《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件）第三章 几何空间中的向量（平面、直线、距离）

第六节平面 口平面方程 口两个平面的位置关系

平面方程 个平面如何确定? 点定一个平面 给定一个点和两个不共 线的方向向量 如何描述一个平面? 给定平面丌 即给定一个点P及不 共线的两个向量a1,a2

点M∈丌<PM,C1,a2共面 oPM=t,a,+t,a 仿射坐标系{O;e1,e2,e3} 给定P:(x0,Jn,),ax1:(x1,n1,x1), 设M:(x,y,x) PM: x-xo,v-y0,4 0

M∈丌 x n,-0) 1,1,41 tt tx+t,x >1y=0+t11+t22 3=+t11+t232

设仿射坐标系{Oee2} P(xo, o, o ),a1=(<1, 1, 1), 2=(r2, 2, 2) 过P点与an,a2平行的平面的 参数方程 +tixlttox y=yo +t11+t2]2 t11+t2m2

点M∈丌>PM,a1,2共面 >PM·(ax1xa2)=0 x-xo y'-Jo 4-vo 0 t1x1+t2x2-(x-x0)=0 1+t22-(y-J0)=0 t11+t232-(x-)=0 齐次线性方程组有非零解:(1r2,-1) >系数行列式=0

平面的一般方程: Ax+ By+Cz+D=0 Ay1 B x1 4 x1 42 C1 J D 1y1 2y2z2

任何一个三元一次方程代表一个平面的证明 取满足方程的四个解: M(x,y,),O(x1,y1,1),P(x2,y2,32),Q(x3,y3,3) Ax+ By+C*+D=0 4x1+Bv;+Ca,+D=0 4x,+Bv,+C-,+D=0 Ax+ Bu,+Cs+D=0 A(x-x1)+B(y-y1)+C(x-)=0 A(x2-x1)+B(2-1)+C(x2-1)=0 A(x3-x1)+B(v3-y1)+C(3-孔1)=0

齐次线性方程组有非零解 冷>x2-x1y2-1x2 1|=0 >OM,OP,OO共面 >M在O,P,Q所在的平面内

定理 每个平面可以用一个三元一次方程来表示 反之,每个三元一次方程代表一个平面