《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵（逆矩阵、分块矩阵）

第三节逆矩阵 逆矩阵的定义 方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充分必要条件 a可逆矩阵的性质 方程组中的应用

逆矩阵的定义 定义设A是n阶方阵,如果 存在n阶方阵B,使得 AB=BA=I 则称A是可逆的(或非奇异 的),B是A的一个逆矩阵 否则称4是不可逆的(或奇 异的)

定理)若4可逆则A4的逆矩阵唯 定理)设4,B是n阶方阵,则 det(aB)=det Adet B

矩阵可逆的充分必要条件 定理A4可逆的充分必要条件是 detA≠0 当A可逆时,A11 det A 其中^是A的伴随矩阵 建1 12 2 An A2 其中4是an的代数余子式

推论1设A∈Mn,AX=0 有非零解的充分必要条件是奇异。 推论2设A∈Mn 若有B∈Mn 使得AB=I(或BA=I), 则4可逆,且 A-I=B

推论 若 det4≠0 则 det A=(det A)-

推论 若4,B∈Mn 4B=I, 则A,B都可逆, 且互为逆矩阵

求逆矩阵的方法 待定系数法 例1设A= 2-2 求A 解令 b b AB 2a-2c2b-2d 1 b 0 b=0 10 B c=1 2b-2d

用公式A-1=A 例2设1-1 12/求1 解 故1可逆 21(21

1 1 * A A A = −

用定义若AB=l,则B=A1 例3设A∈Mn,满足42-A-2Ⅰ=0, 证明A,A+2I可逆,并求逆 证明4(4-D)=I (4-D)

−1 若AB = I，则B = A