哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（例题解）第一章 n阶行列式

线性代数 空间解折几何 王宝玲 哈工大数学系 哈工大数学系代数与几何教研室

简介 线性代数与空间解析几何是我校工科各专业必 修的重要基础理论课,是工科数学教学三门主要课 程之一,在一般工科专业的教学中占有极重要的地 位,在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的 应用 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融 为了 门课程.代数中的许多概念非常抽象,几何 为抽象的代数提供了直观想象的空间,代数为几何 提供了便利的研究工具代数与几何的融合能加强 学生对数与形内在联系的理解,学会用代数的方法 处理几何问题 哈工大数学系代数与几何教研室

线性代数与空间解析几何是我校工科各专业必 修的重要基础理论课，是工科数学教学三门主要课 程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地 位，在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的 应用. 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融 为了一门课程. 代数中的许多概念非常抽象，几何 为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数为几何 提供了便利的研究工具.代数与几何的融合能加强 学生对数与形内在联系的理解，学会用代数的方法 处理几何问题. 简 介

线性代数内容包括:行列式、矩阵、向量 代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次 型、线性空间与线性变换等 解析几何的内容包括:几何向量、空间中的 平面与直线、二次曲面 第一章n阶行列式 在工程技术和科学研究中,有很多问题需 要用到“行列式”这个数学工具。本章主要讨论 如下几个问题: 1、行列式的定义;2、行列式的性质 3、行列式的计算;4、 Cramer法则 哈工大数学系代数与几何教研室

线性代数内容包括：行列式、矩阵、向量 代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次 型、线性空间与线性变换等． 解析几何的内容包括：几何向量、空间中的 平面与直线、二次曲面. 第一章 n阶行列式 在工程技术和科学研究中，有很多问题需 要用到“行列式”这个 数学工具。本章主要讨论 如下几个问题： 1、行列式的定义；2、行列式的性质； 3、行列式的计算；4、Cramer 法则．

11n阶行列式 1.1.1二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究 设二元线性方程组 1x1+a12=b 21x1+a2x2= b(1) 其中a1a2-a12a21≠0 现在讨论线性方程组(1)的求解公式, 对(1)作加减消元得: 哈工大数学系代数与几何教研室

1.1 n阶行列式 1.1.1 二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究： 设二元线性方程组 （1）    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 其中 a11a22 −a12a21  0 现在讨论线性方程组（1）的求解公式， 对（1）作加减消元得:

x 1122 12 (2) 6-b 1422-412C 式(2)就是式(1)的解,但(2)不易记忆, 因此有必要引进新的符号-“行列式”来表示 (2)式 定义:设a1,a12,a21,a2是四个数,称代数和 为二阶行列式,记作 1122 12021 22哈工大数学系代数与几何教研

       − − = − − = 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x 11 12 21 22 a ,a ,a ,a （2） 式（2）就是式（1）的解，但（2）不易记忆， 因此有必要引进新的符号--“行列式”来表示 （2）式． 定义: 设 是四个数，称代数和 11 22 12 21 a a −a a 为二阶行列式，记作 = 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 1 1 2 2 1 2 2 1 a a − a a

an(,j称为这个二阶行列式的元素,的 两个下角标,分别表示所在的行和列的序号, 常称a是行列式的()元素 对线性方程组(1),记 D= ≠0 DI bc b b D b-b b 哈工大数学系代数与几何教研室

称为这个二阶行列式的元素， 的 两个下角标 分别表示所在的行和列的序号， 常称 是行列式的（ ）元素． a (i, j =1,2) ij ij a i, j ij a i, j 对线性方程组（1），记 D = = 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 0 a1 1a2 2 − a1 2a2 1  D1 = 1 22 12 2 2 22 1 12 b a a b b a b a = − 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 a b b a a b a b D = = −

(1)的解(2)可写成 D D D 对线性方程组 3x1+5x2= +2x1=2 由于D 35 3×2-5×(-1)≠0; D 1×2-5×2=-8 D2=12哈工大数学系代数与几何教 =3×2-1×(-1)=7

(1)的解（2）可写成      = = . ; 2 2 1 1 D D x D D x    − + = + = 2 2 3 5 1 1 2 1 2 x x x x 由于 3 2 5 ( 1) 0 1 2 3 5 =  −  −  − D = ; 1 2 5 2 8, 2 2 1 5 D1 = =  −  = − 3 2 1 ( 1) 7, 1 2 3 1 2 =  −  − = − D = 对线性方程组

则方程组的解可以写成 DDDD 11 为了得出关于三元线性方程组 a1x1+a12x2+a13x3=b 21x1+a2x2+a23x3=b2 a21x1+a2x2+a2x2=b2 的类似解法,我们引入三阶行列式 哈工大数学系代数与几何教研□

为了得出关于三元线性方程组      = = − = = . 11 7 ; 11 8 2 2 1 1 D D x D D x 则方程组的解可以写成      + + = + + = + + = 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的类似解法，我们引入三阶行列式．

C1C1213 定义:称 22a 23 d11l2233+12l23l31 C 132210432 134422431 11 23432 aoa 21133 为三阶行列式 哈工大数学系代数与几何教研□

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − + − + 定义: 称 为三阶行列式．

例如 304 210 0+0+4×1×1-4×1×2-3×2× 10 25 36 789 哈工大数学系代数与几何教研室

例如 10 0 0 4 1 1 4 1 2 3 2 1 0 2 1 0 1 1 2 3 0 4 = − = + +   −   −   − . 0 7 8 9 4 5 6 1 2 3 =