《心理统计学》课程授课教案（讲稿）第九章 多因素方差分析

第九章多因素方差分析问题在心理学的研究中，往往有多个因素对变量产生作用。例如，在一项关于工作毅力的研究中，研究者希望了解个体的自尊强度和任务指导差异对其工作毅力（坚持时间）的影响。在这项研究中工作毅力的观测指标是坚持时间，影响因素或处理因素涉及到个体自身因素（自尊强度）和外界影响因素（任务指导差异），如例9一1所示。在比较多个样本均数的差异时，当处理因素≥2个时，即为多因素实验。多因素实验的数据分析需要采用多因素方差分析的方法。本章根据处理因素和处理水平的不同分别介绍两因素两水平和两因素多水平设计资料的方差分析方法。学习目标1．了解多因素方差分析的设计。2了解单独效应、主效应和交互效应的概念。3.掌握多因素方差分析的基本步骤。4掌握多因素方差分析的结果解释。第一节两因素两水平资料的方差分析一、两因素两水平方差分析的设计多因素方差分析是针对研究两个及两个以上因素对变量影响作用的试验进行数据处理。与单因素试验相比，多因素试验不仅具有试验次数较少、试验精度较高、提供的信息较多等优点，而且它既可以分析单一因素的主效应，而且又能对多个因素之间的交互效应进行分析。例9-1：对36名受试者（受试者的母语均为英语）的工作毅力进行研究，工作任务是把字母顺序颠倒的英文片语整理出正确的单词（如worep整理为power），其中一些片语是有解的，有些片语是没有解的。该实验的处理因素有两个，一是受试者因素，事先将受试者按照自尊水平分成高自尊组和低自尊两组，记为A因素，分成a和&两个水平。二是答题指示因素，一种指示为告知受试者每一个片语都能整理出单词，遇到困难时需要坚持。另一种指示则告知受试者可能有些片语不能整理出单词，遇到困难时不需要坚持，记为B因素，分成br和bz两个水平。实验观察指标为受试者在遇到困难时（解没有答案片语）坚持解题的时间（分钟），结果见表9-1。试比较不同的自尊水平和不同指示方式对毅力的影响。表9-1受试者在遇到困难时坚持解题的时间（分钟）高自尊（α）低自尊（az）自尊水平（A)坚持（b,）不坚持（b,）坚持（b）不坚持（b,）指示方式（B）26402727302617193919252632192426362420201

1 第九章 多因素方差分析 问题 在心理学的研究中，往往有多个因素对变量产生作用。例如，在一项关于工作毅力的研究中， 研究者希望了解个体的自尊强度和任务指导差异对其工作毅力（坚持时间）的影响。在这项研究中， 工作毅力的观测指标是坚持时间，影响因素或处理因素涉及到个体自身因素（自尊强度）和外界影 响因素（任务指导差异），如例 9－1 所示。 在比较多个样本均数的差异时，当处理因素≥2 个时，即为多因素实验。多因素实验的数据分 析需要采用多因素方差分析的方法。本章根据处理因素和处理水平的不同分别介绍两因素两水平和 两因素多水平设计资料的方差分析方法。 学习目标 1． 了解多因素方差分析的设计。 2． 了解单独效应、主效应和交互效应的概念。 3． 掌握多因素方差分析的基本步骤。 4． 掌握多因素方差分析的结果解释。 第一节 两因素两水平资料的方差分析 一、两因素两水平方差分析的设计 多因素方差分析是针对研究两个及两个以上因素对变量影响作用的试验进行数据处理。与单因 素试验相比，多因素试验不仅具有试验次数较少、试验精度较高、提供的信息较多等优点，而且它 既可以分析单一因素的主效应，而且又能对多个因素之间的交互效应进行分析。 例 9-1 对 36 名受试者（受试者的母语均为英语）的工作毅力进行研究，工作任务是把字母顺 序颠倒的英文片语整理出正确的单词（如 worep 整理为 power），其中一些片语是有解的，有些片语 是没有解的。该实验的处理因素有两个，一是受试者因素，事先将受试者按照自尊水平分成高自尊 组和低自尊两组，记为 A 因素，分成 a1 和 a2 两个水平。二是答题指示因素，一种指示为告知受试者 每一个片语都能整理出单词，遇到困难时需要坚持。另一种指示则告知受试者可能有些片语不能整 理出单词，遇到困难时不需要坚持，记为 B 因素，分成 b1 和 b2 两个水平。实验观察指标为受试者在 遇到困难时（解没有答案片语）坚持解题的时间（分钟），结果见表 9-1。试比较不同的自尊水平和 不同指示方式对毅力的影响。 表 9-1 受试者在遇到困难时坚持解题的时间（分钟） 自尊水平(A) 高自尊（ 1 a ） 低自尊（ 2 a ） 指示方式(B) 坚持（ 1 b ） 不坚持（ 2 b ） 坚持（ 1 b ） 不坚持（ 2 b ） 40 26 27 27 30 26 17 19 39 19 25 26 32 19 24 26 36 24 20 20

36202025342221213422222135222222平均数35222223这是一个两因素两水平析因设计资料的方差分析。析因设计是将两个或两个以上的实验因素的各个水平进行排列组合、交叉分组进行试验，其仍遵循单因素方差分析的基本原理，将方差分析的总变异分成处理和误差两部分。此时的组间变异，即处理组间的变异包含了A因素的变异、B因素的变异以及A、B因素交互效应的变异。二、单独效应、主效应和交互效应的概念将表9-1的4组数据均数整理成表9-2，通过分析表9-2中的4个均数的差别，可以得出A因素不同水平和B因素不同水平的单独效应、主效应和交互效应。表9一2两因素两水平析因试验的均数差别指示方式（B)b, - b,自尊水平(A)坚持（b）不坚持（b,）352213高自尊（a）低自尊（a）2223-113-1ai-a,1.单独效应单独效应（simpleeffect）是指其他因素固定时，同一因素不同水平间的差异。如表9-2中，当A因素固定在1水平时，B因素的单独效应为13：A因素固定在2水平时，B因素的单独效应为一1。同理，当B因素固定在1水平时，A因素的单独效应为13；B因素固定在2水平时，A因素的单独效应为一1。2.主效应主效应（main effect）是指某因素各水平间的平均差别。表9-2中，B因素为1水平时，A因素的单独效应为13；B因素固定在2水平时，A因素的单独效应为一1，平均后得A因素的主效应为[13+（-1）1/2=6。同理，当A因素固定在1水平时，B因素的单独效应为13：A因素固定在2水平时，B因素的单独效应为一1，平均后得B因素的主效应为[13+（-1）/2=6。结合例9-1解释，A因素的主效应解释为：高自尊水平组与低自尊水平组相比（不考虑提示方式），受试者在遇到困难时坚持解题的时间要多6分钟。B因素的主效应解释为：指示为需要坚持组与指示为不必坚持组相比（不考虑自尊水平），受试者在遇到困难时坚持解题的时间要多6分钟。3.交互效应交互效应（interaction）是指当某因素的各个单独效应随另一个因素的变化而变化时，则称这两个因素间存在交互效应。表9-2中，A与B的交互效应表示为AB-[（aib,一ab）一（abz—azb)]/2=[13—（—1)]=14;B与A的交互效应表示为BA=[（brar—bzai)—（bar—ba2)1/2=[13一（一1)=14，即AB=BA。结合例9-1解释，AB的交互效应表示为14，即在遇到困难需要坚持的指示下，高自尊者比低自尊者在遇到困难时坚持解题的时间多14分钟。以上都是样本均数的比较结果，要推论总体均数是否有同样的特征，需要对试验结果进行方差分析后下结论。我们可以通过作直观图来判断双因素之间有无交互效应。将表9一2中的4各均数作线图，得下图9一1交互效应示意图，得两条相互不平行的直线，说明两因素之间存在交互效应，进一步可采用2

2 36 20 20 25 34 22 21 21 34 22 22 21 35 22 22 22 平均数 35 22 22 23 这是一个两因素两水平析因设计资料的方差分析。析因设计是将两个或两个以上的实验因素的 各个水平进行排列组合、交叉分组进行试验，其仍遵循单因素方差分析的基本原理，将方差分析的 总变异分成处理和误差两部分。此时的组间变异，即处理组间的变异包含了 A 因素的变异、B 因素 的变异以及 A、B 因素交互效应的变异。 二、单独效应、主效应和交互效应的概念 将表 9-1 的 4 组数据均数整理成表 9-2，通过分析表 9-2 中的 4 个均数的差别，可以得出 A 因 素不同水平和 B 因素不同水平的单独效应、主效应和交互效应。 表 9－2 两因素两水平析因试验的均数差别 自尊水平(A) 指示方式(B) 1 b － 2 b 坚持（ 1 b ） 不坚持（ 2 b ） 高自尊（ 1 a ） 35 22 13 低自尊（ 2 a ） 22 23 －1 1 a － 2 a 13 －1 1. 单独效应 单独效应（simple effect）是指其他因素固定时，同一因素不同水平间的差异。 如表 9-2 中，当 A 因素固定在 1 水平时，B 因素的单独效应为 13；A 因素固定在 2 水平时，B 因素的 单独效应为－1。同理，当 B 因素固定在 1 水平时，A 因素的单独效应为 13；B 因素固定在 2 水平时， A 因素的单独效应为－1。 2. 主效应 主效应（main effect）是指某因素各水平间的平均差别。表 9-2 中，B 因素为 1 水平时，A 因素的单独效应为 13；B 因素固定在 2 水平时，A 因素的单独效应为－1，平均后得 A 因 素的主效应为[13+（–1）]/2＝6。同理，当 A 因素固定在 1 水平时，B 因素的单独效应为 13；A 因 素固定在 2 水平时，B 因素的单独效应为－1，平均后得 B 因素的主效应为[13+（－1）]/2＝6。结 合例 9-1 解释，A 因素的主效应解释为：高自尊水平组与低自尊水平组相比（不考虑提示方式），受 试者在遇到困难时坚持解题的时间要多 6 分钟。B 因素的主效应解释为：指示为需要坚持组与指示 为不必坚持组相比（不考虑自尊水平），受试者在遇到困难时坚持解题的时间要多 6 分钟。 3. 交互效应 交互效应（interaction）是指当某因素的各个单独效应随另一个因素的变化而 变化时，则称这两个因素间存在交互效应。表 9-2 中，A 与 B 的交互效应表示为 AB=[(a1b1－a2b1)－ (a1b2－a2b2)]/2=[13－(－1)]＝14；B 与 A 的交互效应表示为 BA=[(b1a1－b2a1)－(b2a1－b2a2)]/2＝[13 －(－1)]＝14，即 AB＝BA。结合例 9-1 解释，AB 的交互效应表示为 14，即在遇到困难需要坚持的 指示下，高自尊者比低自尊者在遇到困难时坚持解题的时间多 14 分钟。 以上都是样本均数的比较结果，要推论总体均数是否有同样的特征，需要对试验结果进行方差 分析后下结论。 我们可以通过作直观图来判断双因素之间有无交互效应。将表 9－2 中的 4 各均数作线图，得下 图 9－1 交互效应示意图，得两条相互不平行的直线，说明两因素之间存在交互效应，进一步可采用

后面介绍的交互效应的假设检验进行确认。如果，得两条平行的直线，表示两因素之间没有交互效应。40353025蜡20←坚持一不坚持151050高自尊低自尊图 9-12×2两因素交互作用示意图上述两因素的交互效应称为一阶交互效应，当因素个数大于2时，可计算二阶交互效应，三阶交互效应。若存在交互效应，在统计分析时逐一分析各因素的单独效应。反之如果不存在交互效应，说明两因素的作用效果独立，则在分析处理因素的作用只需考虑该因素的主效应。三、方差分析的基本步骤1.建立假设检验，确定检验水准，如表9-3所示。表9-3例9-1的检验假设无效假设备择假设1. B:μi=μ21.H:μ2即高自尊与低自尊受试者在遇到困难时坚持解题即高自尊与低自尊受试者在遇到困难时坚持解时间的总体均数相等。题时间的总体均数不相等。2.H:μi=μ22.Hμμ2即指示为坚持与指示为不坚持的受试者在遇到困即指示为坚持与指示为不坚持的受试者在遇到难时坚持解题时间的总体均数相等。困难时坚持解题时间的总体均数不相等。3.自尊程度与指示方式差异之间交互作用不显3.自尊程度与指示方式差异之间交互作用显著。著。α=0.052.计算检验统计量F应用SPSS软件对例9-1研究数据进行分析，得两因素两水平析因试验方差分析表，见表9-4。表9-4例9-1数据的方差分析结果EdfMS变异来源SSSig.3处理组间1099. 000 (a)363.00040.333.0001A324.000324.00036.000.000B1.000324.000324. 00036. 0001A*B441.000441.00049.000.0003

3 后面介绍的交互效应的假设检验进行确认。如果，得两条平行的直线，表示两因素之间没有交互效 应。 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 高自尊 低自尊 均数 坚持 不坚持 图 9－1 2×2 两因素交互作用示意图 上述两因素的交互效应称为一阶交互效应，当因素个数大于 2 时，可计算二阶交互效应，三阶 交互效应。若存在交互效应，在统计分析时逐一分析各因素的单独效应。反之如果不存在交互效应， 说明两因素的作用效果独立，则在分析处理因素的作用只需考虑该因素的主效应。 三、方差分析的基本步骤 1. 建立假设检验，确定检验水准，如表 9-3 所示。 表 9-3 例 9-1 的检验假设 无效假设 备择假设 1. H0:1=2 即高自尊与低自尊受试者在遇到困难时坚持解题 时间的总体均数相等。 1. H1:1≠2 即高自尊与低自尊受试者在遇到困难时坚持解 题时间的总体均数不相等。 2. H0:1=2 即指示为坚持与指示为不坚持的受试者在遇到困 难时坚持解题时间的总体均数相等。 2. H1:1≠2 即指示为坚持与指示为不坚持的受试者在遇到 困难时坚持解题时间的总体均数不相等。 3.自尊程度与指示方式差异之间交互作用不显 著。 3.自尊程度与指示方式差异之间交互作用显 著。 ＝0.05 2. 计算检验统计量 F 应用 SPSS 软件对例 9-1 研究数据进行分析，得两因素两水平析因试验方差分析表，见表 9-4。 表 9-4 例 9-1 数据的方差分析结果 变异来源 SS df MS F Sig. 处理组间 1099.000(a) 3 363.000 40.333 .000 A 324.000 1 324.000 36.000 .000 B 324.000 1 324.000 36.000 .000 A * B 441.000 1 441.000 49.000 .000

32误差299.0009.00035总变异1377.0003.确定P值，作出统计推断结论（1）根据表9-4的方差分析结果可以看出，反映A因素间差异的P值小于0.05，因此拒绝Ho，接受H。统计结论为自尊程度不同时完成任务的坚持时间差别有显著统计学意义，推论不同自尊程度对工作毅力产生作用。（2）根据9-4的方差分析结果可以看出，反映B因素间差异的P值小于0.05，因此拒绝Ho接受H。统计结论为指示为坚持与指示为不坚持时完成任务的坚持时间差别有显著统计学意义，推论不同指示方式对工作毅力产生作用。（3）根据9-4的方差分析结果可以看出，反映自尊程度与指示方式之间交互作用的P值小于0.05，因此拒绝Ho.接受H。统计结论为指示为自尊程度与指示方式之间交互作用有显著统计学意义，推论自尊程度与指示方式之间共同对完成任务的坚持时间产生作用。第二节两因素多水平资料的方差分析、两因素多水平方差分析的设计例9-2对有关学生数学焦虑产生原因的问题，心理学家进行了二个研究，挑选了30名同学参加一次数学测验。在这个研究中，一个实验因素是准备时间（A因素），分为3个水平：一是事先没有准备时间（0小时准备组），二是给1小时准备时间（1小时准备组），三是给2小时准备时间（2个小时准备组）。心理学家在挑选受试者时，首先进行了数学焦虑程度测验，将受试者分为两种情况，一种是高焦虑，另一种是低焦虑或无焦虑。这就构成了第二个实验因素，即数学焦虑程度（B因素），包括2个水平：高焦虑组和低焦虑组。所有受试者进行测验时的条件是完全相同的，测验由20题组成，成绩得分见表9-5。9-5三种不同准备时间和两种焦虑程度学生的数学测验得分焦虑程度准备时间（A）Ai：0小时Az:1小时As：2小时10111999179高：Bl513751574111919201616191417低：B219161316111512二、方差分析的基本步骤1.建立假设检验，确定检验水准，如表9-6所示。4

4 误差 299.000 32 9.000 总变异 1377.000 35 3. 确定 P 值，作出统计推断结论 （1）根据表 9-4 的方差分析结果可以看出，反映 A 因素间差异的 P 值小于 0.05，因此拒绝 H0， 接受 H1。统计结论为自尊程度不同时完成任务的坚持时间差别有显著统计学意义，推论不同自尊程 度对工作毅力产生作用。 （2）根据 9-4 的方差分析结果可以看出，反映 B 因素间差异的 P 值小于 0.05，因此拒绝 H0， 接受 H1。统计结论为指示为坚持与指示为不坚持时完成任务的坚持时间差别有显著统计学意义，推 论不同指示方式对工作毅力产生作用。 （3）根据 9-4 的方差分析结果可以看出，反映自尊程度与指示方式之间交互作用的 P 值小于 0.05，因此拒绝 H0，接受 H1。统计结论为指示为自尊程度与指示方式之间交互作用有显著统计学意 义，推论自尊程度与指示方式之间共同对完成任务的坚持时间产生作用。 第二节 两因素多水平资料的方差分析 一、两因素多水平方差分析的设计 例 9-2 对有关学生数学焦虑产生原因的问题，心理学家进行了一个研究，挑选了 30 名同学参 加一次数学测验。 在这个研究中，一个实验因素是准备时间（A 因素），分为 3 个水平：一是事先没有准备时间（0 小时准备组），二是给 1 小时准备时间（1 小时准备组），三是给 2 小时准备时间（2 个小时准备组）。 心理学家在挑选受试者时，首先进行了数学焦虑程度测验，将受试者分为两种情况，一种是高 焦虑，另一种是低焦虑或无焦虑。这就构成了第二个实验因素，即数学焦虑程度（B 因素），包括 2 个水平：高焦虑组和低焦虑组。 所有受试者进行测验时的条件是完全相同的，测验由 20 题组成，成绩得分见表 9-5。 9-5 三种不同准备时间和两种焦虑程度学生的数学测验得分 焦虑程度 准备时间（A） A1：0 小时 A2：1 小时 A3：2 小时 高：B1 10 11 19 9 9 17 5 9 13 7 5 15 4 7 11 低：B2 19 19 20 16 16 19 14 17 19 16 13 16 11 15 12 二、方差分析的基本步骤 1. 建立假设检验，确定检验水准，如表 9-6 所示

表9-6例9-2的检验假设无效假设备择假设1.:μ=μ2μ1.即3种准备时间受试者的数学测验成绩总体均数即3种准备时间受试者的数学测验成绩总体均相等。数不相等。2.B2.H:μ2即高焦虑组与低焦虑组的数学测验成绩总体均数即即高焦虑组与低焦虑组的数学测验成绩总体相等。均数不相等。3.准备时间与焦虑程度之间交互作用不显著。13.准备时间与焦虑程度之间交互作用显著，2.计算检验统计量F应用SPSS软件得到此例实验数据的分析结果如表9-7所示，计算结果包括离均差平方、自由度、均方、F值和P值。表9-7准备时间和焦虑程度对数学测验成绩影响的方差分析表FSSdfMS变异来源Sig.5处理组间470. 000 (a)94. 00012.966,0002准备时间140.00070.0009. 655.0011焦虑程度270.000270.00037.241.0002准备时间*焦虑程度60.00030.0004. 139.029误差247.250174.00029总变异644.0003.确定P值，作出统计推断根据表9-7方差分析表，所有P值均小于0.05，因此可以做出以下推断。（1）A因素准备时间的主效应有统计学意义，可以认为不同的准备时间组，其数学成绩有显著性差异：（2）B因素焦虑程度的主效应有统计学意义，可以认为学生的焦虑程度不同，其数学成绩有显著性差异，低焦虑组或无焦虑组被试的成绩明显好于高焦虑组被试：（3）AB的交互效应有统计学意义，即准备时间因素和焦虑程度因素之间的交互作用具有统计学意义，这两个因素之间的交互作用差异显著

5 表 9-6 例 9-2 的检验假设 无效假设 备择假设 1. H0:1=2=3 即 3 种准备时间受试者的数学测验成绩总体均数 相等。 1. H1:1≠2≠3 即 3 种准备时间受试者的数学测验成绩总体均 数不相等。 2. H0:1≠2 即高焦虑组与低焦虑组的数学测验成绩总体均数 相等。 2. H1:1≠2 即即高焦虑组与低焦虑组的数学测验成绩总体 均数不相等。 3.准备时间与焦虑程度之间交互作用不显著。 3. 准备时间与焦虑程度之间交互作用显著。 2. 计算检验统计量 F 应用 SPSS 软件得到此例实验数据的分析结果如表 9-7 所示，计算结果包括离均差平方、自由度、 均方、F 值和 P 值。 表 9-7 准备时间和焦虑程度对数学测验成绩影响的方差分析表 变异来源 SS df MS F Sig. 处理组间 470.000(a) 5 94.000 12.966 .000 准备时间 140.000 2 70.000 9.655 .001 焦虑程度 270.000 1 270.000 37.241 .000 准备时间 * 焦虑程度 60.000 2 30.000 4.139 .029 误差 174.000 24 7.250 总变异 644.000 29 3．确定 P 值，作出统计推断 根据表 9-7 方差分析表，所有 P 值均小于 0.05，因此可以做出以下推断。 （1）A因素准备时间的主效应有统计学意义，可以认为不同的准备时间组，其数学成绩有显著 性差异； （2）B因素焦虑程度的主效应有统计学意义，可以认为学生的焦虑程度不同，其数学成绩有显 著性差异，低焦虑组或无焦虑组被试的成绩明显好于高焦虑组被试； （3）AB的交互效应有统计学意义，即准备时间因素和焦虑程度因素之间的交互作用具有统计学 意义，这两个因素之间的交互作用差异显著