《流体力学》课程授课教案（讲义）第七章 粘性流体动力学基础

第七章粘性流体动力学基础 第一节粘性流体运动的基本方程 采用流体力学微元体平衡分析方法可以推导出粘性流体运动的基本方程组，该方法可参 老木书的第二章和第三意。本节将直接由两大宇相定律（质量宇恒定律和动量宇相定律）来 建立控制流体运动的基本方程组。首先需要给出空间某点物理量的随体时间导数表达式、 诺输运方程以及本构关系。 一、随体导数 描述流体运动规律有拉格朗日和欧拉两种基本方法，拉格朗日法着眼于确定的流体质点， 观察它的位置随时间的变化规律。欧拉法着眼于从空间坐标去研究流体流动，它的描述对象 是流场。随体导数的物理意义是：将流体质点物理量q的拉格朗日变化率以欧拉导数的形式 表示出来。随体时间导数的数学表达式为： (7-1) 式中右边第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成 的变化率，叫做当地导数。第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引 起的变化率。这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。 二、雷诺输运方程 雷诺输运方程描述了积分形式的拉格朗日法和欧拉法的时间导数的变换关系。设封闭系 统在1时刻占有体积2()，如图7-1所示。其中关于物理量g的总量的随体时间导数有

1 第七章 粘性流体动力学基础 第一节 粘性流体运动的基本方程 采用流体力学微元体平衡分析方法可以推导出粘性流体运动的基本方程组，该方法可参 考本书的第二章和第三章。本节将直接由两大守恒定律（质量守恒定律和动量守恒定律）来 建立控制流体运动的基本方程组。首先需要给出空间某点物理量的随体时间导数表达式、雷 诺输运方程以及本构关系。 一、随体导数 描述流体运动规律有拉格朗日和欧拉两种基本方法。拉格朗日法着眼于确定的流体质点， 观察它的位置随时间的变化规律。欧拉法着眼于从空间坐标去研究流体流动，它的描述对象 是流场。随体导数的物理意义是：将流体质点物理量 q 的拉格朗日变化率以欧拉导数的形式 表示出来。随体时间导数的数学表达式为： (V )q t q dt dq = +     (7-1) 式中右边第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成 的变化率，叫做当地导数。第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引 起的变化率。这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。 二、雷诺输运方程 雷诺输运方程描述了积分形式的拉格朗日法和欧拉法的时间导数的变换关系。设封闭系 统在 t 时刻占有体积 (t) ，如图7-1所示。其中关于物理量 q 的总量的随体时间导数有

图71封闭系统输运示意图 品耶m-会n+oF- (7-2) 其中S)为封闭体积的曲面，万为曲面的法向向量。上式表明：封闭系统中，某物理量总和 的随体导数等于该瞬间与该系统重合的控制域中该物理量总和的当地时间导数（非定常效应） 和通过控制面流出的该物理量的流量（对流效应）之和，此即为流体的雷诺输运方程。用广 义的高斯公式将面积分转换成体积分，上式也可以写成 孟孤n-g+-6n (7-3) 2d) 三、连续方程 连续性方程反映了流体在运动过程中必须满足质量守恒定律。其中拉格朗日法的研究对 象是流体中一个确定质量的流体物质团（称为封闭系统），随着流体的运动，封闭系统的表 面的位置会不断随时间而变化，但没有流体穿过它的边界。质量守恒定律可表述为：封闭系 统内流体的质量在流体运动的过程中不发生变化。而欧拉法的研究对象则是流场空间中一个 周定的区域（称为控制域），控制域表面的位置不随时间而变化，由于流体的运动，控制域 的表面通常会有流体通过。质量守恒定律可表述为：控制域内流体质量随时间的增加与流体 经控制体表面流入的质量相等。 在式(7-3)中令g=p,可得连续方程 v.c)o-o (7-4) 考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，上式可以写成 g+(网=0 (7-5) 这是基于欧拉观点的微分形式的连续方程。它表明控制体中流体质量在单位时间内的增加来 自流体质量经控制体表面的流入速率。将随体时间导数表达式代入上式，便得到基于拉格朗 日观点的微分形式的连续方程。 (7-6) 对于不可压缩流动，恒有dp/山=0成立，此时连续方程简化为 V.f=0 (7-7 2

2 图 7-1 封闭系统输运示意图 ( ) ( ) ( )     =  +   t  t S t d qV ndS t q qd dt d     (7-2) 其中 S(t) 为封闭体积的曲面， n  为曲面的法向向量。上式表明：封闭系统中，某物理量总和 的随体导数等于该瞬间与该系统重合的控制域中该物理量总和的当地时间导数（非定常效应） 和通过控制面流出的该物理量的流量（对流效应）之和，此即为流体的雷诺输运方程。用广 义的高斯公式将面积分转换成体积分，上式也可以写成 ( ) ( ) ( )       qV d t q qd dt d t t         = +    (7-3) 三、连续方程 连续性方程反映了流体在运动过程中必须满足质量守恒定律。其中拉格朗日法的研究对 象是流体中一个确定质量的流体物质团（称为封闭系统），随着流体的运动，封闭系统的表 面的位置会不断随时间而变化，但没有流体穿过它的边界。质量守恒定律可表述为：封闭系 统内流体的质量在流体运动的过程中不发生变化。而欧拉法的研究对象则是流场空间中一个 固定的区域（称为控制域），控制域表面的位置不随时间而变化，由于流体的运动，控制域 的表面通常会有流体通过。质量守恒定律可表述为：控制域内流体质量随时间的增加与流体 经控制体表面流入的质量相等。 在式(7-3)中令 q =  ，可得连续方程 ( ) ( ) = 0       +         V d t t  (7-4) 考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，上式可以写成 ( )    t +   V =  0 (7-5) 这是基于欧拉观点的微分形式的连续方程。它表明控制体中流体质量在单位时间内的增加来 自流体质量经控制体表面的流入速率。将随体时间导数表达式代入上式，便得到基于拉格朗 日观点的微分形式的连续方程。 1 0  d dt +  V =  (7-6) 对于不可压缩流动，恒有 d / dt = 0 成立，此时连续方程简化为   =  V 0 (7-7)

连续方程仅反映了流体的运动学特性，与流体的本构关系无关。动量方程反映了流体的 动力学特性，因此需要先介绍本构方程， 四、本构方程 本构方程反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。 真实流体的力学性质是很复杂的，不同种类的流体可能表现出完全不同的力学特性，即便是 同一种流体在不同的外部条件下，比如温度不同时，力学特性也会有很大的差异。因此要建 立一个普适的本构方程几乎是不可能的。Stokes提出了适用于牛顺流体的如下三条假设： (1)流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数： (2)应力张量o是应变率张量e,的线性函数，与旋度无关。 (3)静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。 根据以上假设，考虑到应力张量和应变率张量的对称性，由张量理论便可以推导出应力 和应变率间的关系如下： Oy=-poy +heny+2uey (7-8) 其中山为动力粘性系数，1为第二粘度。静压p是一个热力学状态参数P=p口，T)。在热力 学平衡态下，它总是等于三个相互垂直方向上正应力的平均值（力学压强）。在流体力学研究 的问题中，有相当一部分是接近平衡态的非平衡体系，这时p与一点处的平均压强万是有一 定的差别的。将上式的下标缩并后两边除以-3后得到 万=-写u=p-(+号小=p-u (7-9) 图72应力张量示意图 其中 3

3 连续方程仅反映了流体的运动学特性，与流体的本构关系无关。动量方程反映了流体的 动力学特性，因此需要先介绍本构方程。 四、 本构方程 本构方程反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。 真实流体的力学性质是很复杂的，不同种类的流体可能表现出完全不同的力学特性，即便是 同一种流体在不同的外部条件下，比如温度不同时，力学特性也会有很大的差异。因此要建 立一个普适的本构方程几乎是不可能的。Stokes提出了适用于牛顿流体的如下三条假设： （1）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数； （2）应力张量  ij 是应变率张量 ij e 的线性函数，与旋度无关。 （3）静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。 根据以上假设，考虑到应力张量和应变率张量的对称性，由张量理论便可以推导出应力 和应变率间的关系如下： ij ij kk ij ij  = − p + e  + 2e (7-8) 其中  为动力粘性系数，  为第二粘度。静压 p 是一个热力学状态参数 p = p(,T) 。在热力 学平衡态下，它总是等于三个相互垂直方向上正应力的平均值(力学压强)。在流体力学研究 的问题中，有相当一部分是接近平衡态的非平衡体系，这时 p 与一点处的平均压强 p 是有一 定的差别的。将上式的下标缩并后两边除以 −3 后得到 p p e p e = − kk = − + kk B kk       = − 1 3 2 3     (7-9) 图 7-2 应力张量示意图 其中

4=+号 (7-10) 称为体积粘性系数。这表明热力学平衡压强或静水压强p与力学压强万相差4e:·式(7-8) 也可写成： ay=(p+“eu5,+2叫y-写eu6, (7-11) 对于单原子气体万=p,4。=0。对于多原子牛顿流体，根据Stokes假设，通常满足体积粘 性系数“B为零的条件，不必区分力学压强下与热力学压强P,本构方程简化为 o,=-p6+24ey-3u6, (7-12) 其中只含有动力粘性系数，该本构关系样适用于静止流体、理想流体(0，=一p心)。 五、动量方程 动量方程在物理上反映了流体在流动过程中满足的动量守恒定律。基于拉格朗日观点， 动量守恒定律可叙述为：封闭系统内流体动量随时间的变化率等于作用在该系统上所有外力 之和。其数学表达式可以写成 ∬pwan-∬a+fa款 (7-13) 在雷诺输运方程中(7-3)式中，令9=p并代入上式，可得到基于欧拉观点的积分形 式的动量方程 (o))- (7-14 利用广义高斯公式将上式中的面积分项改写成体积分，考虑到积分体积的任意性并假定被积 函数连续，则有 )+v-(ovv)=+v. (7-15) a 这是基于欧拉观点的微分形式的动量方程。以连续方程(7-5)代入上式，得到动量方程的另 一种常见的形式 +.-+a (7-16)

4  B =  +  2 3 (7-10) 称为体积粘性系数。这表明热力学平衡压强或静水压强 p 与力学压强 p 相差 B kk  e 。式（7-8） 也可写成： ( )       ij = − + B kk ij + ij − kk ij  p  e   e e  3 1 2 (7-11) 对于单原子气体 p ＝ p ，  B ＝0。对于多原子牛顿流体，根据Stokes假设，通常满足体积粘 性系数  B 为零的条件，不必区分力学压强 p 与热力学压强 p ，本构方程简化为       ij = − ij + ij − kk ij  p  e e  3 1 2 (7-12) 其中只含有动力粘性系数，该本构关系样适用于静止流体、理想流体（  ij = − p ij ）。 五、动量方程 动量方程在物理上反映了流体在流动过程中满足的动量守恒定律。基于拉格朗日观点， 动量守恒定律可叙述为：封闭系统内流体动量随时间的变化率等于作用在该系统上所有外力 之和。其数学表达式可以写成    = +  S Vd f d n dS dt d             (7-13) 在雷诺输运方程中（7-3）式中，令 q V  =  并代入上式，可得到基于欧拉观点的积分形 式的动量方程 ( ) ( )    = +        +  S V VV d f d n dS t                  (7-14) 利用广义高斯公式将上式中的面积分项改写成体积分，考虑到积分体积的任意性并假定被积 函数连续，则有 ( )       ( )       V t +  VV = f +  (7-15) 这是基于欧拉观点的微分形式的动量方程。以连续方程（7-5）代入上式，得到动量方程的另 一种常见的形式 ( )           V t + V  V = f +  1 (7-16)

将牛顿流体的本构方程式(7-12)代入式(7-16)后，得到牛顿流体的动量方程（或称为 Navier-Stokes方程) +6.p*wm+7 (7-17) 0 式中V即为aplace算子，v为运动粘滞系数。在不可压缩流动中，有 .vp-tvp+wp:j (7-18) 对于理想流体的假设，则可简化简化为欧拉方程 g+0.y-p+1 (7-19) 第二节边界层的概念 由于八一S方程的非线性特征，使得问题的求解非常困难。在许多情况下，需要根据流 动的特点对方程进行不同程度的简化。在低雷诺数流动中，由于粘性力远大于惯性力的特点， Soks近似将N一S方程的惯性力项略去，使基本方程得以线化，得到了具有一定精度的小 球阻力公式。在Os℃n近似中，在方程中保留了线化的惯性力项，使小球绕流的远场特性得 到了改善。 大雷诺数流动的情况相反，惯性力项远大于粘性力项。作为近似将粘性力项略去后， N一S方程化为无粘流体的欧拉方程。若使用与它相匹配的无粘流的可滑移边界条件，对周 体的绕流问题会出现零阻力的非物理解（达朗贝尔佯谬）：若使用无滑移的粘性固壁条件会导 致数学模型在边界条件上的过约束。 为了解决大雷诺数情况下欧拉方程和粘性边界条件间的矛盾，普朗特(1904)引入了边 界层的概念。对绕流问题，他认为在周壁附近的很薄的一层区域内，沿周壁切向的速度由外 部势流的值迅速下降为零，以满足粘性流体的固噬边界条件。如图7-3所示，边界层形成的 原因也可通过从涡旋传输的观点来解释。流动中的任何固体边界层都相当于连续分布的涡源， 它不断的在流动中产生涡旋。紧靠表面附近的涡旋， 一方面向外扩散，另一方面随着流体向 下游流动。涡旋扩散的速度取决于流体的粘性系数，粘度越大，扩散得越快，而涡旋向下游 流动的速度取决于米流速度。当雷诺数足够大时，平板表面附近的涡旋向下游流动的速度比 向垂直于流动方问的速度大得多，以致包含这些涡旋的流动仅仅限于贴近表面的一个问下游 伸展的薄层，这个薄层就是边界层。在边界层内，流动是有旋的：而边界层以外的流动则可 视为无旋的

5 将牛顿流体的本构方程式（7-12）代入式（7-16）后，得到牛顿流体的动量方程（或称为 Navier-Stokes方程） ( ) ( )       V      t + V  V = − p +  V +  V + f 1 1 3 2 (7-17) 式中 2  即为Laplace算子，  为运动粘滞系数。在不可压缩流动中，有 ( )      V     t + V  V = − p +  V + f 1 2 (7-18) 对于理想流体的假设，则可简化简化为欧拉方程 ( )     V    t + V  V = − p + f 1 (7-19) 第二节 边界层的概念 由于 N—S 方程的非线性特征，使得问题的求解非常困难。在许多情况下，需要根据流 动的特点对方程进行不同程度的简化。在低雷诺数流动中，由于粘性力远大于惯性力的特点， Stokes 近似将 N—S 方程的惯性力项略去，使基本方程得以线化，得到了具有一定精度的小 球阻力公式。在 Oseen 近似中，在方程中保留了线化的惯性力项，使小球绕流的远场特性得 到了改善。 大雷诺数流动的情况相反，惯性力项远大于粘性力项。作为近似将粘性力项略去后， N—S 方程化为无粘流体的欧拉方程。若使用与它相匹配的无粘流的可滑移边界条件，对固 体的绕流问题会出现零阻力的非物理解（达朗贝尔佯谬）；若使用无滑移的粘性固壁条件会导 致数学模型在边界条件上的过约束。 为了解决大雷诺数情况下欧拉方程和粘性边界条件间的矛盾，普朗特（1904）引入了边 界层的概念。对绕流问题，他认为在固壁附近的很薄的一层区域内，沿固壁切向的速度由外 部势流的值迅速下降为零，以满足粘性流体的固壁边界条件。如图 7-3 所示，边界层形成的 原因也可通过从涡旋传输的观点来解释。流动中的任何固体边界层都相当于连续分布的涡源， 它不断的在流动中产生涡旋。紧靠表面附近的涡旋，一方面向外扩散，另一方面随着流体向 下游流动。涡旋扩散的速度取决于流体的粘性系数，粘度越大，扩散得越快，而涡旋向下游 流动的速度取决于来流速度。当雷诺数足够大时，平板表面附近的涡旋向下游流动的速度比 向垂直于流动方向的速度大得多，以致包含这些涡旋的流动仅仅限于贴近表面的一个向下游 伸展的薄层，这个薄层就是边界层。在边界层内，流动是有旋的；而边界层以外的流动则可 视为无旋的

日前边界层理论己成为近代流体力学的重要基石，它语清了大雷诺数流动间题中粘性对 流动的影响。在许多情况下，大雷诺数与湍流相互关联，本章将分节讨论低速层流边界层利 湍流边界层。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，首先需在近似中保留部分粘性项而建立 Prandtl边界层方程。为了说明边界层的基本特征，本章将先引出描述边界层的数学方程式， 接着讨论一个最典型的边界层流动（平板边界层），然后再介绍边界层分离现象。 图7-3边界层内的涡旋和速度分布示意图 第三节边界层的微分方程式 由粘性流体力学的基本方程，采用量级分析方法和普朗特展开方法都可以推导出边界层 的微分方程式。本节将介绍第一种方法。考虑大雷诺数的二维绕流问题，假定固壁是平直的（平 板或楔)。设y轴与壁面垂直，x轴与壁面平行且指向下游，坐标原点和顶点重合，如图73 所示。连续性方程和动量方程的两个投影分别为 (7-20a) (7-20b) (7-20) 当雷诺数Re远大于1时，在边界层内x方向和y方向的物理量具有不同的数量级。设板长 为L、无穷远来流速度为U,边界层厚度为6（当横裁面上速度恢复到99%时的厚度）、边 界层外缘的)尚造度分量为。且有七一吾 <1。取L、U分别为x方向的特征长 度与特征速度：6、V分别为y方向的特征长度与特征速度。卫.为远前方来流的静压，则 将 代入式(7-20)中并将各项的量级标注如下： 6

6 目前边界层理论已成为近代流体力学的重要基石，它澄清了大雷诺数流动问题中粘性对 流动的影响。在许多情况下，大雷诺数与湍流相互关联，本章将分节讨论低速层流边界层和 湍流边界层。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，首先需在近似中保留部分粘性项而建立 Prandtl 边界层方程。为了说明边界层的基本特征，本章将先引出描述边界层的数学方程式， 接着讨论一个最典型的边界层流动（平板边界层），然后再介绍边界层分离现象。 图7-3 边界层内的涡旋和速度分布示意图 第三节 边界层的微分方程式 由粘性流体力学的基本方程，采用量级分析方法和普朗特展开方法都可以推导出边界层 的微分方程式。本节将介绍第一种方法。考虑大雷诺数的二维绕流问题，假定固壁是平直的(平 板或楔)。设 y 轴与壁面垂直， x 轴与壁面平行且指向下游，坐标原点和顶点重合，如图7-3 所示。连续性方程和动量方程的两个投影分别为 = 0  +  y v x vx y   (7-20a)          +  +  = −  +  +  2 2 2 2 1 y v x v x p y v v x v v t v x x x y x x x         (7-20b)          +  = − +  +  +  2 2 2 2 1 y v x v y p y v v x v v t v y y y y y x y          (7-20c) 当雷诺数Re远大于1时，在边界层内 x 方向和 y 方向的物理量具有不同的数量级。设板长 为 L 、无穷远来流速度为 U ，边界层厚度为  （当横截面上速度恢复到99％时的厚度）、边 界层外缘的 y 向速度分量为 V 。且有 1 Re 1 ~ ~  U L V  。取 L 、U 分别为 x 方向的特征长 度与特征速度；  、V 分别为 y 方向的特征长度与特征速度。  p 为远前方来流的静压，则 将 L x x = * ，  y y = * ， U v v x x = * ， V v v y y = * L tU t = * ，  = p p p * 代入式(7-20)中并将各项的量级标注如下：

答0 1 1 (7-21a +g 1 1 Re) (7-21b) 1v,' .ov .v ta+】 182v y Re) Re (7-21c) 当R>1时，在式(7-21)中略去高阶小量，并恢复为有量纲的形式可得 +-0 (7-22a) (7-22b) 含0 (7-22c) 式(7-22c)表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是x的函数，它可由外部势流区的压力 分布来描述。考虑到边界层外的势流区的速度只有一个方向的分量y=,(),则欧拉方程 简化为 (7-23) 将(7-22b)式中的压力项用外流速度表示，得到 (7-24 >

7 0 * * * * =   +   y V v x v L U x y  1 1 (7-21a)           +   +   = −   +   +    *2 2 * 2 2 *2 2 * * * * 2 * * * * * * * Re 1 y L v x v x p U p y v v L U V x v v t v x x x y x x x    1 1 1 Re 1 （1 Re） (7-21b)           +   +   = −           +   +    *2 2 * *2 2 * * 2 * * 2 * * * * * * * Re Re 1 Re 1 y v x v y p U p y v v x v v t v y y y y y x y  Re 1 2 Re 1 （1 Re） (7-21c) 当Re>>1时，在式（7-21）中略去高阶小量，并恢复为有量纲的形式可得 = 0  +  y v x vx y   (7-22a) 2 2 1 y v x p y v v x v v t v x x y x x x         +  = −  +  +  (7-22b) = 0 y p   (7-22c) 式(7-22c)表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是 x 的函数，它可由外部势流区的压力 分布来描述。考虑到边界层外的势流区的速度只有一个方向的分量 v v (x) x = e ，则欧拉方程 简化为 dx dp dx dv v t v e e e   1 + = −  (7-23) 将(7-22b)式中的压力项用外流速度表示，得到 2 2 y v dx dv v t v y v v x v v t v e x e x e y x x x        + +  =  +  +  (7-24)

对于曲率不大的二维曲面壁而言，分析表明，只要将x取成沿壁面的流线坐标，边界层 方程的形式与上式完全相同。在边界层方程中，保留了惯性力项，部分保留了粘性力项，压 力项由外部势流解给出定。与Navier-Stokes7方程组相比，边界层方程组是大大的简化了，方 程由椭圆型方程变为了抛物型方程，使问愿的求解由二维无穷域变为一个半无限的长条域。 对于前者必须在封闭边界上给出边界条件，而对于后者则下游边界条件无需给定，只需给出： y=0: y=0y,=0 (y=o: (7-25) v=U 边界层方程仍然是非线性的。边界层内的解与外部势流区的解在边界层的边缘上衔接， 在给定边界层方程外部边界条件后，对边界层方程的求解时，则需要对边界层厚度的定义加 以说明。 第四节边界层厚度 边界层是在大雷诺数流动中近壁处的涡量集中区。由于全流场中从粘性区向无粘区的过 渡是逐渐进行的，不存在一个非此即彼的明确界限，因此边界层的边缘并不非常清晰。为了 实际应用的方便，边界层厚度有着如下几种较为严格的定义。 即边界层的位移厚度6，边界层的动量损失厚度62，以及边界层的能量损失厚度6， 上节中提及的边界层厚度6即为边界层与外部势流的边界，亦称为名义厚度。 一、边界层的位移厚度6 由于壁面摩擦的影响，与理想流体相比，边界层内实际流过的体积流量会有所减少。为 了使基于理想流体理论计算得到的流量与粘性流的实际情况一致，需要把原来的固壁向外推 一个距离6，该距离被称为边界层的位移厚度。如图7-4所示，矩形OCE的面积与相当与减 少流量的面积0E应相等，对于不可压流动pm④=“p心。-少，即： = (7-26) 在实际问题中，往往应该考虑边界层的存在对外部势流场的影响。例如溢流坝面流动中， 下泄流量不变，但随若边界层发展，必然迫使自由水面抬高一个位移厚度。又例如，对于低 速风洞的试验段，不能设计成一个平直段，通常有一个约0.5°的扩散角，以补偿边界层增厚 的影响

8 对于曲率不大的二维曲面壁而言，分析表明，只要将 x 取成沿壁面的流线坐标，边界层 方程的形式与上式完全相同。在边界层方程中，保留了惯性力项，部分保留了粘性力项，压 力项由外部势流解给出定。与Navier-Stokes方程组相比，边界层方程组是大大的简化了，方 程由椭圆型方程变为了抛物型方程，使问题的求解由二维无穷域变为一个半无限的长条域。 对于前者必须在封闭边界上给出边界条件，而对于后者则下游边界条件无需给定，只需给出：    =  = = = = : 0 : 0 0 y v U y v v x x y (7-25) 边界层方程仍然是非线性的。边界层内的解与外部势流区的解在边界层的边缘上衔接， 在给定边界层方程外部边界条件后，对边界层方程的求解时，则需要对边界层厚度的定义加 以说明。 第四节 边界层厚度 边界层是在大雷诺数流动中近壁处的涡量集中区。由于全流场中从粘性区向无粘区的过 渡是逐渐进行的，不存在一个非此即彼的明确界限，因此边界层的边缘并不非常清晰。为了 实际应用的方便，边界层厚度有着如下几种较为严格的定义。 即边界层的位移厚度  1 ，边界层的动量损失厚度  2 ，以及边界层的能量损失厚度  3 ， 上节中提及的边界层厚度  即为边界层与外部势流的边界，亦称为名义厚度。 一、边界层的位移厚度  1 由于壁面摩擦的影响，与理想流体相比，边界层内实际流过的体积流量会有所减少。为 了使基于理想流体理论计算得到的流量与粘性流的实际情况一致，需要把原来的固壁向外推 一个距离  1 ，该距离被称为边界层的位移厚度。如图7-4所示，矩形OACE的面积与相当与减 少流量的面积ODE应相等，对于不可压流动 v (v v )dy y e  e x → = − 0   1  ，即： dy v y v e x  →         = − 0  1 1 （7-26） 在实际问题中，往往应该考虑边界层的存在对外部势流场的影响。例如溢流坝面流动中， 下泄流量不变，但随着边界层发展，必然迫使自由水面抬高一个位移厚度。又例如，对于低 速风洞的试验段，不能设计成一个平直段，通常有一个约 o 0.5 的扩散角，以补偿边界层增厚 的影响

式(7-26)的积分上限为无穷，在实际计算中，通常取为边界层名义厚度6。在定常流 中，边界层内的y,总是小于，且两者方向保持一致，则可直接推出定常层流边界层的位移厚 度总小于边界层厚度。 777777077777777777 图74边界层位移厚度 二、边界层的动量损失厚度6， 边界层厚度的另一种定义是基于考虑边界层存在所导致的无粘流中流体动量的损失。在 边界层中通过的动量为了Pmd,如果这些质量的流体具有的动量为pm,少，则二者之差 相当在无粘流中将固体壁面向流动内部移动一个6，距离，即 D,=远=是-是h,所 &- (7-27 通常将6，称为动量损失厚度或简称动量厚度。 三、动能损失厚度6 与动量损失类似，边界层由于粘性阻滞而造成的动能流通量损失为： 四侣-子少。这一动能道量损夫，如果用物体表面的一层无粘性流体流动的动能通 量米表示并设这流层的层度为或·则：受6=厂四(-内

9 式（7-26）的积分上限为无穷，在实际计算中，通常取为边界层名义厚度  。在定常流 中，边界层内的 x v 总是小于 e v 且两者方向保持一致，则可直接推出定常层流边界层的位移厚 度总小于边界层厚度。 图 7-4 边界层位移厚度 二、边界层的动量损失厚度  2 边界层厚度的另一种定义是基于考虑边界层存在所导致的无粘流中流体动量的损失。在 边界层中通过的动量为    0 2 v dy x ，如果这些质量的流体具有的动量为    0 v v dy x e ，则二者之差 相当在无粘流中将固体壁面向流动内部移动一个  2 距离，即          = = −     0 2 2 2 1 dy v v v v D v v e x e x f e e ，所以有：          = −   0 2 1 dy v v v v e x e x (7-27) 通常将  2 称为动量损失厚度或简称动量厚度。 三、动能损失厚度  3 与动量损失类似，边界层由于粘性阻滞而造成的动能流通量损失为：          −   0 2 2 2 2 dy v v v e x x 。这一动能通量损失，如果用物体表面的一层无粘性流体流动的动能通 量来表示，并设这一流层的厚度为  3 ，则：          = −     0 2 2 3 3 2 2 2 dy v v v v e x x e

(7-28) 上式就是动能损失厚度6，的定义。从理论上说，粘性的影响可以由壁面一直延伸至无穷 远处。本节在动量厚度和能量厚度的表达式中，已将积分上限由∞换成δ：前者基于渐近边 界层概念，后者基于有限边界层概念。 第五节边界层动量积分关系式 边界层微分方程的求解通常可分为近似解和相似解（持确解）。在工程计算中，求解边 界层问可以使用各种近似解法，以期较为迅速地得到具有一定精度的计算结果。这种方法 是针对边界层微分方程积分后得到的动量方程进行求解的，故本节先介绍卡门动量积分关系 式，下节将介绍它在平板问题中的运用。 首先推导动量积分关系式，从二维层流边界层的微分方程出发，即： (7-29a) (7-29b) 式中7=弯以乘以武(9如)两边，考电到。=小得到 (7-30a) "乘以式(7-29a)再加上式(7-29b)而得到： 会，警+尝+器 a (7-30b) 式(7-30a)与式(7-30b)逐项相减后： a p 固壁边界条件如下： 10

10         = −   0 2 2 3 1 dy v v v v e x e x （7-28） 上式就是动能损失厚度  3 的定义。从理论上说，粘性的影响可以由壁面一直延伸至无穷 远处。本节在动量厚度和能量厚度的表达式中，已将积分上限由  换成  ；前者基于渐近边 界层概念，后者基于有限边界层概念。 第五节 边界层动量积分关系式 边界层微分方程的求解通常可分为近似解和相似解（精确解）。在工程计算中，求解边 界层问题可以使用各种近似解法，以期较为迅速地得到具有一定精度的计算结果。这种方法 是针对边界层微分方程积分后得到的动量方程进行求解的，故本节先介绍卡门动量积分关系 式，下节将介绍它在平板问题中的运用。 首先推导动量积分关系式，从二维层流边界层的微分方程出发，即： = 0  +  y v x vx y   （7-29a） dx y dv v t v y v v x v v t v e e x e y x x x         + +  =  +  +  1 （7-29b） 式中 y vx    =  。以 e v 乘以式（7-29a）两边，考虑到 v v (x t) e e = , ，得到： x v v y v v x v v e x e x e y     =  +  （7-30a） x v 乘以式（7-29a）再加上式（7-29b）而得到： ( ) ( ) x y v v t v y v v x v v t v e e x x x x y e   +   +   =   +   +     1 （7-30b） 式（7-30a）与式（7-30b）逐项相减后： ( ) ( ) ( ) ( ) y v v v v x y v v v v v v v x v v t e y x y e e x e x x x e x   − = −   +   − + −   − +     1 （7-31a） 固壁边界条件如下：