《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵（矩阵及其运算）

第二节矩阵及其运算 a矩阵的概念 些特殊的矩阵 口矩阵的相等 口矩阵的加法 口矩阵的数量乘法 矩阵的乘法 口矩阵的转置

矩阵的乘法 定义设 A=(c)n,B=() r×n 则矩阵C=(c)nn其中 句=a1b;+a2b2;+…+nb7 称为A与B的乘积,记作C=AB

a11 a12 Cll C In C21c22 lmI lm =a1b1;+a12b2+…+anb 11C12 In 21C 22 n i1 i2 n n

              m m m n ij n n c c c c c c c c c c       1 2 21 22 2 11 12 1                         = rj j j i i i r b b b a a a   2 1 1 2

例1 B=00 10-1 0-1 AB 00 10 BA=00 0

          −       − = 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 AB       − = 0 0 0 1       −           − = 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 BA           − − − = 1 0 1 0 0 0 1 1 1 例1

例2 b3) a3b, a3b2 a3b3 a,6+a262+a3b3

例2 ( ) 1 2 3 3 2 1 b b b a a a                     = 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a b a b a b a b a b a b a b a b a b ( )           3 2 1 1 2 3 a a a b b b = a1b1 + a2b2 + a3b3

例3 00

例3             0 0 0 1 0 0 1 0       = 0 0 0 1             0 0 1 0 0 0 0 1       = 0 0 0 0

例4 ax, tax+.+.x=b 12 nn a21x,+a222+.+arnn=b, ax1+a,,+…+a.=b n nn n 12 n 令A 2n b 2 mn 则方程组可写作A=b

例4        + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1               =               =               = m m m n n m n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A          2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 令 , , 则方程组可写作Ax = b

定理 1.04=0.40=0 2.IA=A. AI=A 3.4(BC=4BC 4.A(B+C=AB+AC (B+C)A=BA+CA

乘法结合律的证明 证正明思路证明等式两边相应元素相等。 设A=()n,B=(4),C=() 显然A(BC)和(BC都有意义, 且是mXn的同型矩阵。 (B)C的第第j列元素为 烈=点= A(BC的第i第j列元素为

矩阵的方幂与多项式 设A∈M,定义 4=A k+1 4Ak=1,2,3 有4kA=4k+ (4 又设f(x)=an"+an1y+…+a1x+a, 定义f(4)=an4"+an1"+…+a14+qI