) 个 无量纲量的函数关系 F( 1 , 2 , 3 ,  , n−m ) = 0 （4-27） 上面这个函数关系式全部是无量纲量 (i 1,2,3,n m)  i = − 。 这个定理表达出了物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少 m 个，更主要 的是，这个定理把流动现象或流动过程更概括地表示在此函数关系中。下面举例说明  定理 的应用。 例题 在水平等直径的圆管内流动的流体的压降 p 与下列因素有关：管径 d ，管长 l ，管壁 粗糙度  ，管内流体密度  ，流体的动力粘度  ，以及断面平均流速 v 等有关。试用Π定理 推出压降 p 的表达式。 解：所求问题的函数关系表达式可以表示为 f (p, ,,,v,d,l) = 0 式中物理量的个数为 n=7， 采用基本量纲 M，L，T，m=3，根据Π定理，这 n 个物理量的 关系式可以转换成（n-m）=4 个无量纲量的函数关系式 F( 1 , 2 , 3 , 4 ) = 0 从 7 个物理量中选出 3 个基本物理量  ， v ， d ，这三个基本量的量纲中包含了 M，L， T 这 3 个基本量纲，可以用它们组成 4 个无量纲量 1 1 1 1     = l v d 2 2 2 2     =  v d 3 3 3 3     =  v d 4 4 4 4     = p v d 其中  i ，  i ， i  （为 i=1，2，3）为待定系数。 写出各  数方程的量纲式 3 1 0 0 0 1 1 1 1 dim = L (ML ) (LT ) (L) = M L T −  −   