《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式（行列式按行展开、克拉默法则）

第四节按行展开定理 1.余子式、代数余子式 2.行列式按一行展开的公式 3.利用按行展开公式计算行列式

第四节 按行展开定理 利用按行展开公式计算行列式 行列式按一行展开的公式 余子式、代数余子式 3. 2. 1

1.余子式、代数余子式 定义在行列式中,划去元素a所 在的第i行第j列,由剩下的 元素按原来的排法,构成 个n-1阶的行列式 j-1 11 2-1j-1a-1j+1 ai-ii i+11 “i+1-14;+1j+l∴“iln 称为元素a的余子式,记为M

1. 余子式、代数余子式

令 4=(1M4 称为元素a的代数余子式

例1求行列式 1 D 230 21 3-10 的代数余子式41,423 解 31 M1=021=3,41=(1)M1=3

12 M23=101=10, 3-1 23 (1)2 M 23 10

2.行列式按一行展开的公式 定理 n阶行列式等于它的任意一行的所 有元素与它们的代数余子式的乘积 之和 D=an4n1+ak4k+…+a41 “k24k2

2. 行列式按一行展开的公式

例 123 456=141+2412+3413 32 =4421+542+6423

D=kaK+ak2 Ak2 +.+anaK 定理证明的思路 证法1 利用定义证明 (1)等号两边项数相等 (2)等号右边每一项都在等式左边, 且符号相同

D = ak1Ak1 + ak 2Ak 2 ++ aknAkn

D=kaK+ak2 Ak2 +.+anaK 证法2 (1)先证按第一列展开 将第一列元素拆成n项之和, 再利用性质将行列式拆成n个行列式的和 (2)再证按第j列展开

D = ak1Ak1 + ak 2Ak 2 ++ aknAkn

例 123 56=141+242+34s 321 4421+542+6423 2A1+3412+4A13=? 3A1+2A12+A13=?

2A11 + 3A12 + 4A13 = ? 3A11 + 2A12 + A13 = ?