《线性代数》课程教学资源（考题及答案）2000年秋季考题及答案测试1

18.06测试1卷 1999年10月8日 姓名: 请选择助教: 1) M2 2-131 WFong 2) M2 2-132 L Nave 3 M3 2-131 WFong 4) T10 2-131 H Matzinger 5) T10 2-132 P. Clifford 6) Tll 2-131 H Matzinger 7) Tll 2-132 P. Clifford 8) T12 2-132 MSkandera 9)T122-131V.Kac 10) T1 2-131 H Matzinger 11) T2 2-132 MSkandera 1(25分)假设通过行变换可以将A和B化简成相同的阶梯形矩阵 1207 R=0015 0000 (a)A和B的下列四个子空间是一样的吗?(C(A)=C(B)?N(A)=N(B)?C(AT)= C(B)?N(A)=N(B)?) (b)如果(a)中A和B的上述子空间有相同的,求这个子空间的基。 (C)判断正误(A是任一矩阵,工,y是两个向量) 如果A和Ay是线性无关的,则x和y也是线性无关的

18.06 ￾ ✁ 1 ✂ ✄ 1999 ☎ 10 ✆ 8 ✝ ✞✠✟✠✡ ☛✠☞✠✌✠✍✠✎✡ 1) M2 2-131 W.Fong 2) M2 2-132 L.Nave 3) M3 2-131 W.Fong 4) T10 2-131 H.Matzinger 5) T10 2-132 P.Clifford 6) T11 2-131 H.Matzinger 7) T11 2-132 P.Clifford 8) T12 2-132 M.Skandera 9) T12 2-131 V.Kac 10) T1 2-131 H.Matzinger 11) T2 2-132 M.Skandera 1(25 ✏) ✑✠✒✠✓✠✔✠✕✠✖✠✗✠✘✚✙✜✛ A ✢ B ✣✚✤✜✥✠✦✚✧✜★✠✩✠✪✠✫✠✬✚✭ R =    1 2 0 7 0 0 1 5 0 0 0 0    (a)A ✢ B ★✯✮✯✰✯✱✯✲✯✳✵✴✯✶✸✷✯✹✯✺✯★✯✻✽✼ (C(A) = C(B)? N(A) = N(B)? C(AT ) = C(BT )? N(AT ) = N(BT )?) (b) ✾✠✿ (a) ❀ A ✢ B ★✠❁✠❂✠✳✚✴✠✶✜❃✠✦✚✧✜★✠❄❆❅✠❇✠✲✠✳✚✴✠✶✜★✠❈✠❉ (C) ❊✠❋✠●✠❍ (A ✷✠■✠✹✠✬✚✭✜❄ x ❄ y ✷✠❏✠✲✚❑✜▲) ✡ ✾✠✿ Ax ✢ Ay ✷✠▼✠◆✠❖✚P✜★✠❄❆◗ x ✢ y ❘✠✷✠▼✠◆✠❖✚P✜★✠❉ 1

2(25分)设 100110145 1100122 (a)写出A的零空间的一组基 (b)写出A的列空间的一组基 (c)求方程A=3的通解

2(25 ✏) ✒ A =    1 0 0 1 1 0 7 −1 2       1 0 1 4 5 0 1 2 2 1 0 0 0 1 1    (a) ❙✠❚ A ★✠❯✚✴✠✶✜★✠✹✠❱✠❈✠❉ (b) ❙✠❚ A ★✠✰✚✴✠✶✜★✠✹✠❱✠❈✠❉ (c) ❅✠❲✠❳ Ax =    3 3 21    ★✠✓✠❨✠❉ 2

3(25分)设A是一个3×5矩阵,且方程ATy=0的解空间由下面的向量张成 101 (a)求A的秩。 (b)对任意A,为什么A的秩等于分块矩阵B=AA的秩? (c)如果一个矩阵A的秩等于它的行数(r=m),那么方程Ar=b的解是什么 样子?

3(25 ✏) ✒ A ✷❩✹❩✲ 3×5 ✬❬✭❭❄❫❪❩❲❩❳ AT y = 0 ★❩❨❬✴❩✶❩❴❭✮❬❵❭★❬❑❭▲❩❛❩✥✡ y =    1 1 0    ,    1 0 1    ,    0 1 −1    (a) ❅ A ★✠❜✠❉ (b) ❝✠■✠❞ A ❄❆❡✠❢✚❣ A ★✠❜✠❤✠✐✠✏✠❥✠✬✚✭ B = " A A A A # ★✠❜❦✼ (c) ✾✠✿✠✹✠✲✠✬✚✭ A ★✠❜✠❤✠✐✠❧✠★✠✕✠♠ (r = m), ♥✚❣✜❲✠❳ Ax = b ★✠❨✠✷✠❢✚❣ ✺✠✳❦✼ 3

4(25分)设A是一个4×3矩阵,且方程Ax 411 解是 0 (a)求A的第三列 (b)求A的第二列 (c)尽可能多的给出关于A的第一列的信息

4(25 ✏) ✒ A ✷✠✹✠✲ 4 × 3 ✬✚✭✜❄❆❪✠❲✠❳ Ax =      1 4 1 1      ★✠✓✠❨✠✷ x =    0 1 1    + c1    0 2 1    . (a) ❅ A ★✚♦✜♣✠✰✠❉ (b) ❅ A ★✚♦✜q✠✰✠❉ (c) r✠✘✠s✚t✜★✠✉✚❚✠P✜✐ A ★✚♦✜✹✠✰✠★✠✈✚✇✜❉ 4