《流体力学》课程授课教案（讲义）第二章 流体静力学

第二章流体静力学 流体静力学研究的是平衡流体的力学规律及其在工程技术中的应用。 平衡包括两种，一种是流体对固结于地面的坐标系无相对运动，称为重力场中的流体平 衡。一种是流体对运动坐标系无相对运动，称流体的相对平衡。 平衡流体互相之间无相对运动，因而流体粘性在平衡状态下无从显示，流体静力学所得 出的结论对理想流体和实际流体均适用，分析与实验结果完全一致。流体静力学是工程流体 力学中独立完整而又严密符合实际的一部分内容，这里的理论不需要实验修正。 流体静力学中压强分布规律在工程中的应用比较广泛。如液柱式压力计的测量原理、液 压传动中增压器压强的增大、内燃机中汽油发动机汽化器浮子室的设计、起动机械中液压系 统的设计，如千斤顶、液压活塞等，均要利用静水压强分布规律。它是研究流体运动规律的 基础。 第一节流体静压强及其特性 从静止或相对静止状态的均质流体中，取一体积V,四周流体对ν的作用力用箭头表示。 如图21所示，用平面ABCD将流体分为两部分。假定将1部分移去，用等效的力代替它作 用于Ⅱ部分的力，使其不失去平衡。从平面取一微元面积△A,0点是该面积的中点。△P为 移去部分作用在△4上的总作用力，即流体静压力：△A为流体静压力△P的作用面积。它们 的比值称为面积△山上的平药均流体静压强，用下表示。P一岩 。当面积△4无限缩小到0点 时，比值趋近一极限值，成为O点的流体静压强，用p表示： AP dP p-limMd (2.1) 图21平衡流体上的作用力

1 第二章 流体静力学 流体静力学研究的是平衡流体的力学规律及其在工程技术中的应用。 平衡包括两种，一种是流体对固结于地面的坐标系无相对运动，称为重力场中的流体平 衡。一种是流体对运动坐标系无相对运动，称流体的相对平衡。 平衡流体互相之间无相对运动，因而流体粘性在平衡状态下无从显示，流体静力学所得 出的结论对理想流体和实际流体均适用，分析与实验结果完全一致。流体静力学是工程流体 力学中独立完整而又严密符合实际的一部分内容，这里的理论不需要实验修正。 流体静力学中压强分布规律在工程中的应用比较广泛。如液柱式压力计的测量原理、液 压传动中增压器压强的增大、内燃机中汽油发动机汽化器浮子室的设计、起动机械中液压系 统的设计，如千斤顶、液压活塞等，均要利用静水压强分布规律。它是研究流体运动规律的 基础。 第一节 流体静压强及其特性 从静止或相对静止状态的均质流体中，取一体积 v，四周流体对 v 的作用力用箭头表示。 如图 2-1 所示，用平面 ABCD 将流体分为两部分。假定将 I 部分移去，用等效的力代替它作 用于 II 部分的力，使其不失去平衡。从平面取一微元面积 A ，O 点是该面积的中点。 P 为 移去部分作用在 A 上的总作用力，即流体静压力； A 为流体静压力 P 的作用面积。它们 的比值称为面积 A 上的平均流体静压强，用 P 表示： A P P   = 。当面积 A 无限缩小到 O 点 时，比值趋近一极限值，成为 O 点的流体静压强，用 p 表示： dA dP A P p A a =   =  → lim （2-1） 图 2-1 平衡流体上的作用力 A B D C 1 2 A V B D C 1 2 V A B D C P 2 O A

可以看出，流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。前者是作用在某一面积上 的总压力，单位为N:后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强，单位为P。 二、流体静压强的特性 流体静压强有两个特性： 1.静压强始终沿作用面的内法向方向 证明：采用反证法 图2-2流体静压强 如图2-2所示，假定某点O的静压强为任意方向的P,它可分解为垂直作用面即法向的 P及切向的切应力：，由于切应力t的存在，流体必然产生流动，而实际上流体是处于平衡状 态的，与假设矛盾，因此x不可能存在，即平衡状态下流体静压强只能是沿作用法线方向。设 P是沿着外法向方向的拉力，它与流体在力学上表现的两个特征之一，即流体不能承受拉应 力相矛盾，因此必为沿内法向方向的压力。 由此可证：静压强始终沿作用面内法向方向。 2.静压强的大小与作用面方位无关。 证明： 如图2-3所示，在静止流体内部，过任意一点O,任取一微元四面体，其三条边d,d 止分别与x,y,:轴重合。则

2 可以看出，流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。前者是作用在某一面积上 的总压力，单位为 N；后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强，单位为 Pa。 二、流体静压强的特性 流体静压强有两个特性： 1．静压强始终沿作用面的内法向方向 证明：采用反证法 图 2-2 流体静压强 如图 2-2 所示，假定某点 O 的静压强为任意方向的 p，它可分解为垂直作用面即法向的 pn 及切向的切应力 ，由于切应力的存在，流体必然产生流动，而实际上流体是处于平衡状 态的，与假设矛盾，因此不可能存在，即平衡状态下流体静压强只能是沿作用法线方向。设 pn 是沿着外法向方向的拉力，它与流体在力学上表现的两个特征之一，即流体不能承受拉应 力相矛盾，因此 pn 必为沿内法向方向的压力。 由此可证：静压强始终沿作用面内法向方向。 2．静压强的大小与作用面方位无关。 证明： 如图 2-3 所示，在静止流体内部，过任意一点 O，任取一微元四面体，其三条边 dx，dy， dz 分别与 x，y，z 轴重合。则 x y z A B C o x p py pz n p n dx dy dz x y z A B C o x p py pz n p n dx dy dz pn p O 

图23平衡流体中的微元四面体 04=lim Ax=dox OB=lim Ay=dy (2-3) 0C=lm△=d止 均为无穷小量。 体积 (2-4) 设斜面ABC外法线方向的单位矢量为n,它与三个坐标轴正向的夹角分别为口，B,y, MBC-cosa=dd MBC-cosd= (2-5) △MBC-cosy=drd 设密度P,单位质量力∫为 f-fi+fj+fk (2-60 则微元流体上的质量力为 df.=p。dt(Ui+fji+f (2-70 设四面体每个面上任何一点的压强分别用P,P及P,表示，则作用在微元四面体上 表面力为 dF=(p.dvd-p.AABCcosa)i +(P,dxd-P.AABCcosB)j +(p.dyd=-p.AABCcosy)k =(p.-P.)dd-i+(P,-p.)dxd-j+(p.-p.)drdyk(2-8) 流体处于平衡，则有 dF +dF=0 (2-9 所以 3

3 图 2-3 平衡流体中的微元四面体 0 0 0 lim lim C lim x y z OA x x OB y y O z z  →  →  →  =  =   =  =   =  =   d d d (2-3) 均为无穷小量。 体积 1 d d d d 6 V x y z = (2-4) 设斜面 ABC 外法线方向的单位矢量为 n ，它与三个坐标轴正向的夹角分别为α，β，γ， 则 1 cos d d 2 1 cos d d 2 1 cos d d 2 ABC y z ABC x z ABC x y       =      =      =   (2-5) 设密度ρ，单位质量力 f 为 x y z f i j k = + + f f f (2-6) 则微元流体上的质量力为 1 d d d d ( ) 6 m x y z F i j k = + +  x y z f f f (2-7) 设四面体每个面上任何一点的压强分别用 px，py，pz 及 pn 表示，则作用在微元四面体上 表面力为 1 d ( d d cos ) 2 1 ( d d cos ) 2 1 ( d d cos ) 2 1 1 1 ( ) d d ( ) d d ( ) d d (2 8) 2 2 2 x n y n z n x n y n z n F p y z p ABC p x z p ABC p y z p ABC p p y z p p x z p p x y    = −  + −  + −  = − + − + − − i j k i j k 流体处于平衡，则有 d d 0 F F m + = (2-9) 所以

君ddt+(n,-pt=0 君ddt+0,-p2t=0 (2-10) 号fddt+(.-a,片=0 式中第一项与第二项相比为高阶无穷小量，略去不计，所以 P:=Py=P:=P. (2-1) 此式说明在静止流体中任一点处的压强值与作用面的方位无关。若以表示静止流体中 某点处的压强，则仅是空间坐标的函数，即 p=p(y,=） 因此压强同温度与密度一样，为标量。 第二节流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程式 为了求解流体平衡的规律，在静止流体中取边长各为d,dy,d:的微元六面体，如图2-4 所示，其中心点Mx,y,静压强为p。 0 dx 2 dx 2 .x 图2-4微元六面体 由于流体静压强是点的坐标的连续函数，因此左面中心点B及右面中心点C点的静压强 按照泰勒级数展开为 =p+(+8+a

4 1 d d d ( ) d d 0 6 2 1 d d d ( ) d d 0 6 2 1 d d d ( ) d d 0 6 2 x x n y y n z z n f x y z p p y z f x y z p p x z f x y z p p x y     + − =    + − =    + − =   (2-10) 式中第一项与第二项相比为高阶无穷小量，略去不计，所以 px = py = pz = pn (2-11) 此式说明在静止流体中任一点处的压强值与作用面的方位无关。若以 p 表示静止流体中 某点处的压强，则 p 仅是空间坐标的函数，即 p p x y z = ( , , ) 因此压强同温度与密度一样，为标量。 第二节 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程式 为了求解流体平衡的规律,在静止流体中取边长各为 dx，dy，dz 的微元六面体，如图 2-4 所示，其中心点 M(x,y,z),静压强为 p。 图 2-4 微元六面体 由于流体静压强是点的坐标的连续函数，因此左面中心点 B 及右面中心点 C 点的静压强 按照泰勒级数展开为 2 3 2 3 2 3 d 1 d 1 d 2 2! 2 3! 2 B p x p x p x p p x x x          = + − + − + − +                 （2-12） y x z 2 dx x p p   + 2 dx x p p   − dy (x, y,z) dx dz M B C y x z 2 dx x p p   + 2 dx x p p   − dy (x, y,z) dx dz M B C

=p+}+欲+ (2-13) 忽略高阶无穷小量，则B、C点处的静压强分别为 A=p安变 (2-14) k=p叶密变 (2-15) 则得x轴方向流体的表面力的合力为 中，=-p=a,-A止=-要andd (2-16 设流体的密度为P,∫为单位质量力，∫，了为单位质量力分力，则流体的质量力在x 轴上的分力为 dF,=dm.f,=pdxdvdf, (2-17) 由于流体处于平衡状态，则微元体在x轴方向的平衡方程式∑F=0(或dE+d,=0) 将式(2-16)、(2-17)代入可得 fpxrdd-Pdrdxd-0 (2-18) 以质量dm=pdxdyd-除上式，得 同理可得 (2-19) 写成矢量方程表达式为 1-pVp-0 (2-20) 此式即为1755年欧拉(Leonard Euler)导出的流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程式。 该方程式表明：在静止的流体中，当微元六面体以M点为极限时，作用在该点单位质量流体 上的质量力与静压强的合力相平衡。它对可压缩流体与不可压缩流体、相对静止与绝对静止 均适用。它是流体静力学最基本的方程式。流体静力学的其它计公式都是以方程式为

5 2 3 2 3 2 3 d 1 d 1 d 2 2! 2 3! 2 C p x p x p x p p x x x          = + + + +                 （2-13） 忽略高阶无穷小量，则 B、C 点处的静压强分别为 d 2 B p x p p x  = −  （2-14） d 2 C p x p p x  = +  （2-15） 则得 x 轴方向流体的表面力的合力为 d d ( )d d d d d x x B C p p p A p p y z x y z x  = − = − = −  (2-16) 设流体的密度为ρ， f 为单位质量力, x y z f , f , f 为单位质量力分力，则流体的质量力在 x 轴上的分力为 d d d d d F m f x y zf x x x =  =  （2-17） 由于流体处于平衡状态，则微元体在 x 轴方向的平衡方程式 Fx = 0 （或 d d 0 F p x x + = ） 将式（2-16）、（2-17）代入可得 d d d d d d 0 x p f x y z x y z x   − =  （2-18） 以质量 d d d d m x y z =  除上式，得          =   − =   − =   − 0 1 0 1 0 1 z p f y p f x p f z y x    同理可得 （2-19） 写成矢量方程表达式为 1 0  f p −  = (2-20) 其中： x y z     = + +    i j k 为哈密顿算子。 此式即为 1755 年欧拉（Leonard Euler）导出的流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程式。 该方程式表明：在静止的流体中，当微元六面体以 M 点为极限时，作用在该点单位质量流体 上的质量力与静压强的合力相平衡。它对可压缩流体与不可压缩流体、相对静止与绝对静止 均适用。它是流体静力学最基本的方程式，流体静力学的其它计算公式都是以此方程式为基

础导出的。 二、质量力的势函数 将(2-19)式中三个分式分别乘以dx,d,d,并相加有 ++在黑+零+是-0 因为中黑+买+是士，所以上式即为 dp=p(fdr+fdy+fd止) (2-21) 此式即为欧拉平衡方程式的综合表达式，又称压强微分公式。它表明当点的坐标增量为 dr,dy,d:时，相应的流体静压强增加dp。静压强的增量决定于质量力。对式(2-21)积分即 可得压强P。 若将式(219)中的三个分方程式分别对坐标交错求导，得 可j, 可_可 即 rou-0 由此可知上式是矢量∫为有势的充要条件，则矢量∫为有势，存在一个势函数W=W依，y, ∫与W有下列关系 (2-22) 则(2-21)的右端 才能成为坐标函数的全微分 所以(2-21)写成 6

6 础导出的。 二、质量力的势函数 将（2-19）式中三个分式分别乘以 dx，dy，dz，并相加有 1 d d d d d d 0 x y z p p p f x f y f z x y z  x y z      + + − + + =        因为 d d d d p p p p x y z x y z    = + +    ，所以上式即为 d d d d x y z p f x f y f z = + + ( ) （2-21） 此式即为欧拉平衡方程式的综合表达式，又称压强微分公式。它表明当点的坐标增量为 dx，dy，dz 时，相应的流体静压强增加 dp。静压强的增量决定于质量力。对式(2-21)积分即 可得压强 p。 若将式（2-19）中的三个分方程式分别对坐标交错求导，得            =     =     =   z f x f y f z f x f y f z x y z x y 即 rotf=0 由此可知上式是矢量 f 为有势的充要条件，则矢量 f 为有势，存在一个势函数 W=W(x,y,z)， f 与 W 有下列关系 z W f y W f x W f x y z   = −   = −   = − , , （2-22） 则（2-21）的右端 d d d d d d d x y z W W W f x f y f z x y z W x y z         + + = − + + = −        （ ) 才能成为坐标函数的全微分。 所以（2-21）写成

dp =-pdW (2-23) 我们称满足上式的坐标函数W=Wxy为质量力的势函数，符合上面关系的质量力则称 为有势的质量力。 质量力的势函数通常可以根据平衡流体所受的单位质量分力用积分方法确定。 三、等压面微分方程式， 等压面：流体中压强相等的各点所组成的平面叫等压面，等压面上 P-C p-0 (221)式可得等压面的微分方程式 fdr+厂y+fd正=0 (2-240 等压面具有下面的三个性质： 1.等压面也是等势面： 由(2-23)式可见：dp-0时 dw=0 W=const 所以等压面也是等势面。 2.等压面与单位质量力矢量垂直。 由(223)可知，因为：人，是单位质量的三个投影，d,d，止是等压面上任意 线段ds的三个投影，于是(2-24)式可写成 f.ds=0 (2-24) 两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直，山是等压面上任意线段，因而等压面与单位质 量力必相互垂直。 3.两种不相混合平衡液体的交界面必然是等势面。 证明：采用反证法 A

7 d d p W = − （2-23） 我们称满足上式的坐标函数 W=W(x,y,z)为质量力的势函数，符合上面关系的质量力则称 为有势的质量力。 质量力的势函数通常可以根据平衡流体所受的单位质量分力用积分方法确定。 三、等压面微分方程式， 等压面：流体中压强相等的各点所组成的平面叫等压面，等压面上 p=C dp=0 由(2-21)式可得等压面的微分方程式 f xdx + f ydy + f zdz = 0 (2-24) 等压面具有下面的三个性质： 1．等压面也是等势面。 由（2-23）式可见：dp=0 时 W const W = d = 0 所以等压面也是等势面。 2．等压面与单位质量力矢量垂直。 由（2-23）可知，因为： x y z f , f , f 是单位质量的三个投影，dx，dy，dz 是等压面上任意 线段 ds 的三个投影,于是（2-24）式可写成 f  ds = 0 （2-24’） 两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直， ds 是等压面上任意线段，因而等压面与单位质 量力必相互垂直。 3．两种不相混合平衡液体的交界面必然是等势面。 证明：采用反证法

2 图2-5两种不相混合的流体的交界面 如图2-5所示，两交界面a-a不为等压面，则 dp=pdw dp padw 因为P1,P,这种等式在dp≠0，dW≠0的情况下是不可能同时成立的，只有dp=0,dW=0 时，才同时成立。所以aa面必为等压面。 第三节重力场中的平衡流体 一、不可压缩流体的静压强公式 工程中经常遇到的是，作用在流体上的质量力只有重力的情况。如图26所示， ,自由面 图2-6重力场中的液体静压强分布 在迪卡尔坐标系下，单位质量力的分力为 f=0,f=0,f.=-g 将其代入欧拉平衡的综合表达式(2-21)得 dp=-Pgd止 (2-25) 8

8 图 2-5 两种不相混合的流体的交界面 如图 2-5 所示，两交界面 a-a 不为等压面，则    = = p W p W d d d d 2 1   因为ρ1 ≠ρ2，这种等式在 dp≠0，dW≠0 的情况下是不可能同时成立的，只有 dp=0，dW=0 时，才同时成立。所以 a-a 面必为等压面。 第三节 重力场中的平衡流体 一、不可压缩流体的静压强公式 工程中经常遇到的是，作用在流体上的质量力只有重力的情况。如图 2-6 所示， 图 2-6 重力场中的液体静压强分布 在迪卡尔坐标系下，单位质量力的分力为 f x = 0, f y = 0, f z = −g 将其代入欧拉平衡的综合表达式（2-21）得 dp = −gdz （2-25） 2 1 a h f a 2 1 a h f a 2 1  x 自由面 z h p0 p  x 自由面 z h p0 p

对于连续、均质、不可压缩流体，对式(2-25)积分可得 p+P=C 上式以可写成 (2-26) 若在静止流体中任取1、2、两点，如图2-7所示，则上式可写成 名 h 图2-7重力场中液体的两点静压强 (2-27) 此式即为重力场中连续、均质、不可压缩流体的静压强基本方程式。 如果式(2-26)中的积分常数采用平衡流体自由表面上的边界条件：：=0，P=来确 定，则有 将其变形为 (2-28） 此式即为不可压缩流体的静压强分布规律。 9

9 对于连续、均质、不可压缩流体，对式（2-25）积分可得 p + gz =C1 上式以可写成 C g p z + =  （2-26） 若在静止流体中任取 1、2、两点，如图 2-7 所示，则上式可写成 图 2-7 重力场中液体的两点静压强 g p z g p z   2 2 1 1 + = + （2-27） 此式即为重力场中连续、均质、不可压缩流体的静压强基本方程式。 如果式（2-26）中的积分常数采用平衡流体自由表面上的边界条件： 0 0 z = z , p = p 来确 定，则有 g p z g p z   0 + = 0 + 将其变形为 p = p0 + gh （2-28） 此式即为不可压缩流体的静压强分布规律。  x z 2 h 0 p p2 1 p h1  x z 2 h 0 p p2 1 p h1

二、静压强公式的意义 1.物理意义 图2-8闭口测压管 如图2-8所示，在静止流体铅直坐标为：的A点处连接一个顶部抽成完全真空的封闭玻 璃测压管，由于A点具有一定的压强，故p点测压管中流体会上长一定的高度，对于连续、 均质平衡流体中的A、B两点列静压强基本公式，可得 +=:++0 所以 6=2 (2-29) pg 由此可知，：代表单位重力流体的位置势能，而尽代表单位重力流体的压强势能，位置 势能与压强势能的和为单位重量流体的总势能，因此流体静力学基本方程式的物理意义是： 在重力作用下的连续、均质、不可压缩的静止流体中，各点的单位重量流体的总势能保持不 变，但位置势能和压强势能可以相互转换 2.几何意义 从方程中各项的量纲来说，均为长度单位，表示单位重力的流体离某处的距离或高度。 :代表流体质点所在位置距离基准面的高度，称位置水头：P代表流体内某点沿闭口测压管 上长的液柱高度，称压强水头。所以式(227)表明：在连续均质的流体中，任意一点的静 水头（位置水头与压强水头之和）为定值。图29中用封闭的完全真空测压管测量的静水头 线A-A为水平线。即连续、均质、平衡流体中的静水头线为一水平线。 pg

10 二、静压强公式的意义 1．物理意义 图 2-8 闭口测压管 如图 2-8 所示，在静止流体铅直坐标为 z 的 A 点处连接一个顶部抽成完全真空的封闭玻 璃测压管，由于 A 点具有一定的压强，故 p 点测压管中流体会上长一定的高度 hp，对于连续、 均质平衡流体中的 A、B 两点列静压强基本公式，可得 + = z + hp + 0 g p z  所以 g p hp  = （2-29） 由此可知，z 代表单位重力流体的位置势能，而 g p  代表单位重力流体的压强势能。位置 势能与压强势能的和为单位重量流体的总势能，因此流体静力学基本方程式的物理意义是： 在重力作用下的连续、均质、不可压缩的静止流体中，各点的单位重量流体的总势能保持不 变，但位置势能和压强势能可以相互转换。 2．几何意义 从方程中各项的量纲来说，均为长度单位，表示单位重力的流体离某处的距离或高度。 z 代表流体质点所在位置距离基准面的高度，称位置水头； g p  代表流体内某点沿闭口测压管 上长的液柱高度，称压强水头。所以式（2-27）表明：在连续均质的流体中，任意一点的静 水头（位置水头与压强水头之和）为定值。图 2-9 中用封闭的完全真空测压管测量的静水头 线 A-A 为水平线。即连续、均质、平衡流体中的静水头线为一水平线。 po 2 z2 p1 /g z1 p2 /g  1 A A po 2 z2 p1 /g z1 p2 /g  1 A po 2 z2 p1 /g z1 p2 /g  1 A A po A z h hp x z O B p p=0 po A z h hp x z O B p p=0