浙江大学材料与化工学院《实用数值计算方法》_第六章 常微分方程的数值求解方法

第六章常微分方程及 方程组的解法 61常微分方程及其求解概述 62初值问题解法 63边值问题解法 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 1 第六章 常微分方程及 方程组的解法 6.1 常微分方程及其求解概述 6.2 初值问题解法 6.3 边值问题解法

ODE Ordinary Differential Equations) 6.1常微分方程及其求解概述 6,2初值问题解法 1 Euler方法 2线性多步法 3 Runge- Kuttal法 4方程组及刚性问题的Gear方法 63边值问题解法 1 Shooting(试射法 2差分法 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 2 6.1 常微分方程及其求解概述 6.2 初值问题解法 1.Euler方法 2.线性多步法 3.Runge--Kutta法 4.方程组及刚性问题的Gear方法 6.3 边值问题解法 1.Shooting(试射法) 2.差分法 ODE (Ordinary Differential Equations) s

6.1常微分方程及求解概述 (Ordinary Differential Equations, ODE) 61.1基本概念 描述自由落体的ODE: mg 若设:tn=0时s=0,s=1(6-2) 或设/6=0 s=0 s=0 那么ODE(6-1)唯一确定了s=s() 的运动轨迹。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 3 6.1 常微分方程及求解概述 （Ordinary Differential Equations, ODE) 6.1.1 基本概念 描述自由落体的ODE: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 的运动轨迹。 那么 唯一确定了 时 时 或设： 若设： 时 ODE s s t t s t s t s s m g dt d s − = −    = = = = = = = − = − − 6 1 6 3 1 0 0 0 0 0, 1 6 2 6 1 1 0 ' 0 2 2

只有一个自变量的微分方程为ODE, 否则称为偏微分方程PDE。 方程中未知函数导数的最高阶数称为 方程的阶。 (6-4)是二阶的 方程中关于未知函数及其各阶导数 均是一次的,则称为线性徼分方程。 如: dy+ax) dx x 和(6-1)都是线性二阶ODE。 (6-2),(6-3)是(6-1)的初始条件。亦称定解 条件。(6-1)(6-2)叫做初值问题。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 4 • 只有一个自变量的微分方程为ODE, 否则称为偏微分方程PDE。 • 方程中未知函数导数的最高阶数称为 方程的阶。 （6-4）是二阶的 • 方程中关于未知函数及其各阶导数 均是一次的，则称为线性微分方程。 ( ) ( ) (6 4) 2 2 + = r x − dx dy q x dx d y 如： 和（6-1）都是线性二阶ODE。 • (6-2),(6-3)是(6-1)的初始条件。亦称定解 条件。(6-1)(6-2)叫做初值问题。 6.1.1

(6-1),(6-3)叫做边值问题。 在没有给定解条件时。方程一般 有一族解曲线y(x,c)。如: dy 有解y(x,c)=ce。(c为任意常数) 对任意的n阶ODE,如果能写成: y=f(x,y,y2…y (6-5) 则称该方程为显式的。方程(6-4)是 显式的。而下面方程是隐式的。 sin(v)+exp(v)=y+x 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 5 6.1.1 （6-1），（6-3）叫做边值问题。 • 在没有给定解条件时。方程一般 有一族解曲线y(x,c) 。如： 有解 y(x c) ce 。 (c为任意常数) y dx dy x = = , • 对任意的n阶ODE，如果能写成： ( ) ( ) ( , , , , ) (6 5) ' 1 = − n n− y f x y y  y 则称该方程为显式的。方程（6-4）是 显式的。而下面方程是隐式的。 (y )+ (y )= y + x ' ' sin exp

对于高阶显式方程。通过定义n-1个 新变量,可以写成n维一阶方程组。 即令 (x) x (6-6 (x)=y(x 那么(6-5)可以改写为如下的方程组: J0=y1 h-2 f(x,y02y12…,yn) 般我们把方程组写成向量形式: 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 6 • 对于高阶显式方程。通过定义n-1个 新变量，可以写成n维一阶方程组。 即令： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 一般我们把方程组写成向量形式： 那么 可以改写为如下的方程组： 6 7 , , , , 6 5 6 6 , 1, , 1 0 1 1 ' 1 1 ' 2 2 ' 1 1 ' 0 0 1 −          = = = = − = − = = = − − − − − − n n n n i i y f x y y y y y y y y y y x y x i n dx dy x y x    6.1.1

y=f(x, y) 这里:y=(,y12…,yn) 在讨论初值问题时,我们从一阶方 程开始: 0 然后毫不费力地套用来解方程组。 当f(x,y)与y无关时,f(x2y)=g(x) 则初值问题 y=g 变为积分问题 0 y=g(x)dx+C,y(o) 故求解微分方程具有更广泛的意义。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 7 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 7 y f (x, y) ' = ( ) ( ) T n T n f f f f y y y y 0 1 1 0 1 1 , , , , , , − − = =  这里：  • 在讨论初值问题时，我们从一阶方 程开始： ( )  ( )     = = 0 0 ' , y x y y f x y 然后毫不费力地套用来解方程组。 • 当 f(x,y)与y无关时，f(x,y)=g(x) ( ) ( ) ( ) ( ) 故求解微分方程具有更广泛的意义。 则初值问题 变为积分问题 0 0 0 0 ' y g x dx c, y x y y x y y g x = + =    = =  6.1.1

6.1.2数值解及其重要性 ●ODE的解很少能用初等函数及其 不定积分的组合表示。例如方程 不能表示为初等函数,故得不到精确解。 有的解可以表示为自变量的显示形式, 但仍然得不到精确解。例如 1-2x 的解是 e'dt难以求积。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 8 6.1.2 数值解及其重要性 ( ) 而 难以求积。 的解是 但仍然得不到精确解。例如 有的解可以表示为自变量的显示形式， 不能表示为初等函数，故得不到精确解。 不定积分的组合表示。例如方程 的解很少能用初等函数及其   − = = − = + x t x x t e dt y x e e dt y x y y x y ODE 0 0 ' ' 2 2 2 2 2 1 2 • •

61.3ODE数值解的基本思想和方法特点 基本思想有两点 1.离散化 用 Taylor级数,数值积分和差商 逼近导数等手段,把ODE转化为离散 的代数方程(称差分方程)。 2.递推化 在具有唯一解的条件下,通过 步进法逐步计算出解在一系列离散 点上的值。从而得到原ODE的数值 近似解。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 9 6.1.3 ODE数值解的基本思想和方法特点 基本思想有两点 1. 离散化 用Taylor级数，数值积分和差商 逼近导数等手段，把ODE转化为离散 的代数方程(称差分方程)。 2. 递推化 在具有唯一解的条件下，通过 步进法逐步计算出解在一系列离散 点上的值。从而得到原ODE的数值 近似解

62初值问题解法 我们讨论一阶ODE,而高阶可 能化为一阶ODEs。一阶初值问题 可以一般地写成: f(x,y)x∈[xn,X 6-8 yo=yo 62.1欧拉( Euler)方法 Euler方法是求解(6-8)最简单方法, 但精度差,故不实用。然而对理论分 析很有用。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 10 6.2 初值问题解法 我们讨论一阶ODE，而高阶可 能化为一阶ODEs。一阶初值问题 可以一般地写成： ( )   ( ) (6 8) , , 0 0 0 −      = =  y x y f x y x x X dx dy 6.2.1 欧拉（Euler）方法 Euler方法是求解(6-8)最简单方法， 但精度差，故不实用。然而对理论分 析很有用