清华大学电子工程系：小波分析（4/4)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 通知: 考试时间:2002年1月11日(星期五)上午8:00 地点:四教4101 研究生选课:2002年1月5日上午8:00~8日下 午16:00

通知：  考试时间：2002年1月11日（星期五）上午8: 00 地点：四教4101  研究生选课：2002年1月5日上午8: 00 ～ 8日下 午16: 00

@ 华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 多分辨分析的基本思想: 假设有一阶梯宽度为1的函数,现用阶梯宽度比 1大(例如:阶梯宽度为2)的函数来逼近: 0<t<1 0≤t≤1/2 op(t) others 12<t<1 others

多分辨分析的基本思想：  假设有一阶梯宽度为1的函数，现用阶梯宽度比 1大（例如：阶梯宽度为2)的函数来逼近：           = 0 others -1, 1/2 t 1 1, 0 t 1/2 (t) ,       = 0, others 1, 0 t 1 (t)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 要点回顾: 怎样构造标准正交小波基:研究在标准正交小 波基条件下小波函数及尺度函数所具有的性质, 根据这些性质找出构造标准正交小波基的方法 利用双尺度函数之间的关系以及尺度函数和小 波函数之间的关系构造信号的分解和重构的快 速算法(塔式算法)

要点回顾：  怎样构造标准正交小波基：研究在标准正交小 波基条件下小波函数及尺度函数所具有的性质， 根据这些性质找出构造标准正交小波基的方法。  利用双尺度函数之间的关系以及尺度函数和小 波函数之间的关系构造信号的分解和重构的快 速算法（塔式算法）

华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 小波变换的分类: 连续小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小 波变换。 离散参数小波变换 时间连续,控制窗口大小的参数和时移参数离散的 小波变换 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小 波变换

小波变换的分类：  连续小波变换 − 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小 波变换。  离散参数小波变换 − 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的 小波变换。  离散小波变换 − 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小 波变换

华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 离散小波变换: 离散小波变换的定义: 小波函数:vkm)=2v(2n-k),njk∈Z 变换系数:C1k=(f(m,Vv1)=∑/(m) 反变换:/(m)=A∑∑C14(m)

离散小波变换：  离散小波变换的定义： (n) 2 (2 n - k), n, j, k Z -j/2 -j 小波函数：j ,k =    + =  =  =  n - j ,k j ,k j ,k 变换系数： C f (n), (n) f (n) (n)   + =  + =  =  j - k - j ,k j ,k -1 反变换： f (n) A C (n)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 离散小波变换: 离散小波变换的特殊问题: 小波函数的拉伸与压缩: 现象:根据母小波屮(n)产生平(2n)只要抽取偶数下标即可, 但由(n)产生(n2)只有偶数下标有值。 A(t) y(n 7 4567

离散小波变换：  离散小波变换的特殊问题： − 小波函数的拉伸与压缩：  现象：根据母小波(n)产生(2n)只要抽取偶数下标即可， 但由(n)产生(n/2)只有偶数下标有值

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 离散小波变换: ·解决方法:无值处用内插方法,但对内插滤波器有一定的 n4要求。 内插方法: 扩展:v(m)=∑vk)m-2k) 滤波:v"(m)=∑v(m)h(m-m) 对内插滤波器h-n)的要求 h(2n)=6(n)/√2 内插结果 t b) 方川()≈y"(m) =∑L∑(k)(m-2k)jh(m-n) =∑W(k)h(2k-n)

离散小波变换：  解决方法：无值处用内插方法，但对内插滤波器有一定的 要求。 h(2n) (n)/ 2 h(-n) =  对内插滤波器 的要求：  =   k 扩展： ' (m) (k) (m - 2k) 内插方法：  =  m 滤波： ' '(n) '(m)h(m - n)    =  =      k m k (k)h(2k - n) [ (k) (m - 2k)]h(m - n) ) ' '(n) 2 n ) ( 2 1 ( 内插结果：

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 离散小波变换: 小波函数的分辨率和尺度的关系 ·离散时间小波的尺度减小后,取样值数目要减少,因此要 引起分辨率下降。 ·离散时间小波的尺度增大后,虽然会增加样本的数目,但 内插样本是根据原来信号的样值计算的,并未增加新的细 节,所以不会提高分辨率

离散小波变换： − 小波函数的分辨率和尺度的关系：  离散时间小波的尺度减小后，取样值数目要减少，因此要 引起分辨率下降。  离散时间小波的尺度增大后，虽然会增加样本的数目，但 内插样本是根据原来信号的样值计算的，并未增加新的细 节，所以不会提高分辨率

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 离散小波变换的快速算法: 问题的提出: 小波函数的拉伸需要大量的内插运算,但拉伸以后 小波函数的分辨率却没有提高。 怎样高效快速地计算离散小波变换及其逆变换? 两种算法: Trous算法 Mallat算法

离散小波变换的快速算法：  问题的提出： − 小波函数的拉伸需要大量的内插运算，但拉伸以后 小波函数的分辨率却没有提高。 − 怎样高效快速地计算离散小波变换及其逆变换？  两种算法： − Trous算法 − Mallat算法

@ 清华大学电子工程系 内插结果: 智能图文信息处理实验室 Trous算法: 基本原田,T滤NWh(k-n) 令h(-n)为内插滤波器,同时g(-n)=v(m),则: 1,k ∑f(m)v(2n-k) v(2)≈∑vm(2m-n+2k) ∑gm)h(n+2(m+k) ∑g-m)h(2m-n)(m+k→m) Ck=∑f(m∑g-mh2mm=∑g-m∑f(n2mm) f(m)=∑f(mh(2m-n)Ck=∑gk-m)f(m) f(m)=∑f(m)h(2m-n)C1k=∑g-m)f(m) n m

Trous算法：  基本原理： 令h(-n)为内插滤波器，同时g(-n) = (n)，则：    =  k ) ' '(n) (k)h(2k - n) 2 n ) ( 2 1 ( 内插结果：  + =  =  n - -1 1 ,k (n) (2 n - k) 2 1 C f    + m ) (m)h(2m - n 2k) 2 n - 2k ( 2 1 =  + + m g(-m)h(-n 2(m k)) =  + → m g(k - m)h(2m - n) (m k m) C (n)[ g(k - m)h(2m - n)] g(k - m) (n)h(2m - n) n m m n 1 ,k =  f  =   f =  n 1 f (m) f (n)h(2m - n) =  m 1 1,k C g(k - m) f (m) =  n j j-1 f (m) f (n)h(2m - n) =  m j j,k C g(k - m) f (m) Trous滤波器