《流体力学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 相似理论与量纲分析

第四章 相以理论与量纲分析

第四章 相似理论与量纲分析

4-1 相似理论 为了研究实型流动的主要现象和特性，经常需要建立模型， 并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流 动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都 有一定的比例关系 两相似流动应：几何相似、运动相似、动力相似

4-1 相似理论 为了研究实型流动的主要现象和特性，经常需要建立模型， 并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流 动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都 有一定的比例关系 两相似流动应：几何相似、运动相似、动力相似

一、几何相似（空间相似) 定义：两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。 引入尺度比例系数 k, Im =C 1 进而，面积比例系数 模型流动用下标 kA= Am=ki m表示 体积比例系数 Ap 原型流动用下标p 表示 ky= Vm=ki

一、几何相似（空间相似） 定义： 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。 引入尺度比例系数 进而，面积比例系数 体积比例系数 C l l k p m l = = 2 l p m A k A A k = = 3 l p m V k V V k = = 模型流动用下标 m表示 原型流动用下标p 表示

二、运动相似（时间相似） 定义：两流动的对应点上的流体速度矢成同一比例。 引入速度比例系数 k.=Ym=C 于 Vm =Im/tm 因此 k,= Im/tm_ki 1/t。 k 运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定 时间比例系数就河以了。运动相似也就被称之为时间相 似

二、运动相似（时间相似） 定义：两流动的对应点上的流体速度矢成同一比例。 引入速度比例系数 由于 因此 运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定 时间比例系数 就可以了。运动相似也就被称之为时间相 似。 C v v k p m v = = m m m v = l / t p p p v = l / t t l p p m m v k k l t l t k = = kt p m t t t k =

二、运动相似（时间相似） 运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数 和时间比例系数的不同组合形式。 如：k,=kk k。=kk2 ko=kiI kvkki kq=kikiI v的单位是m2s q的单位是m3t

运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数 和时间比例系数的不同组合形式。 如：kv=klkt -1 ka=klkt -2 k=kt -1 k=kl 2kt -1 kq=kl 3kt -1 的单位是m2 /s q的单位是m3 /t 二、运动相似（时间相似）

三、动力相似（受力相似） 定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。引入力 比例系数 也可写成： kr=knka =(kok(kk,)=kok k" 力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例 系数的不同组合形式，如： 力矩Mk (F)。 Pp ka 功率Nk=k,k,=动力粘渡 ku=kok ky

三、动力相似（受力相似） 定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。引入力 比例系数 也可写成： 力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例 系数的不同组合形式，如： 力矩M 压强p 功率N 动力粘度 C F F k p m F = = 3 2 2 2 ( )( ) F m a l l t l v k k k k k k k k k k = =  =  − ( ) ( ) 3 2 l v p m M k k k Fl Fl k = =  1 2 3 N M t l v k k k k k k = =  − 2 v A F p m p k k k k p p k = = =  l v k k k k  = 

三、动力相似（受力相似） 综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在 时空相似的条件下受力相似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式 来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需 要这两个流动在时空相似的条件下各相似以准则都相等

综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在 时空相似的条件下受力相似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式 来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需 要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。 三、动力相似（受力相似）

四、相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两 流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面是模型 流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程在方向上 的分量形式： ONu十Vanxm tm Px ON型十V理Oxp Otp 2.10+,A 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有如下 关系式 Xm=xpki ym=ypki 2m=zpk Vxm=Vxpky Vym=Vypky V-m=vpky Im=lpk Pm=Pokp Vm=Vpky Pm-Ppkp Impk

四、相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两 流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面是模型 流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程在x方向上 的分量形式: (1) (2) 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有如下 关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m =pk m =pk pm=ppkp fm=fpkf m xm m m xm m xm z m m xm ym m xm xm m xm v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1 p xp p p xp p xp z p p xp yp p xp xp p xp v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1

四、相似准则 将上述关系式带进方程（1)中，这时的方程应顺和万程(2) 相同，因此得到 (3)k,k k,k 从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、 质量力、压力和摩擦力，(3)式表示模型流动和原型流 动的力多边形相似。 用(3)中的位变惯性力项除全式，得到 =1=k(4。 k ky k2 k k?k ky (4)式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比 例系数之间有一个约束，对各顶进一步分析得到以下相 似准测

将上述关系式带进方程（1）中，这时的方程应该和方程（2） 相同，因此得到 （3） 从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、 质量力、压力和摩擦力，（3）式表示模型流动和原型流 动的力多边形相似。 用（3）中的位变惯性力项除全式，得到 （4） （4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比 例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相 似准则 2 2 l v l p g l v t v k k k k k k k k k k k   = = = = v l v p v l g t v l k k k k k k k k k k k k   = = = = 2 2 1 四、相似准则

四、相似准则 1 Strouhal相似准数 Sr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随 时间变化的情况 2 Froude相似准数 Fr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的 影响程度 3 Euler相似准数 Eu=p/pv2 表示压力和惯性力的比值 4 Renolds相似准数 Re=vl/v=pvl/u 表示惯性力和粘性力之比 5Mach相似准数 Ma=v/c 表示弹性力和惯性力之比，c为声速，反映了流动的压 缩程度

1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随 时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的 影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v 2 表示压力和惯性力的比值 4 Renolds 相似准数 Re=vl/= vl/ 表示惯性力和粘性力之比 5 Mach 相似准数 Ma=v/c 表示弹性力和惯性力之比，c为声速，反映了流动的压 缩程度 四、相似准则