《线性代数》课程教学资源（考题及答案）2000年春季考题及答案测试3

18.06考试3闭卷 2000年5月3日 请迭择助教 1) M2 2-131 P. Clifford 2) M3 2-131 P. Clifford 3 Tll 2-132 Tde Piro 4)T12 2-132 Tde Piro 5) T1 2-131 T Bohman 6)T1 2-132 T. Pietraho 7) T2 2-132 T. Pietraho 8)T2 2-131 T Bohman 注意:确认你的试卷有四道题 题目分数

18.06 ￾✁ 3 ✂ ✄ 2000 ☎ 5 ✆ 3 ✝ ✞✠✟✠✡ ☛✠☞✠✌✠✍✠✎✡ 1) M2 2-131 P.Clifford 2) M3 2-131 P.Clifford 3) T11 2-132 T.de Piro 4) T12 2-132 T.de Piro 5) T1 2-131 T.Bohman 6) T1 2-132 T.Pietraho 7) T2 2-132 T.Pietraho 8) T2 2-131 T.Bohman ✏✠✑✡✓✒✠✔✠✕✠✖✠✗✠✘✠✙✠✚✠✛✠✜✠✢ ✜✤✣ ✥✠✦ 1 25 2 25 3 25 4 25 ✧✠★✡ 100 1

1.(25分)令 350 因此 34300 AA=30340 AA有下列特征向量: 0 001 a)求AA的特征值 b)求A的奇异 (c)给出A的奇异值分解。 必须写明解题过程,本题才能得分

1.(25 ✥ ) ✩ A = " 5 3 0 3 5 0 # ✪✬✫ A T A =    34 30 0 30 34 0 0 0 0    AT A ✙✠✭✠✮✠✯✠✰✲✱✬✳✠✡    1 1 0    ,    1 −1 0    ,    0 0 1    . (a) ✴ AT A ✖✠✯✠✰✠✵✠✢ (b) ✴ A ✖✠✶✠✷✠✵✠✢ (c) ✸✲✹ A ✖✠✶✠✷✠✵✠✥✠✺✠✢ ✏✡✓✻✠✼✲✽✠✾✬✺✠✜✠✿✠❀✠❁✓❂✠✜✲❃✬❄✠❅✠✥✠✢ 2

2(25分)判断对错:若对,说明理由;若错,举出反例 (a)若A是对称矩阵,则A的任何两个特征向量都是正交的 (b)若A是n×n矩阵,且有n个标准正交特征向量,则是对称的 c)对称矩阵的特征向量矩阵S是对称的 注:必须写明解题过程,本题才能得分

2.(25 ✥ ) ❆✠❇✠❈✠❉✡✓❊❈ ❁✓❋✲✾✬●✲❍✬■✓❊❉ ❁✓❏ ✹✬❑✠▲✢ (a) ❊ A ▼✠❈✠◆✠❖✲P❁✓◗ A ✖✠❘✠❙✠❚✠❯✠✯✠✰✲✱✬✳✠❱▼✠❲✠❳✖✠✢ (b) ❊ A ▼ n × n ❖✲P❁✓❨✠✙ n ❯✠❩✠❬❲✠❳✯✠✰✲✱✬✳✠❁✓◗▼✠❈✠◆✖✠✢ (c) ❈✠◆✠❖✲P✖✠✯✠✰✲✱✬✳❖✲P S ▼✠❈✠◆✖✠✢ ✏✡✓✻✠✼✲✽✠✾✬✺✠✜✠✿✠❀✠❁✓❂✠✜✲❃✬❄✠❅✠✥✠✢ 3

A=2d4 d为何值时,A的所有特征值都大于零?(提示:不必计算A的特征值) 注:必须写明解题过程,本题才能得分

3.(25 ✥ ) ✩ A =    1 2 3 2 d 4 3 4 5    d ❭ ❙✠✵✠❪✠❁ A ✖✠❫✠✙✠✯✠✰✠✵✠❱✠❴✠❵✠❛✤❜ (❝✠❞✡✓❡✠✻★✠❢ A ✖✠✯✠✰✠✵) ✏✡✓✻✠✼✲✽✠✾✬✺✠✜✠✿✠❀✠❁✓❂✠✜✲❃✬❄✠❅✠✥✠✢ 4

4(25分)设A是一个特征值为入=1和入=2的3×3矩阵,且rank(A-D)= a)A的哪些特征值是多重的?为什么? (b)写出一个矩阵,要求其与A相似且对称。并说明相似的理由 (c)写出一个矩阵,要求其与A相似,但不对称。并说明相似的理由 d)写出一个矩阵,要求其与A有相同的特征值但不相似于A。并说明不 相似的理由

4.(25 ✥ ) ❣ A ▼✐❤❯✐✯✐✰✐✵❭ λ = 1 ❥ λ = 2 ✖ 3×3 ❖❦P❁❧❨ rank(A−I) = 1 ✢ (a)A ✖✠♠✠♥✠✯✠✰✠✵▼✲♦✬♣✖✤❜ ❭✠q✲r ❜ (b) ✽ ✹✬❤❯ ❖✲P❁✓s✴✠t✠✉ A ✈✠✇❨ ❈✠◆✢✓①✠❋✲✾ ✈✠✇✖✠●✲❍✬✢ (c) ✽ ✹✬❤❯ ❖✲P❁✓s✴✠t✠✉ A ✈✠✇❁✓②✠❡❈✠◆✢✓①✠❋✲✾ ✈✠✇✖✠●✲❍✬✢ (d) ✽ ✹③❤❯ ❖④P ❁✓s✴⑤t⑤✉ A ✙ ✈④⑥ ✖⑤✯⑤✰⑤✵⑤②⑤❡ ✈⑤✇❵ A ✢✓①⑤❋④✾③❡ ✈✠✇✖✠●✲❍✬✢ 5