《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件）第三章 几何空间中的向量（向量的数量积和向量积、混合积与复合积）

第三节向量的数量积 物理背景 a数量积的定义 a数量积的性质 在仿射坐标系和直角坐标系 下的计算 应用

物理背景 力作功 W=F cos0 S FS|cos日

数量积的定义 定义 两个向量a与B的数量积是一个数, 它等于这两个向量的长度与 它们的夹角O=a,B)余弦的乘积 记为aB或aβ 即有a·B= aCos 0

数量积的性质 数量积有性质 (1B=Ba (2a+B).y=ar+Br; (3)ka)·B=a(kB)=k(a· (4)a2=aa≥0,当且仅当a=0 时,等号成立

在仿射坐标系和直角坐标系 下的计算 在仿射坐标系{O;e,e2,e3}下,设 a=xe,+x,e2+x3e3,B=ye,+v,e,+y X=(x1,x2,x3),Y=(n1,2,y3) a.B=( x,e,xe+re. )·(v1e1 V3e3) 11e+x1V2e1e2+131e3+x21e2e1+x22 23c2 x31e3e1+x3.2e3e2+x3

任意两向量的内积取决于基向量的内积 ,由基向量的内积构造一个三阶方阵 称为坐标系(基)的度量矩阵, 或称Gram矩阵

在仿射坐标系下 1c1 e1e3‖y1 B e2e3‖y2 e1e3e2e3e3人 XGI

在直角坐标系下 a·B=XY 2+ Va

计算方法: 用定义 用公式

例1 在仿射坐标系{O;e1,e2,e3}下 1c2 60°,(e ease 25c3 45° 求向量a=(2,0,-√2)与B=(,,1) 的数量积 解 22 2丫3 2 B=(2,0